Maryna Viazovska: A função mágica que empacotou oito dimensões

Poucas horas depois de Maryna Viazovska publicar um curto artigo online em março de 2016, o matemático Akshay Venkatesh enviou um e-mail a um colega com uma linha de assunto de uma palavra: "Uau!". O artigo resolvia, numa demonstração de poucas páginas, um problema sobre o empilhamento de esferas num espaço de oito dimensões que resistia ao campo há décadas — e fê-lo, segundo Peter Sarnak de Princeton, de uma forma tão elegante que o seu artigo era "um daqueles artigos que pegas e não pousas antes de teres lido". Seis anos depois, Viazovska tornou-se apenas a segunda mulher na história a ganhar a Medalha Fields.

Filha de um químico na Kiev pós-soviética

Maryna Sergiivna Viazovska nasceu a 2 de dezembro de 1984, em Kiev, a mais velha de três irmãs, de um pai que trabalhava como químico na fábrica de aviões Antonov e uma mãe que era engenheira. Cresceu no meio da turbulência económica da Ucrânia pós-soviética e frequentou o Liceu de Ciências Naturais n.º 145 de Kiev, uma escola especializada para estudantes com talento científico, onde um antigo matemático investigador tornado professor, Andrii Knyazyuk, moldou o seu desenvolvimento matemático inicial. Competiu seriamente em olimpíadas — ficando em 13.º lugar a nível nacional numa competição que selecionava doze estudantes para o treino da Olimpíada Internacional de Matemática, falhando o corte por pouco — e como estudante de licenciatura na Universidade Nacional Taras Shevchenko de Kiev, venceu a Competição Internacional de Matemática para Estudantes Universitários em 2002 e 2005, co-autorando o seu primeiro artigo de investigação nesse mesmo ano.

De Kiev a Bonn

A sua formação formal atravessou vários países: um mestrado pela Universidade de Kaiserslautern na Alemanha (2007), um doutoramento pelo Instituto de Matemática da Academia Nacional de Ciências da Ucrânia (2010), e um doutoramento (Dr. rer. nat.) pela Universidade de Bonn em 2013, onde estudou sob a orientação de Don Zagier e Werner Müller sobre funções modulares e ciclos especiais na teoria analítica dos números. Antes da sua descoberta característica, já tinha estabelecido uma reputação de investigação: um artigo de 2011 com Andriy Bondarenko e Danylo Radchenko, provando uma conjectura de Korevaar e Meyers sobre pequenos designs esféricos em dimensões arbitrárias, foi publicado nos Annals of Mathematics — uma das revistas mais seletivas do campo — anos antes de se tornar amplamente conhecida fora dos círculos da teoria dos números.

O problema do empacotamento de esferas

A questão que Viazovska se propôs responder tem uma história antiga e famosa: como podem esferas idênticas ser empacotadas no espaço para preencher a maior fração de volume possível? Em três dimensões, esta é a conjectura de Kepler, finalmente provada apenas no final da década de 1990 e 2000 através de um argumento exaustivo assistido por computador. Em certas dimensões superiores, o problema assume uma estrutura inesperada devido a redes especiais altamente simétricas — nomeadamente a rede E₈ em oito dimensões e a rede de Leech em vinte e quatro. Os matemáticos suspeitavam há muito que estas redes forneciam os empacotamentos de esferas mais densos possíveis nas suas respetivas dimensões, mas ninguém tinha uma forma de o provar.

A "função mágica"

Em 2016, trabalhando em grande parte sozinha após cargos de pós-doutoramento na Escola de Matemática de Berlim, na Universidade Humboldt, e uma bolsa Minerva em Princeton, Viazovska construiu o que ficou conhecido como uma "função mágica" para a dimensão 8 — construída não a partir das formas modulares que a maioria dos teóricos dos números esperava que tal prova exigisse, mas a partir de uma forma quasimodular com simetrias deliberadamente imperfeitas. A função permitiu-lhe provar, num argumento notavelmente curto e limpo pelos padrões do campo, que a rede E₈ de facto fornece o empacotamento de esferas mais denso possível em oito dimensões. Numa semana, trabalhando com Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller e Danylo Radchenko, estendeu a mesma técnica para resolver o caso de 24 dimensões usando a rede de Leech — um esforço de trabalho colaborativo que Radchenko chamou mais tarde "provavelmente a semana mais louca da minha vida". Os dois resultados, lançados com dias de diferença um do outro, resolveram o empacotamento de esferas nas únicas duas dimensões para além de três onde uma resposta exata era então conhecida.

Para além do empacotamento: Otimidade universal

Viazovska e os seus colaboradores foram mais longe nos anos subsequentes, provando em 2019 que as redes E₈ e de Leech são "universalmente ótimas" — o que significa que minimizam a energia potencial não apenas para um modelo físico, mas através de toda uma vasta classe de funções de energia, com implicações que vão desde a repulsão de eletrões até configurações de polímeros. A matemática Sylvia Serfaty comparou o resultado a "grandes descobertas do século XIX", chamando-lhe "um grande avanço da ciência". O trabalho também fez avançar a análise de Fourier de forma mais ampla, através da abordagem de Viazovska para reconstruir funções a partir de informações espectrais parciais — uma técnica com aplicações muito para além do problema de empacotamento que a inspirou.

A Medalha Fields e o reconhecimento

Em julho de 2022, Viazovska recebeu a Medalha Fields, tornando-se apenas a segunda mulher a ganhá-la depois de Maryam Mirzakhani, a segunda matemática nascida na RSS da Ucrânia depois de Vladimir Drinfeld, e a primeira vencedora da Medalha Fields a ter um diploma de uma universidade ucraniana. A honra seguiu-se a uma série de prémios importantes: o Prémio Salem (2016), o Prémio de Investigação Clay (2017), o Prémio SASTRA Ramanujan (2017), o Prémio Europeu de Combinatória (2017), o Prémio New Horizons (2018), o Prémio Ruth Lyttle Satter (2019), o Prémio Fermat (2019), o Prémio EMS (2020) e o Prémio Nacional Latsis (2020). Foi nomeada para a lista das 100 Mulheres da BBC mais tarde em 2022. Desde janeiro de 2018, detém a Cátedra de Teoria dos Números na EPFL em Lausanne, na Suíça, onde vive com o seu marido, o físico Daniil Evtushinsky — a quem conheceu através de um grupo de física extracurricular na adolescência — e os seus dois filhos.

Por que Maryna Viazovska é chamada de génio

A qualidade matemática específica por detrás do rótulo de "génio" é a construção por parte de Viazovska de uma prova exata de forma fechada onde o campo esperava — e tinha precisado anteriormente, no caso de Kepler tridimensional — um argumento exaustivo assistido por computador que abrange centenas de páginas. Encontrar a forma quasimodular precisa que fez funcionar a prova de oito dimensões exigiu uma combinação invulgar e difícil de ensinar de profundo domínio técnico das formas modulares e um instinto quase estético para que função satisfaria as condições de interpolação necessárias; esse instinto é exatamente aquilo a que os matemáticos que reviu o artigo, desde Sarnak a Venkatesh, reagiram com espanto aberto em vez de aprovação profissional rotineira. O limite honesto sobre o enquadramento é que o problema do empacotamento de esferas em oito e vinte e quatro dimensões era tratável precisamente porque essas duas dimensões possuem estruturas de rede excecionais (E₈ e a rede de Leech) não disponíveis em dimensões gerais — a conquista não se generaliza a dimensões arbitrárias, e o problema mais amplo de empacotamento de esferas do campo permanece aberto quase em todo o lado. A extensão de 24 dimensões, além disso, foi explicitamente uma colaboração de grupo rápida com Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller e Danylo Radchenko em vez de um trabalho a solo, e mesmo a celebrada prova de 8 dimensões baseou-se numa abordagem de programação linear existente para os limites de empacotamento de esferas que outros investigadores, entre eles Cohn, já tinham desenvolvido antes de Viazovska encontrar a função específica necessária para a completar.

Legado

Os métodos de Viazovska já se tornaram um ponto de referência padrão no estudo de problemas de empacotamento, minimização de energia e interpolação de Fourier, e a sua Medalha Fields — atribuída durante os primeiros meses da invasão russa em grande escala da Ucrânia — teve um peso simbólico particular para a ciência ucraniana, um país cujas instituições matemáticas ela continuou a apoiar publicamente desde então. Na EPFL, continua a formar a próxima geração de teóricos dos números que trabalham na fronteira da geometria das redes e da teoria analítica dos números que a sua própria carreira ajudou a definir.