Marston Conder: O homem que contou as simetrias

Qualquer matemático em exercício em qualquer parte do mundo que precise de conhecer todos os grafos simétricos trivalentes de até dez mil vértices não os deduz. Ele descarrega a lista de Marston Conder. O mesmo é verdade para mapas regulares e quirais em superfícies numa vasta gama de géneros, para grupos de automorfismos de superfícies de Riemann compactas e para politopos regulares e quirais. Ao longo de quatro décadas em Auckland, Conder transformou a questão abstrata "quais são os objetos mais simétricos deste tipo?" em algo que se pode consultar; e, ao fazê-lo, tornou-se silenciosamente um dos matemáticos mais utilizados da sua geração.

De Matamata a Oxford

Nasceu em setembro de 1955 em Hamilton, Nova Zelândia, e foi educado no Matamata College — um início numa cidade pequena tão distante dos centros de matemática pura quanto possível. O seu primeiro curso superior não foi em matemática: obteve um mestrado em ciências sociais na Universidade de Waikato em 1977. Três anos depois, tinha um doutoramento por Oxford.

O seu orientador em Oxford foi Graham Higman, uma das figuras mais imponentes da teoria dos grupos do século XX e um fundador da abordagem combinatória moderna ao assunto. A tese de 1980 de Conder, "Minimal generating pairs for permutation groups" (Pares geradores mínimos para grupos de permutação), anunciava no título a sua preocupação de toda a vida. A questão é enganosamente simples: dado um grupo, pode produzi-lo todo a partir de apenas dois elementos e, em caso afirmativo, quais os dois, escolhidos da forma mais económica possível? A geração por dois elementos é a charneira sobre a qual gira uma enorme quantidade de teoria da simetria, porque os objetos mais simétricos na geometria e na combinatória são precisamente aqueles cujos grupos de simetria são gerados por um número muito pequeno de movimentos muito simples.

Objetos de máxima simetria

O programa de Conder, sustentado durante quarenta anos, pode ser enunciado numa linha: estudar as estruturas discretas que têm a máxima simetria possível sujeita a restrições dadas. Fixe uma restrição — um grafo deve ser trivalente, um mapa deve viver numa superfície de género cinco, um politopo deve ter um dado posto — e pergunte quais os objetos que a satisfazem que são tão simétricos quanto possível. As respostas raramente são óbvias e quase nunca numerosas, o que as torna dignas de serem catalogadas.

As ferramentas provieram da teoria combinatória e computacional dos grupos, incluindo técnicas para lidar com grupos finitamente apresentados e as suas imagens. Este é o ramo da álgebra em que um grupo é especificado não pela enumeração dos seus elementos, mas por um punhado de geradores e relações, e a dificuldade central é que tal apresentação pode esconder quase tudo — incluindo um grupo que é infinito, ou trivial, sem forma fácil de distinguir. A especialidade de Conder era extrair respostas difíceis, exaustivas e comprovadamente completas de apresentações desse tipo, a uma escala que só se tornou viável quando a computação foi devidamente casada com a teoria.

Mapas, quiralidade e politopos

A veia mais rica foram os mapas: mergulhos de grafos em superfícies, onde os casos interessantes são os regulares, cujo grupo de simetria atua de forma tão transitiva quanto a estrutura permite. Ao lado deles estão os objetos quirais, que admitem toda a simetria rotacional mas nenhuma reflexão — o análogo matemático de uma mão esquerda, sobreponível a nenhuma imagem especular de si própria. A Medalha Jones de 2018 da Royal Society of New Zealand citou exatamente isto: o seu trabalho sobre "simetria e quiralidade em estruturas discretas".

Ele estendeu a mesma abordagem para fora. O Institute of Combinatorics and its Applications, ao conceder-lhe a Medalha Euler, listou simetrias e mergulhos de grafos, mapas regulares e quirais, politopos regulares e quirais, partições de arestas de grafos, grafos expansores de maior dimensão e códigos de Gray binários — uma gama que vai desde a topologia de superfícies clássica até objetos com aplicação direta na teoria de códigos e redes. Mais de 170 artigos resultaram disso, e quinze alunos de doutoramento.

O recenseador

O que distingue Conder de outros algebristas fortes é o que ele fez com os resultados. Em vez de publicar um teorema e seguir em frente, ele construiu e publicou repositórios — censos completos de classes de objetos, computados uma vez, corretamente, e oferecidos. O catálogo de grafos simétricos trivalentes chega aos 10.000 vértices. Os censos de mapas e politopos cobrem gamas que ninguém tinha alcançado anteriormente. Estes são consultados internacionalmente, incluindo por investigadores sem interesse na teoria dos grupos que simplesmente precisam de saber se existe um objeto com certas propriedades, ou testar uma conjectura contra cada caso conhecido antes de desperdiçar um ano nisso.

Esse hábito — de tratar o conhecimento como infraestrutura em vez de propriedade pessoal — faz parte explicitamente do seu registo de citações; o ICA destacou a sua reputação por partilhar livremente o conhecimento e por repositórios de investigação que qualquer pessoa pode usar.

O matemático público

Conder tornou-se professor catedrático em Auckland em 1993 e Professor Distinto em 2012. Serviu como presidente da New Zealand Mathematical Society de 1993 a 1995, como codiretor do New Zealand Institute of Mathematics and its Applications, e como presidente da Academy of the Royal Society of New Zealand de 2006 a 2008 — o cargo científico mais alto do país, ocupado por um matemático puro, o que não é o arranjo habitual em qualquer lugar.

As honras seguiram-se ao trabalho: a James Cook Research Fellowship em 2011, a filiação na American Mathematical Society em 2012, a Medalha Hector em 2014, a Medalha Jones em 2018, e em 2020 tanto a Medalha Euler do Institute of Combinatorics and its Applications — por contribuições distintas de toda a vida para a investigação combinatória — e a nomeação como Oficial da New Zealand Order of Merit.

Por que Marston é chamado de génio

A qualidade específica é um híbrido raro: profundidade algébrica casada com disciplina computacional. Muitos matemáticos podem provar um teorema sobre estruturas simétricas; muitos outros podem escrever código que enumera exemplos. A realização característica de Conder é a classificação exaustiva — uma prova de que uma lista computada não é apenas longa, mas completa, que nada foi perdido. Isso exige teoria para limitar o espaço de pesquisa, computação para o varrer, e uma tolerância para a verificação de erros que a maioria dos teóricos acha abaixo deles e a maioria dos programadores acha acima deles. Os seus censos mantiveram-se; esse é o teste completo.

A citação da Medalha Euler nomeia quarenta anos de contribuição distinta em simetrias de grafos, mapas e politopos quirais, expansores e códigos de Gray, e a Medalha Jones nomeia especificamente simetria e quiralidade. Estes são órgãos profissionais que usam os seus instrumentos mais seniores, o que é o mais perto que a combinatória chega de usar a palavra.

O contra-argumento vale a pena ser dito claramente. Conder não resolveu nenhum problema famoso em aberto e não introduziu nenhuma teoria que leve o seu nome. Não há nenhuma conjectura de Conder, nenhum invariante de Conder. O seu génio é do tipo cartográfico — o mapeamento exaustivo e fiável de território cujas fronteiras outros tinham traçado — em vez do tipo que abre novos países. Um avaliador implacável diria que ele é o melhor recenseador que a matemática produziu na sua área, e que ser indispensável não é o mesmo que ser revolucionário. A resposta é que, numa disciplina afogada em afirmações não verificadas, respostas completas e corretas são mais raras do que as inteligentes, e duram mais.

Legado

O legado mais duradouro de Conder é peculiar para um matemático puro: é um conjunto de tabelas. Os seus repositórios serão consultados por pessoas que nunca leram as suas provas e podem não saber o seu nome, da forma como os engenheiros consultam tabelas de constantes físicas. Atrás deles está o legado mais difícil — uma demonstração de que um país pequeno com quase nenhuma massa crítica na sua área poderia produzir trabalho líder mundial, e que um matemático poderia dirigir uma academia nacional sem deixar de ser um investigador ativo. Quinze alunos de doutoramento e 170 artigos depois, a combinatória da Nova Zelândia é um nó internacional reconhecido em vez de um posto avançado, e muito disso remonta a um homem em Auckland que continuou a contar.