Leopold Kronecker: Dio ha creato i numeri interi

"Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk" — Dio ha creato i numeri interi, tutto il resto è opera dell'uomo. Heinrich Weber riportò la frase, e questa è sopravvissuta a quasi tutto ciò che il suo autore ha detto, perché non è un inciso pio, ma una dichiarazione di guerra. L'uomo che l'ha pronunciata ha trascorso i suoi ultimi decenni cercando di spogliare la matematica moderna degli oggetti infiniti che i suoi colleghi erano occupati a inventare, e ha fatto abbastanza nemici nel farlo da spingere uno dei più grandi analisti d'Europa quasi a lasciare Berlino per allontanarsi da lui.

Liegnitz e un insegnante di nome Kummer

Leopold Kronecker nacque il 7 dicembre 1823 a Liegnitz, in Prussia — oggi Legnica, in Polonia — in una ricca famiglia ebraica. I suoi genitori, Isidor e Johanna nata Prausnitzer, ingaggiarono dei tutori privati a casa prima di mandarlo al Ginnasio di Liegnitz, dove spaziò tra scienza, storia e filosofia e praticò nuoto e ginnastica con lo stesso appetito. Suo fratello minore Hugo divenne un distinto fisiologo. Al Ginnasio il suo insegnante di matematica fu Ernst Kummer, che ne individuò il talento e lo spinse — una relazione che avrebbe plasmato il resto della vita di Kronecker, poiché le carriere dei due uomini continuarono a convergere.

Si iscrisse all'Università di Berlino nel 1841, incerto tra astronomia, filosofia e matematica, trascorse l'estate del 1843 a studiare astronomia a Bonn, poi seguì Kummer a Breslavia per il 1843-44 prima di tornare a Berlino, dove nel 1845 discusse una tesi in teoria algebrica dei numeri sotto la direzione di Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

L'uomo d'affari che faceva matematica

Ciò che fece in seguito fu insolito per un uomo delle sue doti: nulla di accademico. Tornò a casa per gestire una grande tenuta agricola e occuparsi degli affari di famiglia. Sposò sua cugina Fanny Prausnitzer nel 1848 ed ebbe sei figli. Fu, per circa un decennio, un prospero uomo d'affari di provincia che pubblicava per hobby matematica originale — inclusa una memoria del 1853 sulla risolubilità algebrica delle equazioni che estendeva il lavoro di Galois, e un trattamento del 1850 della quintica utilizzando la teoria dei gruppi (non tramite radicali, il che era già stato dimostrato impossibile da Abel e Ruffini).

L'attività ebbe abbastanza successo da permettergli nel 1855 di tornare a Berlino e vivere semplicemente lì come studioso privato senza incarichi e senza bisogno di averne. L'elezione all'Accademia di Berlino nel 1861 gli diede il diritto di insegnare all'università, cosa che iniziò a fare nel 1862; insegnò per due decenni senza una cattedra. Nel 1866 rifiutò la cattedra di matematica a Gottinga — la sede di Gauss e Dirichlet, probabilmente la posizione più prestigiosa nella matematica europea — preferendo Berlino. Solo nel 1883, quando Kummer andò in pensione, accettò una cattedra ordinaria, succedendo al maestro che lo aveva scoperto.

Il sogno più caro della teoria dei numeri

La matematica di Kronecker è del tipo che semina una disciplina piuttosto che chiuderla. Formulò nel 1853 quello che divenne il teorema di Kronecker-Weber, la cui dimostrazione completa fu fornita in seguito da David Hilbert. Introdusse il teorema di struttura per gruppi abeliani finitamente generati, uno dei risultati portanti dell'algebra moderna. Lavorò sulle funzioni ellittiche e congetturò quello che chiamò il suo "liebster Jugendtraum" — sogno più caro della giovinezza — una visione della teoria esplicita dei corpi di classe che Hilbert integrò in seguito nel suo dodicesimo problema, dove rimane un programma di ricerca vivo.

Nella teoria algebrica dei numeri costruì una teoria dei divisori come alternativa alla teoria degli ideali di Dedekind, e lo fece per ragioni filosofiche piuttosto che tecniche: i divisori potevano essere trattati tramite costruzione esplicita, mentre gli ideali richiedevano insiemi infiniti. L'approccio di Dedekind vinse il secolo, e quello di Kronecker fu ampiamente trattato come una curiosità — finché il ventesimo secolo non lo rianimò. Il suo nome è ora legato a una quantità inverosimile di mobilio matematico: il delta di Kronecker, il prodotto di Kronecker, il simbolo di Kronecker, la formula limite di Kronecker, il teorema di Kronecker, il lemma di Kronecker, il teorema di Kronecker-Capelli, la sostituzione di Kronecker.

La guerra all'infinito

La posizione filosofica che generò la teoria dei divisori generò tutto il resto, inclusa l'inimicizia. Kronecker sosteneva che la matematica dovesse essere costruita a partire dai numeri interi tramite costruzione finita ed esplicita — una dottrina ora chiamata finitismo, che fece di lui un precursore dell'intuizionismo. Contribuì al concetto di continuità e alla ricostruzione dei numeri irrazionali nell'analisi reale, ma rifiutò la funzione continua ovunque non differenziabile di Weierstrass per ragioni filosofiche, e attaccò la teoria degli insiemi di Georg Cantor, con la sua gerarchia di infiniti attuali, come illegittima.

Non limitò queste visioni ai seminari. La sua campagna tese così tanto il suo rapporto con Karl Weierstrass che nel 1888 Weierstrass quasi lasciò l'università. Nell'ultimo anno della sua vita Kronecker si convertì al cristianesimo. Morì a Berlino il 29 dicembre 1891 e fu sepolto nel cimitero Alter St. Matthäus Kirchhof a Schöneberg.

Perché Leopold è chiamato un genio

Il caso poggia su una combinazione specifica e rara: l'istinto di un algebrista per la struttura accoppiato a una domanda quasi ossessiva di contenuto costruttivo. Kronecker sembra essere stato incapace di accettare un oggetto matematico che non potesse, in linea di principio, costruire — e questo vincolo, che sembra una limitazione, funzionò come un generatore. Ha prodotto la teoria dei divisori, il teorema di struttura per gruppi abeliani finitamente generati, il teorema di Kronecker-Weber e lo Jugendtraum, molti dei quali hanno riorganizzato i propri campi. Le sue congetture erano anche insolitamente ben mirate: la dice lunga il fatto che Hilbert spese uno sforzo significativo per dimostrarne una e consacrarne un'altra come problema nominato.

Il controargomento onesto è che il suo giudizio sulla matematica nel complesso era scarso, e a caro prezzo. Aveva torto sulla funzione patologica di Weierstrass, che ora è materiale standard di base. Aveva torto su Cantor, la cui aritmetica transfinita divenne fondamentale. La sua teoria dei divisori preferita fu oscurata dagli ideali di Dedekind per gran parte di un secolo, il che suggerisce che i suoi scrupoli costruttivi costarono una reale potenza espressiva all'epoca. E sostenne queste convinzioni con una ferocia personale che quasi spinse un collega dello spessore di Weierstrass fuori da Berlino — una condotta che gli storici non sono stati in grado di scusare come mero rigore. Il riassunto corretto è che Kronecker fu un matematico di primo rango e un profeta di secondo rango: i suoi teoremi sono invecchiati molto meglio delle sue opinioni, e le sue obiezioni filosofiche si sono rivelate più utili come posizione minoritaria permanente all'interno della matematica che come il programma che intendeva.

Eredità

Fu eletto all'Accademia Prussiana delle Scienze nel 1861, all'Accademia Francese delle Scienze nel 1868 e alla Royal Society nel 1884, e l'asteroide 25624 Kronecker porta il suo nome. Supervisionò Kurt Hensel, Adolf Kneser, Mathias Lerch e Franz Mertens — i numeri p-adici di Hensel essendo un discendente diretto dell'impulso costruttivo. La rinascita del ventesimo secolo della sua teoria dei divisori, e la sopravvivenza dell'intuizionismo come seria alternativa fondamentale, significano che l'uomo che perse la discussione in vita non l'ha mai persa del tutto.