朱世傑：中国の放浪する代数学者

20年以上にわたり、現在の北京近郊の燕山出身の数学者が、クビライ・ハン朝のもとで新たに統一された中国の道路を歩き回り、学びたいと思う者誰にでも代数学を教えていた。彼がようやく自らの方法論を紙に書き留めたとき、それは中国の数学者が必要としていたものをあまりにも先取りした書物であったため、歴史家ジョージ・サートンの評価によれば、彼は「その人種、その時代、そして事実上あらゆる時代の」最も偉大な数学者の一人として位置づけられた。その後、その書物はほぼ消滅し、中国自身も500年間その内容を完全に回復することはできなかった。

旅の教師

諸資料によれば、朱世傑の生涯は1249年から1320年の間に位置づけられ、最も一般的には1260年から1320年頃とされる。彼の正確な生没年でさえ、自身の著書以外に彼に関する直接の記録がいかに少ないかを示す犠牲となっている。彼は字を漢清、号を松庭といった。彼は秦九韶、楊輝、李冶とともに、分野の専門家が13世紀の偉大な中国数学者の最後の一群と呼ぶものに属しており、彼らは宋代および金代の代数学を、その伝統が何世紀も停滞する前の最高点へと引き上げた人物たちであった。朱がそのグループの中で異彩を放っていたのは移動性であった。中国のモンゴル統一によって南北間の戦争によって閉ざされていた道路が開き、朱はその道を利用し、2年間にわたって遊歴の教師として旅を続け、北部で発展した数学的技法を、それまで流通していなかった中国南部に持ち込んだのである。

算学啓蒙の導入

彼の最初の著書『算学啓蒙』（Suanxue qimeng）は1299年に出版された。それは意図的に初歩的なテキスト（全3巻、20章、259問）であり、分数、小数、面積、体積、そして古い二重虚位法（双 posição falsa）を学生に順を追って教えるものであった。この本は自国で生き残るにはあまりにもその役目をうまく果たしすぎた。中国でより高度なテキストが取って代わると、この本は中国国内で完全に失われてしまった。むしろそれは海外で生き残り、1433年に朝鮮で、1658年に日本で印刷され、清代の学者である羅士琳が1冊の写本を発見して19世紀に中国で再版するまで、両国の数学教育を何世代にもわたって形作った。すなわち、故郷に戻るために一度国を離れなければならなかった教科書であった。

四元玉鑑

朱の主著である『四元玉鑑』（Siyuan yujian）は1303年に続いた。ここには288問の解法付き問題が含まれており、その中心的な業績は、1つの未知数だけでなく、天、地、人、物という詩的な名前が与えられた4つの未知数を同時に扱う方法である。以前の中国の代数学者が、算木（counting-rod）の配列を通じて表現される1変数の方程式に対する実質的な記号代数の形式である「天元術」を発展させていたのに対し、朱はそれを連立多項式方程式を立てて解くための真のシステムへと拡張し、得られたシステムを1つの未知数に関する1つの方程式（時には最大14次にもなる）に還元し、それを数値的に解いたのである。その数値解法のために彼が用いた技術は、後にヨーロッパがウィリアム・ホーナーの名を冠することになる方法の本質であり、ホーナーがそれを発表する5世紀以上前に、中国において独立して到達され適用されたものであった。この書物はまた、「8次までの古法べき乗の表」とキャプションが付けられた図表の中に、ヨーロッパがパスカルの三角形として知ることになる二項係数の配列を示しており、さらに自然数および図形の数々の数列（最初のn個の整数の和、三角数の和、および階差の体系的法によって処理されるより複雑な数列）を総和するための導出公式を併記している。特筆すべきことに、朱は常に答えへの最も単純な道を探求したわけではなく、いくつかの問題は、現実世界の問題を経済的にモデル化するためというよりむしろ、学生のために彼の方法論をその全能力まで発揮させるために、意図的に高い複雑性を持たせて構築されたように見える。

失われたものと見出されたもの

『四元玉鑑』もまた無傷のまま生き残ったわけではない。18世紀までに、それは中国国内での流通から事実上消滅しており、その現代への存続は、浙江省で唯一現存する写本を追跡した学者である阮元のおかげである。彼はそのテキストを、ひどく破損し「誤りが満ち満ちている」と自ら表現した。その後の清代の学者たちは、朱の元の議論を再構築して明確にしようと7つの序文と膨大な注釈を加えた。その作業があまりにも膨大であったため、今日の歴史家たちは、朱自身の思想と、その上に構築された19世紀の注釈の層とを切り離すことに困難を感じている。その下から浮かび上がってくるものは、依然として中世中国代数学の技術的頂点とみなされており、現代の数学史家たちは、中国数学はその後非常に長い間、朱が達成したものを超えて意味のある進歩を遂げなかったと記している。

朱が天才と呼ばれる理由

朱が天才と呼ばれる根拠は、原始的な道具を用いた抽象化に関するものである。書かれた記号記法ではなく、ボード上の算木を用いて、彼は最大4つの未知数を持つ多項式方程式系を表現し解くための首尾一貫した方法を構築した。それは中国数学が彼の到達する前に達したことのない、そしてヨーロッパが初期近代まで同等の形で到達しなかった代数的一般性のレベルであった。高次多項式の根を抽出するための彼の数値技術はホーナーの方法を500年以上先取りしており、二項係数の三角配列はパスカルのものを3世紀以上先取りしていた。これらは両者間に一切の接触のない、完全に別個の数学的伝統を通じて到達されたものであった。このような収束的発見（何世紀もの時間と異なる文明を隔てて、同じ深遠な構造が二度見出されること）は、既存の道具の漸進的な洗練ではなく、真の洞察の証拠として数学史家が指摘する古典的な特徴の一つである。

正直な留保として、朱の評判は、現存するテキスト自体が不確かである2つの書物にほぼ全体として依存している。『四元玉鑑』は、何世紀にもわたる後代の注釈によって濾過された唯一の破損した写本を通じて現代世界にたどり着いたため、専門家はどの箇所が朱自身の言葉であり、どれが清代の再構築や加筆であるのかを常に確信できるわけではない。彼の伝記も同様に希薄であり、生年や没年でさえ資料間で1所以上の年代のずれがある。そのため、この天才は、その人物に関する同時代の証言ではなく、数学そのものによってほぼ全体として証明されているのである。

遺産

多項式方程式系から変数を消去する朱の方法は、現代の数学者によって、20世紀の呉文俊による「特性集合法」の直接の祖先として認められており、この技法は今日でもコンピュータ代数において使用されている。これは、中世中国の代数的技法が、歴史的な珍奇なものにとどまることなく、現代の計算数学に直接流れ込んだ稀な例である。