相隔1800年。两人都独立发明了微积分。两人都以无与伦比的力量将数学应用于物理现实。谁是伟大天才这个问题没有简单答案。
| Category | Archimedes | Newton |
|---|---|---|
| Calculus | Method of exhaustion; proto-integration using infinitesimals 1,800 years before Newton | Method of fluxions (1666); complete differential and integral calculus |
| Physics | Lever; hydrostatics; Archimedes' principle; center of gravity | Three laws of motion; universal gravitation unifying celestial and terrestrial physics |
| Mathematical tools | Greek geometric tradition only — no algebra, no Cartesian coordinates | Full arsenal: Euclidean geometry, Cartesian algebra, his own calculus |
| Historical impact | Rediscovered and venerated; shaped medieval mechanics; war machines legendary | Founded classical physics; governed science for 200 years until Einstein |
| Era adjustment | His results were 1,500+ years ahead of any contemporary — worked in intellectual isolation | Built on a rich prior tradition; acknowledged "standing on shoulders of giants" |
| Death / end | Killed by Roman soldier at siege of Syracuse, 212 BCE, reportedly while drawing circles | Died at 84, buried in Westminster Abbey; national hero in his lifetime |
Syracuse的Archimedes是古代最杰出的数学家兼物理学家。生于公元前287年左右，他大部分工作生涯都在Sicily的Greek殖民地Syracuse度过，与Alexandria的伟大数学家通信，其成就在近两千年内都未被超越——某些情况下甚至未被理解。他在浴室中发现浮力原理后裸奔穿过Syracuse高喊
他的贡献范围令人震惊。在数学领域，他计算了古代最精确的圆周率估值（介于223/71和22/7之间），证明了抛物线段的面积是内接三角形面积的4/3倍，计算了球体的表面积和体积，还在《机械定理法》中——这部著作保存在Archimedes Palimpsest中——开发了利用无穷薄截面计算面积和体积的技术，这比积分学的出现早了近2000年。
在物理学领域，他阐述了杠杆原理（"给我一个立足点，我将移动地球"），建立了以他名字命名的浮力定律，发展了重心理论，并制造了设计精妙的机械装置——用于抽水的Archimedes螺杆、复合滑轮，以及根据罗马历史学家的记载，用于防御Syracuse的战争机器精良到Roman将军Marcellus据说曾禁止士兵杀死Archimedes。结果一名士兵还是杀死了他，时间是公元前212年，据说因为他被命令去见将军时拒绝停止几何证明的研究。
13世纪，Constantinople的一位僧侣刮去并清洗了一份包含Archimedes著作的手稿页面，将羊皮纸重新用作祈祷书。将近800年间，祈祷文清晰可读；下面的原文以幽灵般的镜像出现，却难以辨认。1998年，这份古籍在Christie's拍卖会上以200万美元的价格售出，随后经过现代成像技术——多光谱扫描、X射线荧光——恢复了被遮蔽的文本，效果出人意料地完整。
这份古籍的发现改变了对Archimedes数学的历史理解。它包含《机械定理法》，这是Archimedes写给Eratosthenes的私人信件，其中Archimedes描述了他的启发式方法——他用来在构造正式证明之前发现结果的工作程序。《方法》展现了Archimedes将几何图形切成无穷薄的平面，把它们当作有重量的物体，用杠杆平衡来计算它们的面积和体积。从概念上讲，这与积分完全相同——将无穷薄的切片求和来计算总面积或体积。
其意义是巨大的：Archimedes不仅仅是使用了一种表面上类似于微积分的技术。他明确地将几何量视为无穷多个无穷薄元素的和，并计算这些和——这是一种概念运算，Newton和Leibniz直到1800年后才将其正式化。缺乏代数记号使得Archimedes无法将这些技术推广为微积分最终成为的系统算法，但那个概念飞跃——积分的思想——属于他。
1665年，瘟疫关闭了Cambridge大学，将23岁的学生Isaac Newton赶回了Lincolnshire的Woolsthorpe。在随后的18个月里——他的annus mirabilis——Newton发明了微分和积分学，通过用棱镜分散阳光开发了光和颜色理论，制定了万有引力定律。他年仅24岁。他讲述了这段时期一个苹果从树上掉落的故事。无论苹果是真实还是传说，引力洞察绝对是真实的：拉动苹果的力与保持月球绕行轨道和行星绕太阳公转的力是同一种力。
Newton没有立即发表这些成果。《自然哲学的数学原理》（Principia Mathematica）出版于1687年，晚了20年，是在天文学家Edmond Halley的持续鼓励下完成的，Halley亲自资助了出版。这是有史以来最有影响力的科学著作。在书中，Newton推导了三运动定律，阐述了万有引力定律，将Kepler的行星运动定律推导为该定律的推论，并解释了潮汐、岁差和地球作为扁球体的形状。整个体系采用几何形式构建——Newton刻意回避了他发明的微积分，用当代人原则上可以验证的古典欧几里得几何语言呈现一切，尽管很少有人能真正跟上这些证明。
《原理》创造了经典物理学。从1687年到1905年，工程、天文学、弹道学和天体力学中的每一项计算都以Newton的基础为依据。当Einstein发表狭义相对论时，他不是在驳斥Newton——而是在拓展和修正了一个统治人类对物理世界认识两个多世纪的框架。Newton的定律对地球上每一项实际工程计算仍然完全足够；只有在接近光速的速度或极端引力场中，Einstein的修正才变得重要。
牛顿在给Robert Hooke的信中写道：
阿基米德则是独立地工作。他所在的传统只有Euclid的几何学，以及其他与他的尝试直接相关的东西少之又少。没有人用过与他的穷竭法相提并论的方法。没有代数工具能简化他的计算。没有解析几何来提供坐标框架。他从零开始创造出概念机制，仅凭欧几里得几何的工具和超凡的智力。当牛顿接触到阿基米德的工作时——他肯定接触过，因为阿基米德的已出版著作在17世纪数学家中为人所知——他印象深刻。羊皮纸手稿揭示的私人方法牛顿一无所知；他看到的是阿基米德已出版著作的精致表面，以及其正式的欧几里得式证明。其中的天才远超表面所见。
阿基米德和牛顿之间的比较，说到底是跨越1800年智力史的比较——一个科学史学家理所当然不愿做出的不可比的判断。但可以说的是：这两个人都在数学和物理洞察力上达到了远超同时代人的境界，以至于与各自时代的其他任何人都无法相比。两人都独立地开发出了等价于微积分的方法，彼此不知。两人都以在他们死后数百年不会被匹敌的精准和威力，将数学推理应用于物理现实。
如果天才的衡量标准是影响力——取决于你工作的后续发展的数量——牛顿胜出。古典物理学、科学革命、工业革命、现代世界的技术：都源于《原理》。但如果天才的衡量标准是成就与可用工具的比率——你的成就与你的智力环境所使现实的距离——阿基米德提出了有力的论证。牛顿有Galileo、Kepler、Descartes、Euclid和整个西方数学传统可供利用。阿基米德几乎一无所有。他在那样的境况下取得的结果，是人类纯粹智力史上最非凡的壮举之一。
牛顿以影响力和体系建构著称；阿基米德以相对于其时代的原始天才著称。牛顿的《原理》是历史上最有成效的单一科学文献——它建立了古典物理学，推动了科学革命，并在200多年间主宰了人类对物理世界的理解。但纯粹天才的问题给了阿基米德一个引人注目的论证。他独立地发展出了等价于积分微积分的方法，比牛顿早1800年，没有代数，没有解析几何，没有前辈——仅凭纯粹的智力。牛顿承认了他所站肩膀的巨人。阿基米德没有这样的肩膀。他站在地面上，却达到了同样的高度。
阿基米德开发了穷竭法——在概念上等价于积分微积分。《阿基米德羊皮纸手稿》揭示他更进一步，将几何图形视为无穷薄片之和——在概念上等同于积分——比牛顿和莱布尼茨正式化这一程序早1800年。
一本中世纪祈祷书，通过刮去古代手稿页面并重新利用羊皮纸创造。1990年代至2000年代的多光谱成像恢复了基层文本——包括《机械定理方法》——揭示了阿基米德的私人工作方法，这比他已出版的证明更先进。
《原理》(1687)确立了三大运动定律和万有引力定律，统一了地面和天体力学。这一古典物理学基础屹立超过200年。他还建造了第一架实用的反射望远镜，并为光学和热力学做出了基础性贡献。
牛顿的影响力更大——他的工作推动了科学革命。但就原始天才而言，阿基米德早1800年工作，没有代数或解析几何，却独立地得出了等价于微积分的方法。成就与可用工具的比率使阿基米德成为历史上最令人瞠目的智者之一。