마리나 비아조우스카: 8차원을 채운 마법의 함수

마리나 비아조우스카(Maryna Viazovska)가 2016년 3월 온라인에 짧은 논문을 올린 지 몇 시간 만에 수학자 악샤이 벤카테시(Akshay Venkatesh)는 동료에게 “와!”라는 제목의 이메일을 보냈습니다. 이 논문은 수십 년 동안 수학계를 괴롭혀온 8차원 공간에서의 구 쌓기 문제를 단 몇 페이지 분량의 증명으로 해결했습니다. 프린스턴 대학의 피터 사르낙(Peter Sarnak)에 따르면, 이 논문은 너무나 우아해서 “한번 읽기 시작하면 끝까지 읽지 않고는 못 배기는” 논문이었습니다. 6년 후, 비아조우스카는 역사상 두 번째로 필즈상을 수상한 여성이 되었습니다.

포스트 소비에트 키이우의 화학자 딸

마리나 세르히이우나 비아조우스카(Maryna Sergiivna Viazovska)는 1984년 12월 2일 키이우에서 세 자매 중 장녀로 태어났습니다. 아버지는 안토노프 항공기 공장의 화학자였고 어머니는 엔지니어였습니다. 그녀는 소비에트 연방 해체 후 우크라이나의 경제적 격동 속에서 성장했습니다. 과학 영재들을 위한 특수 학교인 키이우 자연과학 리세움 제145번 학교에 다녔으며, 그곳에서 연구 수학자 출신 교사인 안드리 크냐주크(Andrii Knyazyuk)의 지도를 받으며 초기 수학적 소양을 길렀습니다. 그녀는 올림피아드에 진지하게 도전했고—국제 수학 올림피아드 훈련생 12명을 뽑는 전국 대회에서 13위를 기록하며 아쉽게 탈락하기도 했습니다—키이우 타라스 셰브첸코 국립대학교 학부생 시절에는 2002년과 2005년 대학생 국제 수학 경시대회에서 우승을 차지했으며, 같은 해 첫 번째 연구 논문을 공동 저술했습니다.

키이우에서 본으로

그녀는 여러 국가를 거치며 정규 교육을 받았습니다. 독일 카이저슬라우테른 대학교에서 석사 학위(2007), 우크라이나 국립과학원 수학연구소에서 박사 학위(2010), 그리고 2013년 본 대학교에서 돈 자기어(Don Zagier)와 베르너 뮐러(Werner Müller)의 지도하에 해석적 수론의 모듈러 형식과 특수 주기에 관한 박사 학위(Dr. rer. nat.)를 취득했습니다. 결정적인 돌파구를 마련하기 전부터 그녀는 이미 연구자로서 명성을 쌓았습니다. 2011년 안드리 본다렌코(Andriy Bondarenko), 다니로 라첸코(Danylo Radchenko)와 함께 발표한 논문은 임의 차원에서의 작은 구형 설계에 관한 코르바르-메이어스 추측을 증명했으며, 수론 학계 밖에서 널리 알려지기 훨씬 전부터 수학 분야에서 가장 권위 있는 저널 중 하나인 《수학 연보》(Annals of Mathematics)에 게재되었습니다.

구 쌓기 문제

비아조우스카가 해결하고자 했던 질문은 길고 유명한 역사를 가지고 있습니다. 동일한 구들을 공간에 쌓을 때 어떻게 하면 전체 부피의 가장 큰 비율을 채울 수 있을까 하는 것입니다. 3차원에서는 이것이 케플러 추측이며, 1990년대 말과 2000년대에 와서야 컴퓨터를 활용한 방대한 증명을 통해 비로소 증명되었습니다. 특정 고차원에서는 E₈ 격자(8차원)와 리치 격자(Leech lattice, 24차원)와 같이 고도로 대칭적인 특수 격자 구조 때문에 문제가 예상치 못한 구조를 띱니다. 수학자들은 오랫동안 이 격자들이 해당 차원에서 가장 밀도가 높은 구 쌓기를 제공한다고 의심해 왔지만, 아무도 이를 증명하지 못했습니다.

“마법의 함수”

2016년, 베를린 수학 학교와 훔볼트 대학교에서의 박사후 연구원 생활, 그리고 프린스턴에서의 미네르바 펠로우십을 마친 후 주로 혼자 연구에 매진하던 비아조우스카는 8차원 문제에 대해 이른바 “마법의 함수”를 구축했습니다. 이 함수는 대부분의 수론 학자들이 기대했던 모듈러 형식이 아니라, 의도적으로 불완전한 대칭을 가진 준모듈러 형식(quasimodular form)으로부터 만들어졌습니다. 이 함수를 통해 그녀는 수학계의 표준으로 보았을 때 매우 짧고 깔끔한 논증으로 E₈ 격자가 8차원에서 가장 밀도가 높은 구 쌓기를 가능하게 함을 증명했습니다. 일주일 안에 그녀는 헨리 콘(Henry Cohn), 아비나브 쿠마르(Abhinav Kumar), 스티븐 D. 밀러(Stephen D. Miller), 다니로 라첸코와 협력하여 같은 기법을 24차원의 리치 격자 문제에도 적용했습니다. 이 급박한 공동 연구를 라첸코는 나중에 “내 인생에서 가장 미친 일주일”이라고 회상했습니다. 몇 일 간격으로 발표된 두 결과는 3차원을 제외하고 정확한 답이 알려진 유일한 두 차원에서의 구 쌓기 문제를 해결했습니다.

쌓기를 넘어: 보편적 최적성

비아조우스카와 그녀의 동료들은 이후 몇 년 동안 더 나아가 2019년에 E₈ 격자와 리치 격자가 “보편적으로 최적(universally optimal)”임을 증명했습니다. 이는 이 격자들이 단일 물리 모델뿐만 아니라 광범위한 에너지 함수 클래스 전반에서 잠재 에너지를 최소화한다는 의미이며, 전자 반발에서 고분자 구성에 이르기까지 광범위한 응용 가능성을 시사합니다. 수학자 실비아 세르파티(Sylvia Serfaty)는 이 결과를 “19세기의 위대한 돌파구”에 비유하며 “과학의 위대한 진보”라고 평가했습니다. 또한 이 연구는 비아조우스카의 부분 스펙트럼 정보로부터 함수를 재구성하는 접근 방식을 통해 푸리에 해석 분야를 더욱 발전시켰습니다. 이는 구 쌓기 문제보다 훨씬 더 넓은 영역에 응용될 수 있는 기술입니다.

필즈상과 인정

2022년 7월 비아조우스카는 필즈상을 수상하며 마리암 미르자하니(Maryam Mirzakhani)에 이어 두 번째 여성 수상자가 되었고, 블라디미르 드린펠트(Vladimir Drinfeld)에 이어 우크라이나 소비에트 사회주의 공화국에서 태어난 두 번째 수학자이자, 우크라이나 대학 학위를 소지한 최초의 필즈상 수상자가 되었습니다. 이 명예로운 수상에 앞서 살렘 상(2016), 클레이 연구상(2017), SASTRA 라마누잔 상(2017), 유럽 조합수학 상(2017), 뉴 호라이즌 상(2018), 루스 리틀 새터 상(2019), 페르마 상(2019), EMS 상(2020), 국립 라치스 상(2020) 등 주요 상을 잇달아 수상했습니다. 2022년 말에는 BBC의 '올해의 여성 100인' 명단에도 이름을 올렸습니다. 2018년 1월부터 스위스 로잔 연방 공과대학교(EPFL)에서 수론 학과장을 맡고 있으며, 십 대 시절 방과 후 물리 모임에서 만난 남편인 물리학자 다니일 에브투신스키(Daniil Evtushinsky)와 두 자녀와 함께 살고 있습니다.

왜 마리나 비아조우스카는 천재라 불리는가

“천재”라는 수식어 뒤에 있는 구체적인 수학적 자질은 비아조우스카가 구축한 정확하고 닫힌 형식의 증명에 있습니다. 수학계는 3차원 케플러 사례에서 보듯 수백 페이지에 달하는 지루한 컴퓨터 보조 증명을 예상했습니다. 8차원 증명을 가능하게 한 정확한 준모듈러 형식을 찾아내는 것은 모듈러 형식에 대한 깊은 기술적 지배력과 필요한 보간 조건을 충족시킬 함수가 무엇인지 알아내는 거의 심미적인 본능의 드물고 가르치기 힘든 조합이 필요했습니다. 사르낙부터 벤카테시까지 이 논문을 검토한 수학자들이 일상적인 전문적 승인이 아닌 공개적인 경악으로 반응한 것은 바로 그 본능 때문이었습니다. 이 평가의 솔직한 한계는 8차원과 24차원에서의 구 쌓기 문제가 해결 가능했던 이유가 오직 이 두 차원만이 일반 차원에서는 사용할 수 없는 특별한 격자 구조(E₈ 및 리치 격자)를 가지고 있기 때문이라는 점입니다. 이 성과는 임의의 차원으로 일반화되지 않으며, 수학계의 더 광범위한 구 쌓기 문제는 다른 거의 모든 경우에서 여전히 미해결 상태로 남아 있습니다. 또한 24차원 확장은 헨리 콘, 아비나브 쿠마르, 스티븐 D. 밀러, 다니로 라첸코와의 급박한 그룹 협업이었지 단독 연구가 아니었으며, 유명한 8차원 증명조차 비아조우스카가 결정적인 함수를 찾아내기 전에 다른 연구자들(콘 포함)이 이미 개발해 둔 선형 계획법 기반의 구 쌓기 한계치 접근 방식을 차용한 것이었습니다.

유산

비아조우스카의 방법론은 이미 쌓기, 에너지 최소화, 푸리에 보간 문제 연구에서 표준 참고점이 되었습니다. 러시아의 전면적인 우크라이나 침공 초기 몇 달 사이에 수여된 그녀의 필즈상은 우크라이나 과학계에 특별한 상징적 무게를 지녔으며, 그녀는 이후에도 공개적으로 우크라이나 수학 기관들을 지지해 왔습니다. EPFL에서 그녀는 자신의 경력이 정의하는 데 일조한 격자 기하학과 해석적 수론의 경계에서 다음 세대의 수론 학자들을 계속해서 양성하고 있습니다.