मार्स्टन कोंडर: वे व्यक्ति जिन्होंने सममितियों की गिनती की

दुनिया में कहीं भी कोई गणितज्ञ जिसे दस हज़ार शीर्षों तक के प्रत्येक त्रि-संयोजक (trivalent) सममित ग्राफ़ के बारे में जानने की आवश्यकता है, वह इसे खुद व्युत्पन्न नहीं करता है। वे मार्स्टन कोंडर (Marston Conder) की सूची डाउनलोड करते हैं। यही बात विभिन्न जेनस (genus) के सतहों पर नियमित और कायरल (chiral) मानचित्रों, कॉम्पैक्ट रीमैन सतहों के ऑटोमोर्फिज्म समूहों, और नियमित तथा कायरल पॉलीटोप्स (polytopes) के लिए भी सच है। ऑकलैंड में चार दशकों से अधिक समय तक, कोंडर ने "इस प्रकार की सबसे सममित वस्तुएँ क्या हैं?" जैसे अमूर्त प्रश्न को ऐसी चीज़ में बदल दिया जिसे कोई भी देख सकता है — और ऐसा करते हुए वे चुपचाप अपनी पीढ़ी के सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले गणितज्ञों में से एक बन गए।

माटामाटा से ऑक्सफोर्ड तक

उनका जन्म सितंबर 1955 में न्यूज़ीलैंड के हैमिल्टन में हुआ था, और उन्होंने माटामाटा कॉलेज (Matamata College) में शिक्षा प्राप्त की — एक छोटे से शहर की शुरुआत जो शुद्ध गणित के केंद्रों से उतनी ही दूर है जितनी दूर होना संभव है। उनकी पहली उच्च डिग्री गणित में बिल्कुल नहीं थी: उन्होंने 1977 में वाइकाटो विश्वविद्यालय (Waikato University) से सामाजिक विज्ञान में मास्टर डिग्री प्राप्त की। तीन साल बाद उन्होंने ऑक्सफोर्ड से डॉक्टरेट की उपाधि प्राप्त की।

ऑक्सफोर्ड में उनके पर्यवेक्षक ग्राहम हिगमैन (Graham Higman) थे, जो बीसवीं सदी के समूह सिद्धांत (group theory) के महान व्यक्तित्वों में से एक थे और इस विषय के आधुनिक संयोजनात्मक दृष्टिकोण के संस्थापकों में से एक थे। कोंडर के 1980 के शोध प्रबंध, "क्रमपरिवर्तन समूहों के लिए न्यूनतम उत्पादन जोड़े (Minimal generating pairs for permutation groups)," ने इसके शीर्षक में ही उनके आजीवन जुड़ाव की घोषणा कर दी। प्रश्न भ्रामक रूप से सरल है: एक समूह को देखते हुए, क्या आप इसे केवल दो तत्वों से उत्पन्न कर सकते हैं, और यदि हाँ, तो कौन से दो, जिन्हें सबसे किफायती तरीके से चुना गया हो? द्वि-तत्व उत्पादन वह धुरी है जिस पर समरूपता सिद्धांत का एक विशाल हिस्सा घूमता है, क्योंकि ज्यामिति और संयोजन विज्ञान (combinatorics) में सबसे सममित वस्तुएँ ठीक वही हैं जिनके समरूपता समूह बहुत कम संख्या में बहुत सरल गतियों द्वारा उत्पन्न होते हैं।

अधिकतम समरूपता की वस्तुएँ

कोंडर का कार्यक्रम, जो चालीस वर्षों तक जारी रहा, एक पंक्ति में कहा जा सकता है: उन असतत संरचनाओं का अध्ययन करना जिनमें दिए गए बाधाओं के अधीन अधिकतम संभव समरूपता हो। एक बाधा तय करें — एक ग्राफ़ को त्रि-संयोजक होना चाहिए, एक मानचित्र को पाँचवें जेनस की सतह पर रहना चाहिए, एक पॉलीटोप को एक निश्चित रैंक होनी चाहिए — और पूछें कि इसे संतुष्ट करने वाली कौन सी वस्तुएं उतनी सममित हैं जितनी वे हो सकती हैं। उत्तर शायद ही कभी स्पष्ट होते हैं और लगभग कभी भी अधिक नहीं होते, यही कारण है कि वे सूचीबद्ध करने योग्य हैं।

उपकरण संयोजनात्मक और कम्प्यूटेशनल समूह सिद्धांत से आए, जिसमें परिमित रूप से प्रस्तुत समूहों और उनकी छवियों को संभालने की तकनीकें शामिल हैं। यह बीजगणित की वह शाखा है जिसमें एक समूह को उसके तत्वों को सूचीबद्ध करके नहीं, बल्कि कुछ जनरेटरों और संबंधों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, और केंद्रीय कठिनाई यह है कि ऐसा प्रस्तुतीकरण लगभग कुछ भी छिपा सकता है — जिसमें एक अनंत, या तुच्छ समूह भी शामिल है, जिसे बताना आसान नहीं है। कोंडर की विशेषता उस तरह के प्रस्तुतीकरणों से कठिन, विस्तृत, सिद्ध रूप से पूर्ण उत्तर निकालना था, एक ऐसे पैमाने पर जो तभी संभव हुआ जब गणना को सिद्धांत के साथ ठीक से जोड़ा गया।

मानचित्र, कायरलिटी और पॉलीटोप्स

सबसे समृद्ध मार्ग मानचित्र थे: सतहों में ग्राफ़ का एम्बेडिंग, जहाँ दिलचस्प मामले नियमित वाले होते हैं, जिनका समरूपता समूह संरचना की अनुमति के अनुसार संक्रमणशील रूप से कार्य करता है। उनके साथ कायरल वस्तुएं होती हैं, जो हर घूर्णन समरूपता को स्वीकार करती हैं लेकिन कोई प्रतिबिंब नहीं — बाएं हाथ का गणितीय एनालॉग, जो खुद की किसी भी दर्पण छवि पर अति-आरोपण योग्य नहीं है। न्यूज़ीलैंड की रॉयल सोसाइटी के 2018 के जोंस मेडल (Jones Medal) ने ठीक इसी का हवाला दिया: "असतत संरचनाओं में समरूपता और कायरलिटी" पर उनका काम।

उन्होंने इसी दृष्टिकोण को बाहर की ओर विस्तारित किया। इंस्टीट्यूट ऑफ कॉम्बिनेट्रिक्स एंड इट्स एप्लिकेशन (Institute of Combinatorics and its Applications) ने, उन्हें यूलर मेडल (Euler Medal) प्रदान करते हुए, ग्राफ़ समरूपता और एम्बेडिंग, नियमित और कायरल मानचित्र, नियमित और कायरल पॉलीटोप्स, ग्राफ़ का एज-पार्टीशन, उच्च-आयामी एक्सपेंडर ग्राफ़ और बाइनरी ग्रे कोड सूचीबद्ध किए — एक ऐसी श्रृंखला जो शास्त्रीय सतह टोपोलॉजी से लेकर कोडिंग और नेटवर्क सिद्धांत में सीधे अनुप्रयोग वाली वस्तुओं तक चलती है। इससे 170 से अधिक शोध पत्र और पंद्रह डॉक्टरेट छात्र निकले।

जनगणना करने वाला

कोंडर को अन्य मजबूत बीजगणितज्ञों से जो अलग करता है वह यह है कि उन्होंने परिणामों के साथ क्या किया। एक प्रमेय प्रकाशित करके आगे बढ़ने के बजाय, उन्होंने रिपॉजिटरी का निर्माण और प्रकाशन किया — वस्तुओं के वर्गों की पूरी जनगणना, जिसे एक बार, सही ढंग से गणना किया गया, और मुफ्त में दिया गया। त्रि-संयोजक सममित ग्राफ़ का कैटलॉग 10,000 शीर्षों तक फैला है। मानचित्र और पॉलीटोप जनगणना उन श्रेणियों को कवर करती है जहाँ पहले कोई नहीं पहुँचा था। इनसे अंतरराष्ट्रीय स्तर पर परामर्श लिया जाता है, जिसमें वे शोधकर्ता भी शामिल हैं जिन्हें समूह सिद्धांत में कोई दिलचस्पी नहीं है, जिन्हें बस यह जानने की ज़रूरत है कि क्या कुछ गुणों वाली वस्तु मौजूद है, या एक साल बर्बाद करने से पहले हर ज्ञात मामले के खिलाफ एक अनुमान का परीक्षण करना है।

वह आदत — ज्ञान को व्यक्तिगत संपत्ति के बजाय बुनियादी ढांचे के रूप में मानने की — उनके उद्धरण रिकॉर्ड का स्पष्ट हिस्सा है; ICA ने ज्ञान को स्वतंत्र रूप से साझा करने के लिए और उन शोध रिपॉजिटरी के लिए उनकी प्रतिष्ठा को विशेष रूप से उल्लेखित किया जिनका उपयोग कोई भी कर सकता है।

सार्वजनिक गणितज्ञ

कोंडर 1993 में ऑकलैंड में पूर्ण प्रोफेसर और 2012 में विशिष्ट प्रोफेसर बने। उन्होंने 1993 से 1995 तक न्यूज़ीलैंड गणितीय सोसाइटी के अध्यक्ष के रूप में, न्यूज़ीलैंड इंस्टीट्यूट ऑफ मैथमेटिक्स एंड इट्स एप्लिकेशन के सह-निदेशक के रूप में, और 2006 से 2008 तक न्यूज़ीलैंड की रॉयल सोसाइटी की अकादमी के अध्यक्ष के रूप में कार्य किया — जो देश का वरिष्ठ वैज्ञानिक कार्यालय है, जिसे एक शुद्ध गणितज्ञ द्वारा धारण किया जाता है, जो कहीं भी सामान्य व्यवस्था नहीं है।

सम्मान काम के बाद मिले: 2011 में जेम्स कुक रिसर्च फेलोशिप (James Cook Research Fellowship), 2012 में अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी की फेलोशिप, 2014 में हेक्टर मेडल (Hector Medal), 2018 में जोंस मेडल, और 2020 में इंस्टीट्यूट ऑफ कॉम्बिनेट्रिक्स एंड इट्स एप्लिकेशन का यूलर मेडल (संयोजनात्मक अनुसंधान में जीवन भर के विशिष्ट योगदान के लिए) और न्यूज़ीलैंड ऑर्डर ऑफ मेरिट (New Zealand Order of Merit) के अधिकारी के रूप में नियुक्ति।

मार्स्टन को जीनियस क्यों कहा जाता है

विशिष्ट गुणवत्ता एक दुर्लभ हाइब्रिड है: बीजगणितीय गहराई और कम्प्यूटेशनल अनुशासन का विवाह। बहुत से गणितज्ञ सममित संरचनाओं के बारे में एक प्रमेय साबित कर सकते हैं; बहुत से अन्य कोड लिख सकते हैं जो उदाहरणों की गणना करते हैं। कोंडर की विशिष्ट उपलब्धि विस्तृत वर्गीकरण है — यह साबित करना कि एक गणना की गई सूची न केवल लंबी है बल्कि पूर्ण है, कि कुछ भी नहीं छूटा है। इसके लिए खोज स्थान को सीमित करने के लिए सिद्धांत, उसे स्कैन करने के लिए गणना, और त्रुटि-जांच के लिए एक सहनशीलता की आवश्यकता होती है जिसे अधिकांश सिद्धांतकार अपने से कमतर मानते हैं और अधिकांश प्रोग्रामर अपने से परे। उनकी जनगणना स्थिर रही है; यही पूरा परीक्षण है।

यूलर मेडल के उद्धरण में ग्राफ़ समरूपता, कायरल मानचित्र और पॉलीटोप्स, एक्सपेंडर और ग्रे कोड में चालीस वर्षों के विशिष्ट योगदान का नाम है, और जोंस मेडल विशेष रूप से समरूपता और कायरलिटी का नाम लेता है। ये पेशेवर निकाय हैं जो अपने सबसे वरिष्ठ उपकरणों का उपयोग कर रहे हैं, जो संयोजनात्मक गणित के 'जीनियस' शब्द का उपयोग करने के करीब है।

विपरीत मामले को स्पष्ट रूप से बताना उचित है। कोंडर ने कोई प्रसिद्ध खुली समस्या हल नहीं की और कोई ऐसा सिद्धांत पेश नहीं किया जो उनका नाम ले। कोई कोंडर अनुमान नहीं है, कोई कोंडर अपरिवर्तनीय नहीं है। उनकी प्रतिभा मानचित्रकारी प्रकार की है — उन क्षेत्रों की विस्तृत, विश्वसनीय मैपिंग जिनकी सीमाएँ दूसरों ने खींची थीं — बजाय उस प्रकार की जो नए देश खोलती है। एक कठोर मूल्यांकनकर्ता कहेगा कि वे अपने क्षेत्र में गणित द्वारा निर्मित सबसे बेहतरीन जनगणनाकर्ता हैं, और यह कि अपरिहार्य होना क्रांतिकारी होने जैसा नहीं है। उत्तर यह है कि अपुष्ट दावों में डूब रहे एक अनुशासन में, पूर्ण और सही उत्तर चतुर उत्तरों से दुर्लभ हैं, और लंबे समय तक चलते हैं।

विरासत

कोंडर की सबसे स्थायी विरासत एक शुद्ध गणितज्ञ के लिए अजीब है: यह तालिकाओं का एक सेट है। उनके रिपॉजिटरी से उन लोगों द्वारा परामर्श लिया जाएगा जिन्होंने कभी उनके प्रमाण नहीं पढ़े और शायद उनका नाम नहीं जानते, उसी तरह जैसे इंजीनियर भौतिक स्थिरांक की तालिकाओं से परामर्श करते हैं। उनके पीछे एक कठिन विरासत है — यह प्रदर्शन कि उनके क्षेत्र में लगभग शून्य महत्वपूर्ण द्रव्यमान वाला एक छोटा देश विश्व-अग्रणी काम कर सकता है, और यह कि एक गणितज्ञ एक राष्ट्रीय अकादमी चला सकता है बिना एक कामकाजी शोधकर्ता बने रहना छोड़े। पंद्रह डॉक्टरेट छात्र और 170 शोध पत्र बाद, न्यूज़ीलैंड का संयोजनात्मक गणित एक चौकी के बजाय एक मान्यता प्राप्त अंतरराष्ट्रीय नोड है, और इसका बहुत कुछ ऑकलैंड के एक व्यक्ति तक जाता है जिसने गिनती जारी रखी।