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Georg Friedrich Bernhard Riemann era un matematico tedesco che ha dato contributi all'analisi, alla teoria dei numeri e alla geometria differenziale. Nel campo dell'analisi reale, è soprattutto noto per la prima formulazione rigorosa dell'integrale, l'integrale di Riemann, e il suo lavoro sulle serie di Fourier. I suoi contributi all'analisi complessa includono principalmente l'introduzione delle superfici di Riemann, aprendo nuovi orizzonti nel trattamento naturale e geometrico dell'analisi complessa. Il suo famoso articolo del 1859 sulla funzione di conteggio dei numeri primi, contenente l'affermazione originale dell'ipotesi di Riemann, è considerato uno degli articoli più influenti nella teoria dei numeri analitica. Attraverso i suoi contributi pionieristici alla geometria differenziale, Riemann ha posto le fondamenta della matematica della relatività generale. È considerato da molti uno dei più grandi matematici di tutti i tempi.
Biografia
Primi anni
Riemann nacque il 17 settembre 1826 a Breselenz, un villaggio vicino a Dannenberg nel Regno di Hannover. Suo padre, Friedrich Bernhard Riemann, era un povero pastore luterano a Breselenz che ha combattuto nelle Guerre napoleoniche. Sua madre, Charlotte Ebell, morì prima che i suoi figli raggiungessero l'età adulta. Riemann era il secondo di sei figli, timido e affetto da numerosi esaurimenti nervosi. Riemann ha mostrato eccezioni abilità matematiche, come capacità di calcolo, fin da giovane ma ha sofferto di timidezza e paura di parlare in pubblico.
Educazione
Durante il 1840, Riemann si trasferì a Hannover per vivere con sua nonna e frequentare la scuola media del liceo. Dopo la morte di sua nonna nel 1842, ha frequentato la scuola superiore al Johanneum Lüneburg. Al liceo, Riemann ha studiato intensamente la Bibbia, ma era spesso distratto dalla matematica. I suoi insegnanti erano stupiti dalla sua straordinaria capacità di eseguire operazioni matematiche complicate, in cui spesso superava le conoscenze del suo insegnante. Nel 1846, all'età di 19 anni, iniziò a studiare filologia e teologia cristiana per diventare pastore e aiutare le finanze della sua famiglia.
Durante la primavera del 1846, suo padre, dopo aver raccolto abbastanza denaro, inviò Riemann all'Università di Göttingen, dove aveva in programma di studiare per una laurea in Teologia. Tuttavia, una volta lì, ha iniziato a studiare matematica sotto Carl Friedrich Gauss, specificamente le sue lezioni sul metodo dei minimi quadrati. Gauss ha raccomandato a Riemann di abbandonare il lavoro teologico e di entrare nel campo matematico; dopo aver ottenuto l'approvazione di suo padre, Riemann si trasferì all'Università di Berlino nel 1847. Durante il suo periodo di studio, insegnavano Carl Gustav Jacob Jacobi, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Jakob Steiner e Gotthold Eisenstein. Rimase a Berlino per due anni e tornò a Göttingen nel 1849.
Carriera accademica
Riemann tenne le sue prime lezioni nel 1854, che fondarono il campo della geometria riemanniana e prepararono il terreno per la teoria generale della relatività di Albert Einstein. Nel 1857, c'è stato un tentativo di promuovere Riemann allo status di professore straordinario all'Università di Göttingen. Sebbene questo tentativo fallisse, ha comunque fatto sì che Riemann finalmente ricevesse uno stipendio regolare. Nel 1859, in seguito alla morte di Dirichlet che occupava la cattedra di Gauss all'Università di Göttingen, è stato promosso a capo del dipartimento di matematica all'Università di Göttingen. È stato anche il primo a suggerire l'uso di dimensioni superiori a tre o quattro per descrivere la realtà fisica.
Nel 1862 sposò Elise Koch e ebbero una figlia Ida Schilling nata il 22 dicembre 1862.
Famiglia protestante e morte in Italia
Riemann fuggì da Göttingen quando gli eserciti di Hannover e Prussia si scontrarono lì nel 1866. Morì di tubercolosi durante il suo terzo viaggio in Italia a Selasca, ora una frazione di Verbania sul Lago Maggiore, dove fu sepolto nel cimitero di Biganzolo Verbania.
Riemann era un cristiano devoto, figlio di un ministro protestante, e vedeva la sua vita da matematico come un altro modo per servire Dio. Durante la sua vita, ha mantenuto saldamente la sua fede cristiana e l'ha considerata l'aspetto più importante della sua vita. Al momento della sua morte, stava recitando il Padre Nostro con sua moglie e morì prima che finissero di dire la preghiera. Nel frattempo, a Göttingen la sua governante scartò alcuni dei documenti nel suo ufficio, incluso molto lavoro inedito. Riemann ha rifiutato di pubblicare lavori incompleti, e alcune intuizioni profonde potrebbero essere andate perse per sempre.
La lapide di Riemann a Biganzolo in Italia si riferisce a Romani 8:28:
Qui riposa in Dio
Georg Friedrich Bernhard Riemann
Professore a Göttingen
nato a Breselenz, 17 settembre 1826
morto a Selasca, 20 luglio 1866
Per coloro che amano Dio, tutte le cose devono cooperare per il bene
Qui riposa in Dio Georg Friedrich Bernhard Riemann Professore a Göttingen nato a Breselenz, 17 settembre 1826 morto a Selasca, 20 luglio 1866 Per coloro che amano Dio, tutte le cose devono cooperare per il bene
Geometria riemanniana
Le opere pubblicate di Riemann hanno aperto aree di ricerca che combinano l'analisi con la geometria. Queste sarebbero successivamente diventate parti importanti delle teorie della geometria riemanniana, della geometria algebrica e della teoria delle varietà complesse. La teoria delle superfici di Riemann è stata elaborata da Felix Klein e in particolare da Adolf Hurwitz. Questa area della matematica è parte del fondamento della topologia ed è ancora applicata in modi nuovi alla fisica matematica.
Nel 1853, Gauss chiese a Riemann, suo studente, di preparare una Habilitationsschrift sui fondamenti della geometria. Nel corso di molti mesi, Riemann sviluppò la sua teoria delle dimensioni superiori e tenne la sua lezione a Göttingen nel 1854 intitolata "Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen" "Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria". È stata pubblicata solo dodici anni dopo nel 1868 da Dedekind, due anni dopo la sua morte. La sua ricezione iniziale sembra essere stata lenta ma è ora riconosciuta come uno dei lavori più importanti in geometria.
Il soggetto fondato da questo lavoro è la geometria riemanniana. Riemann ha trovato il modo corretto di estendere in n dimensioni la geometria differenziale delle superfici, che Gauss stesso ha provato nel suo theorema egregium. L'oggetto fondamentale è chiamato tensore di curvatura di Riemann. Nel caso della superficie, questo può essere ridotto a un numero scalare, positivo, negativo o zero; i casi non-zero e costanti essendo modelli delle geometrie non-euclidee conosciute.
L'idea di Riemann era di introdurre una collezione di numeri in ogni punto dello spazio, cioè un tensore, che descrivesse quanto fosse piegato o curvo. Riemann ha scoperto che in quattro dimensioni spaziali, sono necessari dieci numeri in ogni punto per descrivere le proprietà di una varietà, indipendentemente da quanto sia distorta. Questa è la famosa costruzione centrale della sua geometria, ora nota come metrica riemanniana.
Analisi complessa
Nella sua dissertazione, ha stabilito una base geometrica per l'analisi complessa attraverso le superfici di Riemann, attraverso le quali funzioni multivalore come il logaritmo con infiniti fogli o la radice quadrata con due fogli potevano diventare funzioni biunivoche. Le funzioni complesse sono funzioni armoniche, cioè soddisfano l'equazione di Laplace e quindi le equazioni di Cauchy-Riemann su queste superfici e sono descritte dalla localizzazione delle loro singolarità e dalla topologia delle superfici. Il "genere" topologico delle superfici di Riemann è dato da g = w / 2 − n + 1 parametri le "moduli".
I suoi contributi a questa area sono numerosi. Il famoso teorema della mappatura di Riemann dice che un dominio semplicemente connesso nel piano complesso è "biolomorphicamente equivalente" cioè c'è una biiezione tra loro che è olomorfa con inversa olomorfa a C o all'interno del cerchio unitario. La generalizzazione del teorema alle superfici di Riemann è il famoso teorema di uniformizzazione, che è stato provato nel XIX secolo da Henri Poincaré e Felix Klein. Qui, ancora una volta, le dimostrazioni rigorose sono state fornite per la prima volta dopo lo sviluppo di strumenti matematici più ricchi, in questo caso la topologia. Per la prova dell'esistenza di funzioni sulle superfici di Riemann, ha usato una condizione di minimalità, che ha chiamato il principio di Dirichlet. Karl Weierstrass ha trovato una lacuna nella prova: Riemann non aveva notato che il suo presupposto di lavoro secondo cui il minimo esistesse potrebbe non funzionare; lo spazio funzionale potrebbe non essere completo, e quindi l'esistenza di un minimo non era garantita. Attraverso il lavoro di David Hilbert nel Calcolo delle Variazioni, il principio di Dirichlet è stato finalmente stabilito. Per il resto, Weierstrass era molto impressionato da Riemann, specialmente con la sua teoria delle funzioni abeliane. Quando il lavoro di Riemann è apparso, Weierstrass ha ritirato il suo articolo dal Crelle's Journal e non lo ha pubblicato. Avevano una buona intesa quando Riemann lo visitò a Berlino nel 1859. Weierstrass ha incoraggiato il suo studente Hermann Amandus Schwarz a trovare alternative al principio di Dirichlet nell'analisi complessa, in cui ha avuto successo. Un aneddoto di Arnold Sommerfeld mostra le difficoltà che i matematici contemporanei avevano con le nuove idee di Riemann. Nel 1870, Weierstrass aveva portato la dissertazione di Riemann con sé in vacanza a Rigi e si lamentò che era difficile da capire. Il fisico Hermann von Helmholtz lo ha aiutato nel lavoro durante la notte e è tornato con il commento che era "naturale" e "molto comprensibile".
Gli altri punti salienti includono il suo lavoro sulle funzioni abeliane e le funzioni theta sulle superfici di Riemann. Riemann era stato in competizione con Weierstrass dal 1857 per risolvere i problemi inversi jacobiani per gli integrali abeliani, una generalizzazione degli integrali ellittici. Riemann ha usato funzioni theta in diverse variabili e ha ridotto il problema alla determinazione degli zeri di queste funzioni theta. Riemann ha anche investigato le matrici dei periodi e le ha caratterizzate attraverso le "relazioni dei periodi riemanniani" simmetriche, parte reale negativa. Da Ferdinand Georg Frobenius e Solomon Lefschetz la validità di questa relazione è equivalente all'incorporamento di C n / Ω, questa è la varietà jacobiana della superficie di Riemann, un esempio di una varietà abeliana.
Molti matematici come Alfred Clebsch hanno approfondito il lavoro di Riemann sulle curve algebriche. Queste teorie dipendevano dalle proprietà di una funzione definita sulle superfici di Riemann. Ad esempio, il teorema di Riemann-Roch Roch era uno studente di Riemann dice qualcosa sul numero di differenziali linearmente indipendenti con condizioni note sugli zeri e i poli di una superficie di Riemann.
Secondo Detlef Laugwitz, le funzioni automorfiche apparvero per la prima volta in un saggio sull'equazione di Laplace su cilindri caricati elettricamente. Riemann tuttavia ha usato tali funzioni per mappature conformi come la mappatura di triangoli topologici al cerchio nella sua lezione del 1859 sulle funzioni ipergeometriche o nel suo trattato sulle superfici minime.
Analisi reale
Nel campo dell'analisi reale, ha scoperto l'integrale di Riemann nella sua abilitazione. Tra le altre cose, ha mostrato che ogni funzione continua a tratti è integrabile. Analogamente, l'integrale di Stieltjes risale al matematico di Göttingen, e quindi sono nominati insieme l'integrale di Riemann-Stieltjes.
Nel suo lavoro di abilitazione sulle serie di Fourier, dove ha seguito il lavoro del suo insegnante Dirichlet, ha mostrato che le funzioni integrabili secondo Riemann sono "rappresentabili" da serie di Fourier. Dirichlet ha mostrato questo per funzioni continue, piecewise-differenziabili, quindi con un numero numerabile di punti non-differenziabili. Riemann ha dato un esempio di una serie di Fourier che rappresenta una funzione continua, quasi da nessuna parte differenziabile, un caso non coperto da Dirichlet. Ha anche provato il lemma di Riemann-Lebesgue: se una funzione è rappresentabile da una serie di Fourier, allora i coefficienti di Fourier vanno a zero per n grande.
L'articolo di Riemann è stato anche il punto di partenza per il lavoro di Georg Cantor con le serie di Fourier, che è stato l'impulso per la teoria degli insiemi.
Ha anche lavorato con le equazioni differenziali ipergeometriche nel 1857 usando metodi analitici complessi e ha presentato le soluzioni attraverso il comportamento dei percorsi chiusi intorno alle singolarità descritte dalla matrice di monodromia. La prova dell'esistenza di tali equazioni differenziali da matrici di monodromia precedentemente conosciute è uno dei problemi di Hilbert.
Teoria dei numeri
Ha fatto alcuni famosi contributi alla moderna teoria dei numeri analitica. In un singolo e breve articolo, l'unico che ha pubblicato sull'argomento della teoria dei numeri, ha investigato la funzione zeta che ora porta il suo nome, stabilendo la sua importanza per comprendere la distribuzione dei numeri primi. L'ipotesi di Riemann era una delle serie di congetture che ha fatto sulle proprietà della funzione.
Nel lavoro di Riemann, ci sono molti altri sviluppi interessanti. Ha provato l'equazione funzionale per la funzione zeta già nota a Leonhard Euler, dietro la quale si trova una funzione theta. Attraverso la sommatoria di questa funzione di approssimazione sui zeri non banali sulla linea con parte reale 1/2, ha fornito una formula esatta e "esplicita" per π x .
Riemann era a conoscenza del lavoro di Pafnuty Chebyshev sul Teorema dei Numeri Primi. Ha
