ミレニアム懸賞問題：7つの疑問、700万ドル、1つの辞退

ミレニアム懸賞問題とは

2000年5月24日、パリのコレージュ・ド・フランスにて、クレイ数学研究所は7つの問題を発表し、それぞれについて最初に受理された解決策に対して100万ドルを贈呈すると約束しました。その日の夜、ジョン・テイトとマイケル・アティヤが講演でそれらを紹介しました。

その舞台設定は意図的なものでした。100年前の1900年8月8日、 David Hilbert がパリで開催された国際数学者会議で未解決問題のリストを発表し、そのリストが20世紀の数学の大部分を導きました。クレイ研究所は、めったに注目されない研究に公共の関心を集めるための資金を添えて、新しい世紀のための新しいリストを求めたのです。

研究所は、各問題の公式な解説を一流の専門家に委託しました。アンドリュー・ワイルズはバーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想の解説を、スティーブン・クックはP対NP問題の解説を、ピエール・ドリーニュはホッジ予想の解説を、チャールズ・フェファーマンはナビエ-ストークス方程式の解説を、エンリコ・ボンビエリはリーマン予想の解説を、そしてアーサー・ジャッフェとエドワード・ウィッテンはヤン-ミルズ問題の解説を執筆しました。

7つの問題を一目で

未解決の6つ

リーマン予想

リストの中で最も古い。 Bernhard Riemann が1859年に提示し、ヒルベルトが1900年のリストの第8位に挙げました。コンピュータによる検索では直線外にゼロ点は見つかっていませんが、検索は証明ではありません。私たちの リーマン予想ガイド は解説を詳しく説明しています。

P対NP問題

コンピューターサイエンスからの唯一の問題。ほとんどの専門家はPはNPと等しくないと予想しており、これは一部の問題はチェックするのは簡単だが解くのは難しいことを意味する。現代の暗号学の多くは、その予想が正しいと暗黙のうちに仮定している。

ナビエ・ストークス方程式

エンジニアは毎日この方程式を使用して、翼上の空気やパイプ内の水をモデル化している。しかし、3次元で滑らかな解が常に存在することを証明した者も、解が爆発するケースを見つけた者もいない。

ヤン・ミルズ方程式と質量ギャップ

この理論は、1954年の論文にまで遡る。 Chen Ning Yang とRobert Millsが提唱し、素粒子物理学の標準模型の基礎となっている。物理学者はこれを大きな成功を収めて使用している。数学者は、それが厳密な基盤の上に存在することを示せていない。

ホッジ予想

7つの問題の中で最も抽象的であり、専門用語を使わずに述べるのが最も難しい。トポロジーによって定義されるオブジェクトのクラスが、多項式方程式によって定義されるオブジェクトから常に組み立てられるかどうかを問うものである。

バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想

Bryan BirchとPeter Swinnerton-Dyerは、ケンブリッジの初期のEDSACコンピューターでの計算から、1960年代初頭にこの予想に到達した。 Andrew Wiles、証明した ポアンカレ予想 1990年代に、Clayの声明文を書いた。

ポアンカレとペレルマン：脱落した者

Henri Poincaré は1904年に彼の予想を定式化した。大まかに言えば、単純なテストに合格する（その中のあらゆるループが、それを離れることなく1点に縮小できる）3次元形状は、3次元球面でなければならないかどうかを問うものである。この問いは、ほぼ1世紀の間、証明を拒絶し続けた。

Grigori Perelman、サンクトペテルブルクの数学者は、2002年11月11日、2003年3月10日、2003年7月17日にarXivに投稿された3つの論文でそれを解決した。彼は1982年の論文でRichard Hamiltonが導入した手法であるリッチフローに基づき、それを停滞させていた障害を乗り越える方法を見つけた。ペレルマンは論文をジャーナルに投稿しなかった。専門家チームが数年かけてそれらを検証した。

2010年3月18日、Clayは賞を発表した。「これは数学史上、長く記憶されるであろう主要な進歩です」と、当時のClay会長James Carlsonは述べた。2010年7月1日、ペレルマンはそれを辞退した。彼はロシアの通信社Interfaxに対し、「主な理由は、組織化された数学コミュニティとの意見の相違です」と語り、さらに「私は彼らの決定が好きではなく、不当だと考えています」と付け加えた。彼はHamiltonの貢献を自分の貢献と同じくらい大きいと考えていた。

これが彼の2度目の拒否であった。2006年8月、マドリードで開催された国際数学者会議で、彼は40歳未満の数学者に贈られる最高の賞であるフィールズ賞を辞退した。彼によると広く信じられている発言で、彼はこう言った。「私はお金や名声には興味がない。動物園の動物のように展示されたくない。」 それでもClayとアンリ・ポアンカレ研究所は、2010年6月にパリで解決を記念する会議を開催した。

解決策はどのように賞金を得るか

Clayに証明を郵送しても誰も勝てない。研究所は直接の提出を受け付けていない。2018年9月26日に最後に改訂された規則の下では、次の3つの条件が満たされた場合にのみ解決策が資格を得る：

• 規則で定義されている適格な媒体で公開されていること。
• 公開から少なくとも2年が経過していること。
• 世界中の数学コミュニティで一般的に受け入れられていること。

これらの条件は、オンラインやプレスで定期的に現れる主張された証明が、カウントを動かさない理由を説明している。ペレルマンのケースは、柔軟性を示している。彼はジャーナルで一度も公開しなかったが、専門家が検証した時点でClayはarXivの論文を受け入れた。

解くには天才的なIQが必要か？

どの知能テストでも言うことはできない。ペレルマンはIQスコアを公表したことはなく、彼やこれらの問題に取り組んでいる生存中の数学者に対して検証済みの数字は存在しない。彼の能力の文書化された証拠は彼の仕事である：1982年の国際数学オリンピックでの満点の金メダル、そして証明そのものである。

テストにも限界がある。WAIS-IVは、最大で 160の全尺度スコアを報告している。これは約31,600人に1人が到達するレベルであり、そのラインを超える人数は、ミレニアム問題を前進させた人数よりもはるかに多い。2つのグループを分けるのは、長年の専門知識、一つの問いに対する持続的な集中、そして多くの場合、新しい手法である。Hamiltonのリッチフローは、ペレルマンが仕事を終えるまで20年の歴史があった。

歴史的な数学者の記録については、 数学者のIQランキングを参照のこと。高いスコアが何を予測し、何を予測しないかについては、 高いIQとは何か および 高い知能の兆候を参照のこと。私たちの 無料IQテスト は練習用のスクリーナーであり、 IQガイド は専門的なテストがどのように機能するかを説明している。

編集基準：歴史的人物に対するIQ値は遡及的な推定値であり、その旨が記載されている。存命人物のスコアは、本人が開示した場合、または信頼できる報道機関が報告した場合にのみ掲載される。訂正： 編集者に連絡する.