Carl Gustav Jacob Jacobi

Carl Gustav Jacob Jacobi era un matematico tedesco che ha dato contributi fondamentali alle funzioni ellittiche, alla dinamica, alle equazioni differenziali, ai determinanti e alla teoria dei numeri. 

Jacobi fu il primo matematico ebreo a essere nominato professore in un'università tedesca.

Biografia

Jacobi nacque da genitori ebrei ashkenaziti a Potsdam il 10 dicembre 1804. Era il secondo di quattro figli del banchiere Simon Jacobi. Suo fratello maggiore Moritz von Jacobi sarebbe diventato noto in seguito come ingegnere e fisico. Fu inizialmente istruito a casa da suo zio Lehman, che gli insegnò le lingue classiche e gli elementi della matematica. Nel 1816, il dodicenne Jacobi andò al Potsdam Gymnasium, dove gli studenti venivano insegnati tutti i soggetti standard: lingue classiche, storia, filologia, matematica, scienze, ecc. Grazie alla buona educazione che aveva ricevuto da suo zio, così come alle sue stesse straordinarie capacità, dopo meno di mezzo anno Jacobi fu promosso all'ultimo anno nonostante la sua giovane età. Tuttavia, poiché l'Università non accettava studenti più giovani di 16 anni, dovette rimanere nella classe senior fino al 1821. Ha usato questo tempo per approfondire le sue conoscenze, mostrando interesse in tutti i soggetti, inclusi latino, greco, filologia, storia e matematica. Durante questo periodo ha anche fatto i suoi primi tentativi di ricerca, cercando di risolvere l'equazione quintica per radicali.

Nel 1821 Jacobi andò a studiare all'Università di Berlin, dove inizialmente divise la sua attenzione tra le sue passioni per la filologia e la matematica. In filologia ha partecipato ai seminari di Böckh, attirando l'attenzione del professore con il suo talento. Jacobi non ha frequentato molti corsi di matematica all'Università, poiché il basso livello di matematica all'Università di Berlin a quel tempo li rendeva troppo elementari per lui. Tuttavia, ha continuato con il suo studio privato delle opere più avanzate di Euler, Lagrange e Laplace. Nel 1823 ha capito che doveva prendere una decisione tra i suoi interessi concorrenti e ha scelto di dedicare tutta la sua attenzione alla matematica. Nello stesso anno è diventato qualificato per insegnare nelle scuole secondarie e gli è stata offerta una posizione al Joachimsthal Gymnasium di Berlin. Jacobi ha deciso invece di continuare a lavorare verso una posizione universitaria. Nel 1825 ha ottenuto il dottorato di ricerca con una dissertazione sulla decomposizione parziale delle frazioni razionali discussa davanti a una commissione presieduta da Enno Dirksen. È stato immediatamente seguito dalla sua Habilitazione e allo stesso tempo si è convertito al cristianesimo. Ora qualificato per insegnare lezioni universitarie, il ventunenne Jacobi ha tenuto lezioni nel 1825/26 sulla teoria delle curve e delle superfici presso l'Università di Berlin.

Nel 1827 Jacobi è diventato professore e nel 1829, professore ordinario di matematica all'Università di Königsberg, e ha mantenuto la cattedra fino al 1842. Ha subito un collasso da eccesso di lavoro nel 1843. Ha quindi visitato l'Italia per pochi mesi per recuperare la salute. Al suo ritorno si trasferì a Berlin, dove visse come pensionato reale fino alla sua morte. Durante la Rivoluzione del 1848 Jacobi fu politicamente coinvolto e presentò senza successo la sua candidatura parlamentare per conto di un club liberale. Questo ha portato, dopo la repressione della rivoluzione, al taglio della sua sovvenzione reale, ma la sua fama e reputazione erano tali che presto è stata ripresa. Nel 1836 era stato eletto membro straniero della Royal Swedish Academy of Sciences.

Jacobi morì nel 1851 a causa di un'infezione di vaiolo. La sua tomba è conservata in un cimitero nella sezione Kreuzberg di Berlin, il Friedhof I der Dreifaltigkeits-Kirchengemeinde 61 Baruther Street. La sua tomba è vicina a quella di Johann Encke, l'astronomo. Il cratere Jacobi sulla Luna è chiamato così in sua memoria.

Contributi scientifici

Uno dei più grandi successi di Jacobi fu la sua teoria delle funzioni ellittiche e la loro relazione con la funzione theta ellittica. Questo fu sviluppato nel suo grande trattato Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum 1829, e in articoli successivi in Crelle's Journal. Le funzioni theta hanno grande importanza nella fisica matematica a causa del loro ruolo nel problema inverso per flussi periodici e quasi-periodici. Le equazioni del moto sono integrabili in termini delle funzioni ellittiche di Jacobi nei casi ben noti del pendolo, della trottola di Euler, della trottola simmetrica di Lagrange in un campo gravitazionale e del problema di Kepler del moto planetario in un campo gravitazionale centrale.

Ha anche dato contributi fondamentali allo studio delle equazioni differenziali e alla meccanica classica, in particolare alla teoria di Hamilton–Jacobi.

Fu nello sviluppo algebrico che la particolare potenza di Jacobi risiedeva principalmente, e ha dato importanti contributi di questo tipo in molte aree della matematica, come mostra la sua lunga lista di articoli in Crelle's Journal e altrove dal 1826 in poi. Si dice che abbia detto ai suoi studenti che quando si cerca un argomento di ricerca, si dovrebbe 'Invert, always invert' 'man muss immer umkehren', riflettendo la sua convinzione che invertire i risultati noti possa aprire nuovi campi di ricerca, ad esempio invertendo gli integrali ellittici e concentrandosi sulla natura delle funzioni ellittiche e theta.

Nel suo articolo del 1835, Jacobi ha provato il seguente risultato fondamentale che classifica le funzioni periodiche incluse le funzioni ellittiche: se una funzione univariata a un solo valore è moltiplicemente periodica, allora tale funzione non può avere più di due periodi, e il rapporto dei periodi non può essere un numero reale. Ha scoperto molte delle proprietà fondamentali delle funzioni theta, inclusa l'equazione funzionale e la formula del triplo prodotto di Jacobi, così come molti altri risultati su serie q e serie ipergeometriche.

La soluzione del problema di inversione di Jacobi per la mappa di Abel iperellittica di Weierstrass nel 1854 ha richiesto l'introduzione della funzione theta iperellittica e in seguito la funzione theta di Riemann generale per curve algebriche di genere arbitrario. Il toro complesso associato a un genere g dal reticolo dei periodi è denominato varietà jacobiana. Questo metodo di inversione, e la sua successiva estensione da parte di Weierstrass e Riemann a curve algebriche arbitrarie, può essere visto come una generalizzazione di genere superiore della relazione tra gli integrali ellittici e le funzioni ellittiche di Jacobi o Weierstrass.

Jacobi fu il primo ad applicare le funzioni ellittiche alla teoria dei numeri, ad esempio provando il teorema dei due quadrati di Fermat e il teorema dei quattro quadrati di Lagrange, e risultati simili per 6 e 8 quadrati. Il suo altro lavoro nella teoria dei numeri ha continuato il lavoro di C. F. Gauss: nuove prove della reciprocità quadratica e introduzione del simbolo di Jacobi; contributi alle leggi di reciprocità superiore, investigazioni di frazioni continue, e l'invenzione delle somme di Jacobi.

È stato anche uno dei primi fondatori della teoria dei determinanti. In particolare, ha inventato il determinante jacobiano formato dalle n2 derivate parziali di n funzioni date di n variabili indipendenti, che svolge un ruolo importante nei cambiamenti di variabili negli integrali multipli, e in molte indagini analitiche. Nel 1841 ha reintrodotto la notazione della derivata parziale ∂ di Legendre, che sarebbe diventata standard.

È stato uno dei primi a introdurre e studiare i polinomi simmetrici che ora sono conosciuti come polinomi di Schur, dando la cosiddetta formula bialternante per questi, che è un caso speciale della formula dei caratteri di Weyl, e derivando le identità di Jacobi–Trudi. Ha anche scoperto la formula di Desnanot–Jacobi per i determinanti, che stanno alla base delle relazioni di Plucker per i Grassmanniani.

Gli studenti di campi vettoriali, teoria di Lie, meccanica hamiltoniana e algebre di operatori incontrano spesso l'identità di Jacobi, l'analogo dell'associatività per l'operazione di Lie bracket.

La teoria planetaria e altri particolari problemi dinamici hanno altresì occupato la sua attenzione di tanto in tanto. Mentre contribuiva alla meccanica celeste, ha introdotto l'integrale di Jacobi 1836 per un sistema di coordinate siderale. La sua teoria dell'ultimo moltiplicatore è trattata in Vorlesungen über Dynamik, a cura di Alfred Clebsch 1866.

Carl Gustav ha lasciato molti manoscritti, porzioni dei quali sono stati pubblicati a intervalli in Crelle's Journal. I suoi altri lavori includono Commentatio de transformatione integralis duplicis indefiniti in formam simpliciorem 1832, Canon arithmeticus 1839, e Opuscula mathematica 1846–1857. I suoi Gesammelte Werke 1881–1891 furono pubblicati dalla Berlin Academy.

Curiosità

Il nome di Carl Gustav è occasionalmente scritto come Carolus Gustavus Iacobus Iacobi nei suoi libri latini, e il suo primo nome è talvolta dato come Karl.