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Omar Khayyam एक फारसी गणितज्ञ, खगोलशास्त्री, दार्शनिक और कवि थे। वह Nishabur में पैदा हुए थे, जो northeastern Iran में है, और अपने जीवन का अधिकांश समय Karakhanid और Seljuq शासकों के दरबार के पास बिताया, जो पहले Crusade के समय का गवाह था।

एक गणितज्ञ के रूप में, वह cubic equations के वर्गीकरण और समाधान पर अपने काम के लिए सबसे उल्लेखनीय हैं, जहां उन्होंने conics के प्रतिच्छेदन द्वारा ज्यामितीय समाधान प्रदान किए। Khayyam ने parallel axiom की समझ में भी योगदान दिया। एक खगोलशास्त्री के रूप में, उन्होंने Jalali calendar को डिजाइन किया, जो एक सौर कैलेंडर है जिसमें एक बहुत सटीक 33-वर्षीय अंतरकालन चक्र है।

Omar Khayyam को poetry का श्रेय देने की एक परंपरा है, जो quatrains के रूप में लिखी गई है। यह काव्य Edward FitzGerald द्वारा अनुवाद में English-reading world को व्यापक रूप से ज्ञात हुआ (Rubaiyat of Omar Khayyam, 1859), जिसने fin de siècle की Orientalism में बहुत सफलता प्राप्त की।

जीवन

Omar Khayyam का जन्म 1048 में Nishapur में हुआ था, जो medieval times में Khorasan में एक प्रमुख महानगर था जिसने Seljuq dynasty के तहत eleventh century में समृद्धि के शिखर तक पहुंचा। Nishapur Zoroastrian धर्म का भी एक प्रमुख केंद्र था, और यह संभावना है कि Khayyam के पिता एक Zoroastrian थे जिन्होंने Islam में परिवर्तन किया था। उनका पूरा नाम, जैसा कि Arabic sources में दिखाई देता है, Abu'l Fath Omar ibn Ibrahim al-Khayyam था। medieval Persian texts में उन्हें आमतौर पर सरल रूप से Omar Khayyam कहा जाता है। हालांकि संदेह के लिए खुला, यह अक्सर माना जाता है कि उनके पूर्वज तंबू बनाने के व्यापार का पालन करते थे, क्योंकि Khayyam का मतलब Arabic में tent-maker है। इतिहासकार Bayhaqi, जो Omar से व्यक्तिगत रूप से परिचित थे, उनके horoscope का पूरा विवरण प्रदान करते हैं: "वह Gemini थे, सूर्य और Mercury ascendant में थे। इसका उपयोग आधुनिक विद्वानों द्वारा उनकी जन्म तिथि को 18 May 1048 के रूप में स्थापित करने के लिए किया गया था।

उनका बचपन Nishapur में बिताया गया था। उनकी प्रतिभा को उनके प्रारंभिक शिक्षकों द्वारा पहचाना गया जिन्होंने उन्हें Imam Muwaffaq Nishaburi के अंतर्गत अध्ययन करने के लिए भेजा, जो Khorasan क्षेत्र के सबसे बड़े शिक्षक थे जिन्होंने उच्चतम कुलीनता के बच्चों को सिखाया। Khayyam को Zoroastrian convert गणितज्ञ, Abu Hassan Bahmanyar bin Marzban द्वारा भी सिखाया गया था। Nishapur में विज्ञान, दर्शन, गणित और खगोल का अध्ययन करने के बाद, लगभग 1068 में वह Bukhara प्रांत में गए, जहां उन्होंने Ark की प्रसिद्ध library में भाग लिया। लगभग 1070 में वह Samarkand चले गए, जहां उन्होंने Abu Tahir Abd al-Rahman ibn ʿAlaq के संरक्षण के तहत algebra पर अपना प्रसिद्ध treatise compose करना शुरू किया, जो शहर के governor और chief judge थे। Omar Khayyam का Karakhanid ruler Shams al-Mulk Nasr द्वारा kindly स्वागत किया गया, जो Bayhaqi के अनुसार, "उन्हें greatest honour दिखाएंगे, इतना कि वह [Omar] को अपने throne के बगल में बैठाएंगे"।

1073–4 में Sultan Malik-Shah I के साथ शांति का निष्कर्ष निकाला गया जिन्होंने Karakhanid dominions में incursions किए थे। Khayyam ने 1074–5 में Malik-Shah की सेवा में प्रवेश किया जब Grand Vizier Nizam al-Mulk द्वारा उन्हें Marv शहर में Malik-Shah से मिलने के लिए आमंत्रित किया गया था। Khayyam को बाद में Isfahan में एक observatory स्थापित करने और Persian calendar के संशोधन के उद्देश्य से precise astronomical observations करने के लिए वैज्ञानिकों के एक समूह का नेतृत्व करने के लिए नियुक्त किया गया था। यह undertaking संभवतः 1076 में शुरू हुई और 1079 में समाप्त हुई जब Omar Khayyam और उनके सहयोगियों ने वर्ष की लंबाई के माप को पूरा किया, इसे 14 significant figures के साथ astounding accuracy के साथ report किया।

Malik-Shah और उसके vizier की मृत्यु के बाद (मारे गए, जैसा कि सोचा जाता है, Ismaili order of Assassins द्वारा), Omar court में favor से गिर गए, और परिणामस्वरूप, वह जल्द ही Mecca की अपनी pilgrimage के लिए निकल गए। Al-Qifti द्वारा reported उनकी pilgrimage के लिए एक संभावित ulterior motive, skepticism के संदेह को शांत करने और उनके विरुद्ध एक hostile clergy द्वारा levelled unorthodoxy के आरोपों को confute करने के लिए अपने विश्वास का एक public demonstration था (Zoroastrianism के लिए संभावित sympathy सहित)। बाद में उन्हें नए Sultan Sanjar द्वारा Marv में आमंत्रित किया गया, संभवतः एक court astrologer के रूप में काम करने के लिए। उन्हें बाद में Nishapur लौटने की अनुमति दी गई उनके declining health के कारण। अपनी वापसी पर, वह एक recluse का जीवन जीते हुए लगते हैं।

Omar Khayyam की मृत्यु 4 December, 1131 को अपने hometown Nishapur में 83 वर्ष की आयु में हुई, और वह अब Mausoleum of Omar Khayyam में दफन हैं। उनके एक disciple Nizami Aruzi ने यह कहानी बताई कि 1112–3 के दौरान कुछ समय Khayyam Balkh में Al-Isfizari (उन वैज्ञानिकों में से एक जिन्होंने उनके साथ Jalali calendar पर सहयोग किया था) की company में थे, जब उन्होंने एक prophecy की कि "my tomb shall be in a spot where the north wind may scatter roses over it"। उनकी मृत्यु के चार साल बाद, Aruzi ने Nishapur के एक cemetery में एक then large और well-known quarter में स्थित उनका tomb पाया, जो Marv के लिए रास्ते पर था। जैसा कि Khayyam द्वारा foreseen किया गया था, Aruzi ने tomb को एक garden-wall के foot में स्थित पाया जिसके ऊपर pear trees और peach trees ने अपने heads को thrust किया था और अपने flowers को drop किया था ताकि उनका tomb stone उनके नीचे छिपा हुआ था।

गणित

Khayyam अपने जीवन में एक गणितज्ञ के रूप में प्रसिद्ध थे। उनके surviving mathematical works में शामिल हैं: A commentary on the difficulties concerning the postulates of Euclid's Elements (Risāla fī šarḥ mā aškala min muṣādarāt kitāb Uqlīdis, December 1077 में पूर्ण), On the division of a quadrant of a circle (Risālah fī qismah rub' al-dā'irah, undated लेकिन algebra पर treatise के prior में पूर्ण), और On proofs for problems concerning Algebra (Maqāla fi l-jabr wa l-muqābala, सबसे likely 1079 में पूर्ण)। उन्होंने further binomial theorem के extracting पर एक treatise लिखी और natural numbers की nth root, जो lost हो गई है।

Theory of parallels

Khayyam की Euclid's Elements पर commentary का एक हिस्सा parallel axiom से संबंधित है। Khayyam का treatise axiom का पहला treatment माना जा सकता है जो petitio principii पर आधारित नहीं है, बल्कि एक अधिक intuitive postulate पर आधारित है। Khayyam अन्य mathematicians के पिछले प्रयासों को refute करते हैं Fifth Postulate को prove करने के लिए, मुख्यतः इस आधार पर कि उनमें से प्रत्येक ने कुछ postulate किया था जो Fifth Postulate से कहीं अधिक आसान नहीं था। Aristotle के views पर drawing करते हुए, वह geometry में movement के उपयोग को reject करते हैं और इसलिए Al-Haytham के विभिन्न प्रयास को dismiss करते हैं। Euclid की statement को उनके अन्य postulates से prove करने में mathematicians की failure से असंतुष्ट, Omar ने axiom को Fourth Postulate से connect करने का प्रयास किया, जो states करता है कि सभी right angles एक दूसरे के बराबर हैं।

Khayyam Khayyam-Saccheri quadrilateral के summit angles के लिए acute, obtuse, और right angle के तीन cases को consider करने वाले पहले थे, तीन cases जो exhaustive और pairwise mutually exclusive हैं। उनके बारे में कई theorems को prove करने के बाद, उन्होंने साबित किया कि Postulate V, right angle hypothesis का एक consequence है, और obtuse और acute cases को self-contradictory के रूप में refuted किया। Khayyam के parallel postulate को prove करने का elaborate प्रयास geometry के further development के लिए महत्वपूर्ण था, क्योंकि यह clearly non-Euclidean geometries की possibility को दिखाता है। acute, obtuse, और right angle की hypotheses अब known हैं कि वे क्रमशः Gauss-Bolyai-Lobachevsky की non-Euclidean hyperbolic geometry, Riemannian geometry की, और Euclidean geometry की ओर lead करती हैं।

Tusi की Khayyam के parallels के treatment पर commentaries Europe में अपना रास्ता बनाई। John Wallis, Oxford में geometry के professor, ने Tusi की commentary को Latin में translate किया। Jesuit geometer Girolamo Saccheri, जिनका काम (euclides ab omni naevo vindicatus, 1733) generally non-Euclidean geometry के eventual development में पहला कदम माना जाता है, Wallis के काम से परिचित थे। American mathematician के इतिहासकार, David Eugene Smith, उल्लेख करते हैं कि Saccheri "ने Tusi के same lemma को use किया, यहां तक कि figure को precisely same way में letter किया और lemma को same purpose के लिए use किया"। वह आगे कहते हैं कि "Tusi distinctly states करता है कि यह Omar Khayyam के कारण है, और text से, ऐसा लगता है कि latter उनका inspirer था।"

The real number concept

Euclid पर यह treatise proportions के theory से संबंधित एक अन्य contribution को contain करता है और ratios की compounding से। Khayyam ratio की concept और number की concept के बीच relationship को discuss करते हैं और explicitly विभिन्न theoretical difficulties को raise करते हैं। विशेष रूप से, वह irrational number की concept के theoretical study में contribute करते हैं। Euclid की equal ratios की definition से displeased, उन्होंने एक continuous fraction के उपयोग द्वारा number की concept को redefine किया जो एक ratio को express करने का means है। Rosenfeld और Youschkevitch (1973) argue करते हैं कि "[Khayyam] irrational quantities और numbers को same operational scale पर रखकर, एक true revolution को doctrine of number में शुरू किया।" इसी तरह, D. J. Struik द्वारा noted किया गया कि Omar "उस extension of the number concept की ओर रास्ते पर थे जो real number की notion की ओर lead करता है।"

Geometric algebra

Rashed और Vahabzadeh (2000) ने argued किया है कि algebraic equations के प्रति उनके thoroughgoing geometrical approach के कारण, Khayyam को analytic geometry के invention में Descartes के precursor के रूप में consider किया जा सकता है। The Treatise on the Division of a Quadrant of a Circle में Khayyam ने algebra को geometry में apply किया। इस work में, उन्होंने मुख्य रूप से investigating के लिए अपने आप को devoted किया कि क्या यह possible है एक circular quadrant को दो parts में divide करने के लिए ताकि dividing point से circle के perpendicular diameters के लिए projected line segments एक specific ratio form करें। उनका solution, बदले में, कई curve constructions को employ किया जो cubic और quadratic terms को contain करने वाले equations की ओर lead किए।

The solution of cubic equations

Khayyam cubic equations का एक general theory conceive करने वाले पहले प्रतीत होते हैं और हर type के cubic equation को geometrically solve करने वाले पहले, जहां तक positive roots चिंतित हैं। algebra पर treatise में cubic equations पर उनका काम contain है। यह तीन parts में divided है: (i) equations जो compass और straight edge के साथ solve किए जा सकते हैं, (ii) equations जो conic sections के means से solve किए जा सकते हैं, और (iii) equations जो unknown के inverse को involve करते हैं।

Khayyam ने lines, squares, और cubes को involve करने वाले सभी possible equations की एक exhaustive list produce की। उन्होंने three binomial equations, nine trinomial equations, और seven tetranomial equations को consider किया। पहली और दूसरी degree polynomials के लिए, उन्होंने geometric construction द्वारा numerical solutions provide किए। उन्होंने concluded किया कि fourteen different types के cubics हैं जो एक lesser degree के equation में reduce नहीं हो सकते। इनके लिए वह अपने unknown segment को compass और straight edge के साथ construct नहीं कर सके। वह conic sections के properties का उपयोग करके cubic equations के सभी types को geometric solutions present करने के लिए proceed किए। Khayyam के geometrical proof के लिए prerequisite lemmas में Euclid VI, Prop 13, और Apollonius II, Prop शामिल हैं। एक cubic equation का positive root दो conics के एक point of intersection के abscissa के रूप में determined किया गया था, उदाहरण के लिए, दो parabolas के intersection, या एक parabola और एक circle के intersection, आदि। हालांकि, उन्होंने acknowledged किया कि इन cubics की arithmetic problem अभी भी unsolved थी, adding करते हुए कि "possibly someone else will come to know it after us"। यह task sixteenth century तक open रहा, जहां cubic equation का algebraic solution अपनी generality में Renaissance Italy में Cardano, Del Ferro, और Tartaglia द्वारा found किया गया।

प्रभाव में, Khayyam का काम algebra और geometry को unify करने का एक effort है। cubic equations के इस particular geometric solution को M. Hachtroudi द्वारा further investigate किया गया है और fourth-degree equations को solving तक extended किया गया है। हालांकि similar methods Menaechmus के बाद से sporadically appear किए गए थे, और 10th-century mathematician Abu al-Jud द्वारा further developed, Khayyam का काम cubic equations को solve करने का पहला systematic study और पहला exact method माना जा सकता है। गणितज्ञ Woepcke (1851) जिन्होंने Khayyam के algebra का French में translations offer किए, उन्हें उनके "power of generalization और उनके rigorously systematic procedure" के लिए praised किया।

Binomial theorem and extraction of roots

अपने algebraic treatise में, Khayyam एक book का allusion करते हैं जो उन्होंने extraction of the n पर लिखी थी, जहां n एक positive integer है। 2 की power का case explicitly Euclid's elements में state किया गया है और at most 3 की power का case Indian mathematicians द्वारा establish किया गया था। Khayyam वह गणितज्ञ थे जिन्होंने एक general binomial theorem की importance को notice किया। Khayyam के पास एक general binomial theorem था इस claim को support करने वाला argument उनकी roots को extract करने की ability पर आधारित है। Khayyam के एक predecessors में से एक, Al-Karaji, ने पहले से ही binomial expansions के coefficients की triangular arrangement को discover किया था जिसे Europeans बाद में Pascal's triangle के रूप में जानते आए; Khayyam ने इस triangular array को Iran में popularize किया, इसलिए अब यह Omar Khayyam's triangle के रूप में known है।

खगोल विज्ञान

1074–5 में, Omar Khayyam को Sultan Malik-Shah द्वारा Isfahan में एक observatory build करने और Persian calendar को reform करने के लिए commission किया गया था। Khayyam के direction में काम करने वाले आठ scholars का एक panel था large-scale astronomical observations करने और astro को revise करने के लिए