El problema de Monty Hall: El rompecabezas de las tres puertas que recibió 10,000 cartas

Las reglas que hacen que cambiar sea correcto

El rompecabezas es corto. Un coche está detrás de una de las tres puertas y hay cabras detrás de las otras dos. Tú eliges una puerta. El presentador, que sabe dónde está el coche, abre una de las puertas que no elegiste y muestra una cabra. Luego te ofrece la oportunidad de moverte a la última puerta cerrada. ¿Deberías hacerlo?

La respuesta depende de tres reglas, y la versión estándar las fija todas:

• El coche se colocó al azar, por lo que cada puerta comienza con una probabilidad de 1 entre 3.
• El presentador siempre abre una puerta que no elegiste, y siempre esconde una cabra.
• El presentador siempre ofrece el cambio, independientemente de lo que hayas elegido.

Bajo esas reglas, cambiar duplica tus probabilidades, de un tercio a dos tercios. Cambia cualquier regla y la respuesta puede cambiar con ella, por eso el problema sigue llenando revistas más de 30 años después de que llegara al público general.

La columna que recibió 10,000 cartas

La pregunta llegó Marilyn vos Savant de un lector, Craig F. Whitaker, y apareció en su columna "Pregúntale a Marilyn" en Parade el 9 de septiembre de 1990. Ella respondió que el concursante debería cambiar. Los lectores se rebelaron.

Según su estimación, la revista recibió unas 10,000 cartas, y cerca de 1,000 de ellas llevaban firmas con doctorados, según el informe en portada de John Tierney en The New York Times el 21 de julio de 1991. La mayoría insistió en que estaba equivocada. "Estás totalmente equivocada", escribió E. Ray Bobo, profesor de matemáticas en la Universidad de Georgetown. La cifra de casi 1,000 doctores es suya, no un recuento auditado, y debe citarse de esa manera.

Tierney llevó el problema a Monty Hall, el presentador de Let's Make a Deal. En su mesa del comedor, Hall jugó diez rondas en las que el concursante nunca cambió: cuatro coches, seis cabras. Luego diez rondas con cambio: ocho coches, dos cabras. "Así que su respuesta es correcta: deberías cambiar", dijo Hall.

El rompecabezas no era nuevo. Steve Selvin, un estadístico, lo planteó en una carta de 1975 a The American Statistician y le puso el nombre de Hall. Martin Gardner había publicado un acertijo equivalente, el problema de los tres prisioneros, en Scientific American en 1959. Paul Erdős, uno de los matemáticos más prolíficos del siglo XX, supuestamente no quedó convencido hasta que un colega le mostró una simulación informática.

Las matemáticas, caso por caso

Digamos que eliges la puerta 1. Es igual de probable que el coche esté detrás de cualquiera de las tres puertas. Enumera los casos y la respuesta aparece.

La palabra clave es "forzado". En dos de los tres casos, el presentador no tiene elección: una de sus puertas esconde el coche, por lo que debe abrir la otra. Su acción le indica dónde está el coche dos de cada tres veces. Quedarse ignora esa información. Cambiar la utiliza.

La regla de Bayes da el mismo resultado. Supongamos que el presentador abre la puerta 3. Si el coche está detrás de la puerta 1, él abre la puerta 3 la mitad de las veces. Si está detrás de la puerta 2, abre la puerta 3 siempre. Las ponderaciones son 1/3 x 1/2 contra 1/3 x 1, o 1 a 2. La puerta 2 ahora tiene dos tercios de la probabilidad.

Lo jugamos un millón de veces

Los argumentos convencen a pocas personas. Contar convence a más. Escribimos una breve simulación en Python que coloca el coche al azar, elige una puerta al azar y hace que un presentador siga las reglas estándar. Semilla aleatoria fija, 1.000.000 de juegos por estrategia.

La última fila es la que más importa. Cuando el presentador no sabe dónde está el coche y solo revela una cabra por casualidad, la ventaja desaparece. La ventaja de dos tercios proviene de su conocimiento, no de las puertas.

Por qué la gente inteligente se equivoca

El error habitual es ver dos puertas cerradas y asignar a cada una un 50 por ciento de probabilidad. Ese razonamiento trata la elección del presentador como aleatoria. No lo es. Tiene prohibido abrir su puerta y prohibido mostrar el coche, por lo que su movimiento transmite información sobre las otras puertas y ninguna sobre la suya.

El estadístico Persi Diaconis dijo al Times en 1991: "Nuestros cerebros simplemente no están conectados para resolver problemas de probabilidad muy bien, así que no me sorprende que hubiera errores".

La cura más limpia es ampliar la escala. Imagine 100 puertas. Usted elige una. El presentador, que lo sabe todo, abre otras 98 y muestra 98 cabras, omitiendo solo una puerta. Pocas personas se quedarían con su primera elección a 1 entre 100. El juego de tres puertas es la misma lógica con números más pequeños.

Los acertijos de probabilidad de este tipo están cerca de los elementos de razonamiento en los tests de inteligencia, que es una de las razones por las que aparecen en colecciones de preguntas y respuestas de tests de CI. Premian el conteo lento y explícito sobre una corazonada rápida, el mismo hábito que descifra el acertijo de Einstein.

Las reglas del presentador deciden todo

El propio Monty Hall planteó la objeción más aguda. En el programa real, le dijo a Tierney, no tenía que ofrecer un cambio, y podía tentar a los concursantes con dinero en efectivo para que conservaran su puerta. Un presentador que ofrece el intercambio solo cuando usted ya tiene el coche convierte el cambio en una pérdida garantizada. "Mi único consejo es, si puede conseguir que le ofrezca 5.000 dólares por no abrir la puerta, tome el dinero y váyase a casa", dijo.

Los estadísticos han discutido sobre la redacción desde entonces. Un artículo de 1991 de J. P. Morgan y colegas en The American Statistician demostró que si el presentador tiene preferencia entre dos puertas de cabras, las probabilidades después de que se abre una puerta en particular pueden variar de un medio a la certeza. La respuesta de Vos Savant es válida para las reglas estándar, que es como casi todos los libros de texto plantean ahora el problema. Trate el rompecabezas como una lección de modelado: antes de calcular una probabilidad, escriba exactamente cómo se produjo la información. Esa habilidad también sustenta la teoría de juegos.

Diez variantes para practicar, con respuestas desarrolladas

Cada elemento a continuación es nuestra propia variante. Asuma las reglas estándar a menos que el elemento las cambie. Comprobamos cada respuesta numérica mediante simulación o conteo exacto.

1. El original. Tres puertas, un presentador que sabe y siempre muestra una cabra. ¿Quedarse o cambiar?
   Respuesta: Cambiar, 2/3 contra 1/3. Su puerta gana solo si su primera suposición fue correcta, un evento de 1 entre 3.
2. Cuatro puertas. Un coche, tres cabras. El presentador abre una puerta de cabra y le deja moverse a cualquiera de las otras dos puertas cerradas. ¿Cuál es la probabilidad para una de ellas?
   Respuesta: 3/8 cada una, contra 1/4 por quedarse. La probabilidad de 3/4 de que el coche esté en otro lugar se reparte equitativamente entre dos puertas.
3. Cien puertas. El presentador abre 98 puertas de cabras. ¿Cambiar?
   Respuesta: Sí. Cambiar gana 99 veces de 100; medimos 99,02 por ciento.
4. El presentador ignorante. El presentador abre una de sus dos puertas no elegidas al azar, y resulta mostrar una cabra. ¿Debería cambiar?
   Respuesta: No importa: 1/2 cada una. Una cabra aparece siempre cuando usted tiene el coche, pero solo la mitad de las veces cuando no lo tiene, lo que cancela la probabilidad previa de 1 a 2.
5. El presentador con una puerta favorita. Usted elige la puerta 1. Siempre que puede, el presentador abre la puerta 2. Esta vez abre la puerta 3. ¿Cambiar?
   Respuesta: Cambie y gane con certeza. Se saltó su favorita, por lo que la puerta 2 debe esconder el coche. Si hubiera abierto la puerta 2, las probabilidades serían de 1/2.
6. El presentador rencoroso. Ofrece un cambio solo cuando su primera elección es el coche. Él ofrece. ¿Qué hacer ahora?
   Respuesta: Quedarse. La oferta en sí prueba que usted tiene el coche.
7. Dos coches, dos cabras. Cuatro puertas. El presentador abre una puerta de cabra entre las tres que usted no eligió, y usted se mueve a una de las dos restantes al azar.
   Respuesta: Cambiar gana 3/4; quedarse gana 1/2. Si empezaste con una cabra, las dos puertas restantes esconden coches.
8. Los tres prisioneros. Uno de tres prisioneros, A, B o C, será indultado al azar. El alcaide le dice a A, con sinceridad, que B será ejecutado. ¿Cuál es ahora la probabilidad de A y la de C?
   Respuesta: A se mantiene en 1/3; C sube a 2/3. El alcaide nunca podría nombrar a A, por lo que A no aprende nada sobre su propio destino.
9. La caja de Bertrand (1889). Tres cajas contienen dos monedas de oro, dos de plata y una de cada una. Sacas una moneda de oro de una caja al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la otra moneda de esa caja sea de oro?
   Respuesta: 2/3, no 1/2. Hay tres monedas de oro que podrías haber sacado, y dos de ellas están en la caja de oro-oro. Nuestra simulación dio un 66,6 por ciento.
10. El programa de apertura de maletines. Veintiséis maletines cerrados, un premio mayor. Te quedas con un maletín y abres otros 24 tú mismo, al azar, y ninguno contiene el premio mayor. ¿Deberías cambiar al último maletín?
    Respuesta: 1/2 en ambos casos. Nadie con conocimiento dirigió las aperturas, por lo que este es el juego del presentador ignorante, no el de Monty Hall.

La práctica desarrolla familiaridad con un formato. No aumenta la inteligencia. Nuestro test de CI gratuito es una prueba de práctica, no una medición clínica.

Marilyn vos Savant y la cifra de 228

Parte de la furia en 1990 provino de la clasificación de la columnista. Guinness incluyó a vos Savant bajo "CI más alto" de 1985 a 1989, citando una puntuación infantil de 228. Según su relato, realizó el Stanford-Binet de 1937 en septiembre de 1956, a los 10 años, y su edad mental fue medida en 22 años y 10 meses. La edad mental dividida por la edad real, multiplicada por 100, da 228.

Eso es un CI de razón, una fórmula antigua que se infla en los extremos. Las pruebas modernas utilizan el CI de desviación, con una media de 100 y una desviación estándar de 15, y se detienen cerca de 160. Nuestra página sobre un CI de 228 muestra por qué la cifra no puede existir en las escalas de hoy, y Guinness retiró la categoría en 1990. Nuestro perfil sobre el CI de Marilyn vos Savant cubre el registro completo.

El episodio de Monty Hall es un mejor anuncio para su razonamiento que cualquier número. Mantuvo una posición correcta frente a miles de objeciones, muchas firmadas por expertos acreditados. Para saber cómo se construyen las puntuaciones y qué significan, comience con nuestras guías de CI y qué cuenta como un CI alto.

Estándar editorial: las cifras de CI para personajes históricos son estimaciones retrospectivas y se etiquetan como tales; las puntuaciones de personas vivas aparecen solo cuando la persona las reveló o un medio de comunicación de renombre las informó. Correcciones: contacte a los editores.