ジュゼッペ・ペアノ：数学にその意味を語らせた男
1900年8月、パリで開催された国際哲学会議で、バートランド・ラッセルは一人の小柄なイタリア人教授が次々と論敵を打ち負かすのを目撃した。「彼は誰よりも常に正確であり、自分が着手したあらゆる議論において例外なく優位に立っていた」とラッセルは後に記している。ラッセルはペアノの論文の束を持って帰郷し、田舎に隠遁して彼やその弟子たちが書いた言葉のすべてを静かに研究した。現代の分析哲学は概ねそこから始まる。
スピネッタの農家
ペアノは1858年8月27日、当時サルデーニャ王国の一部であったピエモンテ州クーネオ近郊の農家で生まれた。両親は農業労働者であった。彼はスピネッタの村の学校に通い、その後クーネオの学校まで毎日5キロ歩いて通った。脱出の機会は家族を通じて訪れた。トリノの司祭であり弁護士であった母方の伯父が少年の才能を見抜き、1870年に彼をトリノへ連れて行き、カヴール高等学校 (Liceo Cavour) で適切な中等教育を受けさせた。
彼は1876年にトリノ大学に入学した。1年次にはドヴィディオ (D'Ovidio) が解析幾何学と代数学を、2年次にはアンジェロ・ジェノッキ (Angelo Genocchi) が微積分を教えた。3年次までには、彼は学部の学生の中で唯一純粋数学を学ぶ学生となっており、他の学生は全員工学部に転籍していた。1880年9月29日に博士号を取得して卒業し、大学は彼を留めて、まずドヴィディオを、次いで微積分学の講座を担当していたジェノッキを補佐させた。
間違いを見つけた男
ペアノの決定的な特徴は、ほぼすぐに明らかになった。1882年、セレー (Serret) の標準的な微積分学の教科書に取り組んでいた際、彼は曲面の面積に関する定義が誤っていることを発見した。それをジェノッキに持ち込むと、シュヴァルツ (Schwarz) がすでにそれを見抜いていたことを教えられたが、その直感は確立され、彼を離れることはなかった。彼は生涯をかけて他の数学者の研究を読み、推論が静かに失敗している場所を見つけ出すことになった。
これは趣味ではなかった。コッラード・セグレ (Corrado Segre) が、発見の瞬間は厳密な定式化よりも重要であるという根拠で曖昧な言明を擁護した際、ペアノの返答は痛烈なものだった。「例外が知られている、あるいは証明を持たない命題を、著者が研究の中で意図的に使用することは、数学の歴史において新しいことだと私は思う」。彼はヘルマン・ローラン (Hermann Laurent) の証明を解体し、ヴェロネーゼ (Veronese) の本を論評して、その誤りと厳密さの欠如がその本の価値をすべて奪っていると結論付けた。彼は絶えず敵を作った。
ジェノッキの健康が衰えたとき、ペアノが微積分学の講義を引き継ぎ、1884年の『微分積分学の原理』(Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale) はジェノッキの名義で出版された。ジェノッキは立派にも公的な免責事項を発表し、すべては「あの卓越した若者ジュゼッペ・ペアノ博士」のおかげであると述べた。
1889年と1890年の二つの衝撃
1889年、ペアノは『算術の原理、新しい方法で提示されたもの』(Arithmetices principia, nova methodo exposita) を出版した。その中で彼は今日でも彼の名を冠する公理、すなわち自然数の標準的な公理化を提示し、算術のすべてを開始点、後継者操作、そして帰納法から導き出した。これは数理論理学の歴史と数学の基礎の両面において画期的な出来事である。彼はそれをラテン語で書いたが、ある歴史家はこれを純粋なロマンチシズムと呼んでいる。
その1年後に空間充填曲線が登場した。カントール (Cantor) は単位区間と単位正方形が同じ濃度を持つことを示しており、ネット (Netto) はそのような対応関係が同時に全単射かつ連続であることは不可能であることを示していた。ペアノは、正方形のあらゆる点を通る連続曲線を構築した。連続性を保つために単射性を捨てたその過程で、曲線とは何か、次元とは何を意味するのかというあらゆる快適な直感を破壊した。ハウスドルフ (Hausdorff) は、これを集合論における最も注目すべき事実の一つと呼んだ。これらと並んで、微分方程式に対するペアノの存在定理、ペアノ・ジョルダン測度、ペアノの核定理がある。
彼は1889年に王立陸軍士官学校の一級教授に任命され、1890年にはトリノで無限小微積分学の臨時教授に、1895年には正教授に任命された。
数学のための言語
1891年以降、ペアノは残りの職業人生を費やすことになるプロジェクト、すなわち『数学公式集』(Formulario Mathematico) を追求した。これは数学のすべての既知の公式と定理を収めることを目的とした百科事典であり、それぞれが彼独自の標準的な記号表記で記述されていた。「通常の言語では長く困難になるであろうこのような収集は、数理論理学の表記法を用いることで著しく容易になる」と彼は記した。
その表記法こそが真の業績であった。現代の数学者が所属、和集合、共通部分、存在のために毎日使っている記号は、ペアノに由来している。1908年の最終版には4200の公式と定理が含まれており、すべてが完全に記述され、そのほとんどが証明されていた。読む者はほとんどいなかった。
なぜジュゼッペは天才と呼ばれるのか
その特定の能力とは、一種の無慈悲な意味的明晰さである。誰もが受け入れていた数学的な文を見て、どの言葉が検証されていない仕事をしているかを正確に見抜き、それを新しい記号で修正するか、反例で爆破する能力である。空間充填曲線と算術の公理は、反対の方向を向いた同じ才能であり、一方は誤った直感を破壊し、もう一方は直感が全く必要ないように基盤を再構築するものである。
この言葉は、判断力のある人々によって使われてきた。ラッセルはペアノの表記法を「私が長年探し求めていた論理分析の道具」と呼んだ。ハウスドルフはその曲線を集合論における最も注目すべき事実の一つと呼んだ。彼の伝記作家ケネディは、彼をその世紀の偉大な科学者の一人と評価した。
反論は異例なほど明確であり、ペアノ自身の称賛者たちがそれを指摘している。彼の独創性は1900年以前の数年に集中しており、その後、彼は数学界が全く使わなかった2つのプロジェクト、すなわち『公式集』と人工言語に膨大なエネルギーを注ぎ込んだ。彼はあまりにも熱心に自分の記号を教えようとしたため、教える対価をもらっていた微積分学を疎かにし、1901年に陸軍士官学校は彼を解雇した。トリノの制度的自律性だけが彼の大学のポストを救った。ペアノは実践的な数理論理学を創始したが、その父と呼ばれるのは一般的にゴットロープ・フレーゲ (Gottlob Frege) である。ペアノの天才は本物であり、狭く、そして本人によって部分的に浪費されたものだった。
文法のないラテン語
1903年、彼は『屈折なきラテン語』(Latino sine flexione) を発表した。これは屈折を取り除き、ラテン語、英語、フランス語、ドイツ語から語彙を抽出した、科学のための普遍的な補助言語を意図したものであった。1908年1月3日、彼はトリノ科学アカデミーで論文を読み上げたが、それは通常のラテン語で始まり、簡略化を重ねて新しい言語で終わった。彼は「インターリングアのためのアカデミー」(Academia pro Interlingua) の理事に選出され、同アカデミーは彼の支持のために「イディオム・ニュートラル」(Idiom Neutral) を放棄した。彼は最終的な『公式集』をこの言語で書いたが、読者の増加には全く寄与しなかった。
最後の講義
彼は1887年に、トリノの画家ルイジ・クロージョ (Luigi Crosio) の娘であるカローラ・クロージョと結婚した。栄誉は絶えず積み重なった。1891年のトリノ科学アカデミー、1901年の聖マウリツィオ・ラザロ勲章の騎士、1905年のリンチェイのアカデミア (Accademia dei Lincei) の通信会員、1921年のイタリア王冠勲章のコメンダトーレ。彼は死の前日までトリノで教鞭を執り、1932年4月20日、73歳で致命的な心臓発作に見舞われた。集合に要素が属すると書くすべての学生は、彼の筆跡を使っているのである。
