この定理が意味すること
フェルマーの最終定理は、xⁿ + yⁿ = zⁿ を満たす正の整数 x, y, z と整数 n > 2 は存在しないと述べている。n = 2 の場合、無限に多くの解が存在する（ピタゴラスの三つ組：3² + 4² = 5² など）。n ≥ 3 の場合、定理は解が存在しないと主張する。明快な命題だが、証明するのは極めて困難である。
3世紀にわたる挑戦
オイラーは1770年に n = 3 の場合を証明した。ディリクレとルジャンドルは1825年に n = 5 を証明した。ラメは1839年に n = 7 を証明した。クンマーは1850年にすべての「正則素数」について定理を証明した。1980年代までに、フェルマーの最終定理は125,000までのすべての n に対して計算機で検証されていたが、計算は証明ではない。一般のケースは誰をも寄せ付けなかった。
ワイルズの証明
アンドリュー・ワイルズは10歳の時に読んで以来、フェルマーに魅了されていた。1986年、ケン・リベットは谷山・志村予想がフェルマーの最終定理を導くことを証明した。すなわち、すべての楕円曲線がモジュラーであれば、フェルマーの最終定理は真である。ワイルズは7年間、半安定楕円曲線に対する谷山・志村予想を証明するために極秘裏に取り組んだ。1993年6月に証明を発表したが、不備が見つかった。14ヶ月の追加研究を経て、1995年に完全な証明が現れた。それは最先端の整数論による130ページに及ぶものだった。余白は確かにフェルマーの証明を書くには狭すぎた。なぜなら、彼の証明はほぼ間違いなく存在しなかったからである。
よくある質問
フェルマーの最終定理とは何か？
フェルマーの最終定理は、n > 2 の整数において、xⁿ + yⁿ = zⁿ を満たす正の整数の解は存在しないと述べている。n = 2 の場合、解は豊富に存在する（3,4,5のようなピタゴラスの三つ組）。フェルマーは1637年に証明を持っていると主張したが、書き残さなかった。アンドリュー・ワイルズは1995年に楕円曲線とモジュラー形式を用いて証明したが、これらはフェルマーの時代には存在しなかった数学である。
フェルマーは実際に証明を持っていたのか？
ほぼ確実に持っていなかった。ワイルズの証明は、フェルマーが知り得なかった20世紀の数学（楕円曲線、モジュラー形式、ガロア表現）を使用している。特殊なケース（n=3, n=5, n=7）の証明でさえ、フェルマーの時代を超えた大幅な革新を必要とした。フェルマーは精査していない誤った論法を持っていたか、より単純な関連結果と混同していたというのが一般的な見解である。
アンドリュー・ワイルズはどうやってフェルマーの最終定理を証明したのか？
ワイルズは、半安定楕円曲線に対する谷山・志村予想を証明した。つまり、そのようなすべての曲線はモジュラー形式に対応するということである。ケン・リベットはそれ以前に、これがフェルマーの最終定理を導くことを証明していた。ワイルズはプリンストンで7年間密かに研究し、1993年に証明を発表したが（不備があった）、1994年に訂正された証明を完成させ、1995年に130ページにわたって発表した。