Endre Szemerédi: Her Kaosun İçinde Bir Düzen Vardır

Tıp fakültesindeki eğitiminin altıncı ayında Endre Szemerédi (Endre Szemerédi), neşter kullanma konusunda kendine güvenemeyeceğine karar verdi — daha sonraları "böyle bir sorumluluk gerektiren bir işi yapıp yapamayacağından" şüphe duyduğunu söyledi — ve okulu bıraktı. Bir süre boşlukta kaldıktan sonra matematik okumaya karar verdi ve idari bir kaza sonucu, hiç talep etmediği bir doktora danışmanına atandı. Bu yanlış dosyalama, onu aslında istediği Alexander Gelfond (Alexander Gelfond) yerine 20. yüzyılın büyük matematikçilerinden İsrail Gelfand'ın (Israel Gelfand) yanına, Moskova'ya gönderdi. Bu, alanın en güzel kazalarından biridir.

Budapeşte'den Moskova'ya Yanlışlıkla Giden Yol

Szemerédi, 21 Ağustos 1940'ta Budapeşte'de doğdu. Tıp denemesini kısa sürede terk ettikten sonra, Budapeşte'deki Eötvös Loránd Üniversitesi'nde (Eötvös Loránd University) lisans derecesini aldı ve ardından yüksek lisans ve doktora çalışmaları için Moskova Devlet Üniversitesi'ne gitti. Orada, onu yanlış danışmana gönderen o idari hatanın kahramanı Gelfand'ın gözetiminde, kendisine kombinatorik alanında nadiren verilen ve Fields Madalyası ile eşdeğer görülen Abel Ödülü'nü (Abel Prize) kazandıracak olan ayrık matematik kariyerine başladı.

Kendi Adını Taşıyan Teorem

Szemerédi'nin 1975'te duyurulan en belirleyici başarısı, Paul Erdős (Paul Erdős) ve Pál Turán'ın (Pál Turán) on yıllar önce ortaya attığı ve o günden beri her türlü denemeye direnen bir tahmini çözmekti: Pozitif üst yoğunluğa sahip herhangi bir doğal sayı kümesi — kabaca, tüm sayı doğrusuna oranla yok olmaya yüz tutmayan herhangi bir küme — ne kadar uzun olursa olsun, her uzunlukta aritmetik dizi içermek zorundadır. Bu, gizli bir düzen hakkında bir ifadedir: Bir tam sayı kümesi ne kadar düzensiz veya seyrek görünürse görünsün, içinde kaçınılmaz olarak örüntülü diziler gömülüdür. Abel Ödülü komitesi daha sonra çalışmalarının ruhunu tek bir cümleyle özetledi: "her kaosun içinde bir düzen vardır."

Düzenlilik Lemması

Bu teoremin ispatı, teoremden bile daha önemli bir sonuç üretti. Bu süreçte Szemerédi, bugün Szemerédi düzenlilik lemması (Szemerédi regularity lemma) olarak adlandırılan, yeterince büyük her çizgenin, istatistiksel olarak birbirine göre neredeyse rastgele davranan sınırlı sayıda parçaya ayrılabileceğini gösteren yapısal bir sonuç ortaya koydu. Bu teknik bir lemma gibi görünse de; özellik testi, çizge limit teorisi ve takip eden on yıllarda geliştirilen aşırı çizge teorisinin büyük bir kısmının temelini oluşturan modern kombinatoriğin ana araçlarından biri haline geldi. Timothy Gowers (Timothy Gowers) ve László Lovász (László Lovász) gibi Fields Madalyası sahipleri, bunun sonuçlarını izlemek için tüm dersleri buna ayırdılar — bir ispatın yan ürününün etkisinin orijinal teoremini aştığı nadir bir vaka.

İsimlenmiş Sonuçlar Bütünü

Szemerédi'nin kariyeri, bugün ortaklarıyla birlikte onun adını taşıyan olağanüstü sayıda sonuç üretti: düzlemdeki nokta ve doğruların birbirini kaç kez kesebileceğini sınırlayan insidans geometrisindeki Szemerédi-Trotter teoremi (Szemerédi–Trotter theorem); çizge renklendirmede Hajnal-Szemerédi teoremi (Hajnal–Szemerédi theorem); aritmetik kombinatorik alanının temeli haline gelen sonlu kümelerdeki toplamlar ve çarpımlar üzerine Erdős-Szemerédi teoremi (Erdős–Szemerédi theorem); ve Miklós Ajtai (Miklós Ajtai) ile birlikte köşeler teoremi (corners theorem). Ajtai ve János Komlós (János Komlós) ile birlikte Ramsey sayıları (Ramsey numbers) üzerinde etkili sınırlar belirledi ve en uygun derinlikte sıralama ağları kurdu; bu, saf matematikten teorik bilgisayar bilimine nadir bir geçişti ve sonunda bir bilgisayar bilimi bölümündeki akademik yerini meşrulaştırmaya yardımcı oldu. Ayrıca Ajtai, Václav Chvátal (Václav Chvátal) ve Monroe Newborn (Monroe Newborn) ile birlikte, çizge çiziminde temel bir sınır olan kesişme sayısı eşitsizliğini (crossing number inequality) kanıtladı. Yayımlanan iki yüzden fazla makale boyunca ana fikir tutarlıdır: yüzeyde düzensiz görünen nesnelerin (tam sayı kümeleri, çizgeler, nokta konfigürasyonları) içinde sert, kaçınılmaz bir yapı bulmak.

Macar Temelleri Üzerine Kurulu Bir Amerikan Kariyeri

Szemerédi, 1986 yılında Rutgers Üniversitesi'ne (Rutgers University) New Jersey Eyaleti Bilgisayar Bilimleri Profesörü olarak katıldı; bu görevi hala onursal profesör olarak sürdürmektedir. Aynı zamanda, 20. yüzyılın ortalarından beri Macar matematiğinin kurumsal yuvası olan Budapeşte'deki Alfréd Rényi Matematik Enstitüsü (Alfréd Rényi Institute of Mathematics) ile kalıcı bağlarını korumaktadır. Bu süre zarfında Stanford, McGill, South Carolina Üniversitesi ve Chicago Üniversitesi'nde misafir öğretim üyeliği görevlerinde bulundu ve Princeton'daki İleri Araştırmalar Enstitüsü'nde (Institute for Advanced Study) üyelik yaptı; bu, Soğuk Savaş dönemindeki matematiksel göçü Macaristan ve Sovyet coğrafyasından Amerikan araştırma üniversitelerine taşıyan bir kariyerdir.

Tanınma

Beş yıla yayılan onurlar birikti: 1973'te Alfréd Rényi Ödülü ve teoreminin ortaya çıkışından hemen sonraki yıllarda 1975'te George Pólya Ödülü (George Pólya Prize); 2008'de Leroy P. Steele Ödülü (Leroy P. Steele Prize) ve Matematik alanında Rolf Schock Ödülü (Rolf Schock Prize); 2010'da ABD Ulusal Bilimler Akademisi üyeliğine seçilmesi; ve 2012'de, "ayrık matematik ve teorik bilgisayar bilimindeki temel katkıları ve bu katkıların toplamsal sayı teorisi ve ergodik teori üzerindeki derin ve kalıcı etkisinin tanınması" nedeniyle verilen Abel Ödülü. Bu gerekçe, onun çalışmalarını dar anlamda tanımlanmış kombinatorik alanının ötesinde birçok alanı yeniden şekillendirmekle açıkça kredilendirmektedir. Macaristan, 2020 yılında ona Aziz Stephen Nişanı'nı (Order of Saint Stephen) vermiştir.

Endre Neden Bir Dahi Olarak Adlandırılıyor

Szemerédi'nin dehası hakkındaki dava, matematiğin sunabileceği kadar nettir: Tek bir kanıt, uzun süredir var olan tek bir tahmin için, kanıtlamak için inşa edildiği teoremin kendisinden daha büyük bir etkiye sahip olan düzenlilik lemması gibi bir araç üretti. Yöntemin orijinal amacından daha uzun yaşadığı ve onu aştığı bu tür ikinci derece etki, alanın bir zihnin sadece önündeki sorunu çözmek yerine en derin yapısal düzeyde çalıştığının en açık göstergelerinden biridir. Abel Ödülü komitesinin kendi dili — kaosun içinde düzeni bulmak — abartılı değildir; bu, düzenlilik lemmasının gerçekte ne yaptığının adil bir ifadesidir. Gowers ve Lovász gibi disiplinin en çok ödül almış figürlerinin, bunun sonuçlarını diğer matematikçilere açıklamak için büyük dersler inşa etmeleri, üretilmesi veya şişirilmesi zor bir meslektaş beğenisidir.

Eğer bir uyarı varsa, bu abartıdan ziyade darlıkla ilgilidir: Szemerédi'nin ünü, büyük ölçüde 20. yüzyılın büyük bir kısmında matematik kuruluşunun bazı kesimleri tarafından analiz, geometri veya klasik formlardaki sayı teorisinden daha az prestijli görülen ayrık matematik ve kombinatorik alanlarındaki sonuçlara dayanmaktadır; bir kombinatorikçiye Abel Ödülü verilmesi, o dönemde alanın geç de olsa hak ettiği tanınmayı alması gerektiğine dair örtük bir argüman olarak okunmuştur. Bu, yapılan işi azaltmaz; bu, buradaki "dahi" etiketinin, sonuçları alanlarının dışında bile ünlü olan fizikçilere veya matematikçilere eklenen türden bir evrensel ünden ziyade, belirli ve teknik bir yapısal kavrayış biçimini izlediği anlamına gelir.

Miras

Düzenlilik lemması artık dünya genelinde lisansüstü kombinatorik derslerinde standart materyal olarak öğretilmektedir ve Szemerédi'nin 1975'te ilk kez yazdığında neredeyse hiç var olmayan teorik bilgisayar bilimi, toplamsal kombinatorik, çizge limit teorisi gibi alanlar da dahil olmak üzere yeni araştırmaların aktif bir motoru olmaya devam etmektedir. Seksenli yaşlarının ortasında onursal bir bilim insanı olarak aktif olmaya devam eden Szemerédi, modern matematikte tek bir kanıt yönteminin, tasarlanmış olduğu teoremi kanıtlamaktan daha önemli hale gelmesinin en açık örneklerinden biridir.