마크 카츠: 북의 모양을 들을 수 있는가?
1966년, 한 폴란드계 미국인 확률론 수학자가 어린아이도 물어볼 법한 질문을 담은 논문을 발표했습니다. 북소리를 들으면 그 모양을 알 수 있을까? 결론은 아니었습니다. 서로 다른 공명기가 동일한 고유진동수를 공유할 수 있기 때문입니다. 이 질문은 하나의 학문 분야를 탄생시켰습니다. 카츠는 이 논문으로 2년 후 두 번째 쇼브네 상(Chauvenet Prize)을 수상했으며, 누군가의 업적인지도 모른 채 사람들이 인용하는 몇 안 되는 수학적 질문 중 하나를 남겼습니다.
크레메네츠와 이동한 국경
카츠는 1914년 8월 3일 러시아 제국령 크레메네츠(Kremenets, 폴란드어로는 Krzemieniec)의 한 폴란드계 유대인 가정에서 태어났습니다. 그가 어린 시절, 이 도시는 소련령 우크라이나에서 리가 평화 조약을 통해 폴란드로 주인이 바뀌었습니다. 그는 이사하지 않았지만, 국경이 움직였습니다. 이는 커리어 내내 자신의 발밑에서 변화하는 시스템의 행동을 연구했던 수학자에게 어울리는 출신 배경입니다.
리비우, 슈타인하우스, 그리고 탈출
그는 1937년 리비우 대학교(University of Lwów)에서 후고 슈타인하우스(Hugo Steinhaus)의 지도로 박사 학위를 받았으며, 전간기 폴란드에서 가장 뛰어난 수학적 재능이 집중되었던 리비우 수학 학파(Lwów School of Mathematics)의 일원이었습니다. 이 학파는 다가올 10년 동안 완전히 파괴될 운명이었습니다.
1938년 파르나스 재단(Parnas Foundation)의 지원금 덕분에 그는 미국으로 떠날 수 있었습니다. 그는 1938년 11월 뉴욕에 도착했습니다. 그 시점은 말 그대로 삶과 통계 데이터가 되는 것 사이의 차이였습니다. 그는 문이 닫히기 직전 마지막 순간에 대서양을 건넜습니다.
코넬과 전쟁
그는 1939년 코넬 대학교에 합류하여 1943년 강사에서 조교수로, 1947년 정교수로 승진했습니다. 1943년 미국 시민권을 취득했습니다. 1943년부터 1945년까지는 MIT 방사선 연구소에서 조지 울렌벡(George Uhlenbeck)과 함께 레이더 개발 작업에 참여했습니다. 이는 순수 수학자들이 자신들의 추상적 이론이 즉각적인 물리적 효용을 발휘함을 깨닫게 된 전시기 배치 중 하나였습니다. 울렌벡과의 협업은 종전 후에도 이어졌으며, 두 사람은 나중에 P. C. 헤머(P. C. Hemmer)와 함께 반데르발스 기체에 관한 수학적 모델을 정립했습니다.
1942년 8월
그의 부모님과 형제는 크레메네츠에 남아 있었습니다. 그들은 1942년 8월 나치의 대량 학살 과정에서 살해되었습니다.
이 사실은 그의 전기에서 별다른 논평 없이 기록되어 있으며, 보통의 사실들이 그렇듯 서사적인 것으로 미화되어서는 안 됩니다. 카츠가 미국에서 코넬 대학교 교수로 재직하며 학문적 커리어를 쌓아가고 있을 때, 그가 어린 시절 국경이 바뀌었던 고향에서 그의 가족들은 몰살당했습니다. 내면의 결과가 어떠했든, 외부적인 기록에 따르면 그는 그 후 40년간 생산적으로 일했으며, 말년에는 블라디미르 사무일로비치 키슬릭(Vladimir Samuilovich Kislik)과 요시프 베군(Yosif Begun)을 비롯한 박해받는 과학자들의 사례를 알리는 ‘관심 있는 과학자 위원회(Committee of Concerned Scientists)’의 공동 의장을 맡았습니다. 그는 아무도 목소리를 내지 않을 때 어떤 대가를 치러야 하는지 일찍이 깨달았습니다.
통계물리학: 링 모델과 이징 모델
1950년대는 그의 물리학 연구기였습니다. 1952년, 시어도어 H. 베를린(Theodore H. Berlin)과 함께 강자성체의 구면 모델을 도입했고, J. C. 워드(J. C. Ward)와 함께 이징 모델(Ising model)의 정확한 해를 구했습니다. 이는 희귀하고 귀중한 성과였는데, 정확히 풀 수 있는 모델은 전체 학문 분야가 나아갈 방향을 정하는 고정점이기 때문입니다.
1956년에는 카츠 링(Kac ring)이 발표되었으며, 이는 그의 가장 우아한 단일 구성물일 것입니다. 이것이 다루는 퍼즐은 오래되었고 본질적으로 당혹스러운 것입니다. 사물이 쇠퇴하고 자발적으로 복구되지 않는다는 거시적 비가역성이, 어떻게 시간적으로 완전히 대칭인 미시적 법칙에서 발생할 수 있는가? 이것이 로슈미트의 역설(Loschmidt's paradox)입니다. 카츠는 완전한 분석이 가능할 만큼 단순하면서도 해당 현상을 설명할 만큼 풍부한 장난감 모델을 구축하여 논쟁이 아닌 설명을 제시했습니다. 이는 특정 수학적 물리학의 최고 형태로서, 철학적 논쟁을 계산 가능한 예제로 대체한 것입니다.
북
1966년 그의 논문은 북의 기하학적 모양이 그 소리에 의해 유일하게 결정되는지 질문했습니다. 답은 일반적으로 부정적인 것으로 판명되었습니다. 서로 다른 모양이 동일한 스펙트럼을 생성할 수 있기 때문입니다. 하지만 원형 북과 같은 특정 모양의 경우 라플라스 연산자(Laplacian)의 스펙트럼으로부터 기하학적 구조를 추론할 수 있습니다. 이를 통해 연산자의 스펙트럼이 그것이 존재하는 공간에 대해 무엇을 말해주는지를 체계적으로 연구하는 스펙트럼 기하학(spectral geometry)이 탄생했습니다.
이 질문의 힘은 그 형식에 있습니다. 일상 언어로 표현되어 수학자가 아닌 사람도 즉시 이해할 수 있지만, 답을 얻으려면 심도 있는 수학적 장치가 필요합니다. 이 세 가지 속성을 모두 갖춘 문제를 공식화하는 연구자는 거의 없습니다.
마크가 천재로 불리는 이유
그를 구분 짓는 재능은 문제 선택 능력입니다. 카츠의 기술적 작업들(이징 해, 구면 모델, 반데르발스 수학)은 일류였지만, 수많은 일류 기술 작업들이 문헌 속으로 사라져 갑니다. 그를 구별 짓는 점은 그가 모호했던 영역을 갑자기 다룰 수 있게 만드는 공식화(formulation)를 반복적으로 찾아냈다는 것입니다. 카츠 링이 로슈미트의 역설에 대해 그것을 해냈고, 북 질문이 스펙트럼 기하학에 대해 그것을 해냈습니다. 이것은 어려운 문제를 해결하는 것이 아니라, 해결할 가치가 있는 어려운 문제를 찾아내어 다른 사람들이 작업을 시작할 수 있을 만큼 깔끔하게 진술하는 구체적이고 드문 재능입니다.
그의 해설적 재능은 외부를 향한 같은 본능이었으며, 이는 인정받았습니다. 1950년과 1968년의 북 논문으로 두 차례의 쇼브네 상을 받았고, 1967년에는 레스터 R. 포드 상(Lester R. Ford Award)을 받았습니다. 이어 1959년 미국 예술 과학 아카데미, 1965년 미국 국립과학원, 1969년 미국 철학 협회 회원으로 선출되었고, 1971년 브뤼셀 솔베이 강연자, 1980년 피사 스쿠올라 노르말레 페르미 강연자로 초빙되었습니다.
반론: 기록상 아무도 실제로 그에게 '천재'라는 단어를 직접 적용하지 않으며, 그의 상들은 발견보다는 해설에 대한 것이고, 북 질문은 그 답이 다른 사람들에 의해 제공되었기 때문에 매력적이어서 유명해진 측면이 있습니다. 적대적인 시각에서 보면 그는 위대한 수학자라기보다는 훌륭한 소통가이자 매우 좋은 수학자일 뿐이라고 평가할 것입니다. 하지만 공정한 시각은 틀을 짜는(framing) 것 자체가 발견의 한 형태이며, 카츠는 그것을 한 번 이상 해냈다는 점입니다.
유산
카츠는 1961년 코넬 대학교를 떠나 록펠러 대학교(The Rockefeller University)로 옮겨 약 20년간 재직했고, 1981년부터는 남부 캘리포니아 대학교에서 마지막 시간을 보냈습니다. 그는 1984년 10월 26일에 사망했습니다. 그의 저서인 <확률, 해석학, 수론에서의 통계적 독립성>(1959), <물리 과학에서의 확률 및 관련 주제>(1959), 스타니스와프 울람(Stanislaw Ulam)과 함께 쓴 <수학과 논리>(1968)는 한 세대를 가르쳤으며, 그의 자서전인 <우연의 수수께끼>(Enigmas of Chance)는 1985년 사후에 출간되었습니다. 이 제목은 국경의 사고로 가족을 잃고 보조금이라는 사고로 살아남은 한 남자에 의해 적절하게 선택되었습니다.
