ארנסט מייקל: איך לבחור מבלי לבחור רע
בשנת 1956 פרסם טופולוג צעיר מאוניברסיטת וושינגטון משפט על ביצוע בחירות. בהינתן כלל המשייך לכל נקודה לא ערך יחיד אלא קבוצה שלמה של ערכים מקובלים, מתי ניתן לבחור אחד מכל קבוצה — ברציפות, כך שנקודות סמוכות יקבלו בחירות סמוכות? התשובה שנתן משמשת כיום בכל פעם שכלכלן מוכיח קיומו של שיווי משקל או שתאורטיקן של בקרה מוכיח שמערכת ניתנת להיגוי. חמישים שנה מאוחר יותר, כתב עת הקדיש גיליון מיוחד שלם למה שצמח מזה, וכינה את 1956 "שנת הולדתה של תאוריה זו."
ציריך, ברלין, דן האג, ניו יורק
מייקל נולד בציריך ב-26 באוגוסט 1925, בן ליעקב וארנה מייקל, משפחה יהודית אשכנזית.
ארבע עשרה השנים הבאות נקראות כמיפוי של יבשת שצועדת לקראת אסון. המשפחה עזבה את ברלין ב-1932 — שנה לפני שהיטלר עלה לשלטון, כלומר הם קראו את המצב מוקדם ובצורה נכונה. הם עברו לדן האג. ב-1939, כשהולנד הייתה במרחק חודשים מפלישה, הם היגרו שוב, לניו יורק. מייקל יתואר לאחר מכן כאמריקאי, ממוצא שוויצרי וגרמני; כל אחת מהמילים הללו נרכשה במחיר של עזיבה.
הוא סיים את בית הספר הוראס מאן בגיל חמש עשרה. הוא הלך לקורנל, אך המלחמה קטעה את דרכו: הוא שירת על סיפון ה-USS Kwajalein מ-1944 עד 1946, וחזר כדי לקבל את התואר הראשון שלו ב-1947. תואר שני מהרווארד הגיע ב-1948, וב-1951 דוקטורט מאוניברסיטת שיקגו בהנחיית אירווינג סיגל (Irving Segal), עם תזה על אלגברות טופולוגיות קמורות-כפלית מקומית.
ארבעים ואחת שנים בסיאטל
ב-1952 הצטרף מייקל למחלקה למתמטיקה באוניברסיטת וושינגטון. הוא היה פרופסור חבר מ-1952 עד 1956, פרופסור חבר מ-1956 עד 1960, ופרופסור מ-1960 ועד פרישתו ב-1993 — ארבעים ואחת שנים במחלקה אחת, בחיים שארבע עשרה שנותיהם הראשונות הכילו שלוש מדינות.
הוא טייל מאותו בסיס במקום לעבור שוב: ארבע תקופות נפרדות כמרצה אורח במכון למחקר מתקדם, שנה ב-ETH ציריך ב-1973–74 — חזרה לעיר הולדתו — ושנה באוניברסיטת שטוטגרט ב-1978–79.
משפט הבחירה
התוצאה של 1956 נוגעת להעתקות בעלות ערכים קבוצתיים, שלעיתים מכונות התאמות או פונקציות רב-ערכיות.
Twenty questions, eight minutes on the clock, and a percentile measured against everyone who has taken it. No sign-up.
Take the IQ test →פונקציה רגילה נותנת לך פלט אחד לכל קלט. העתקה רב-ערכית נותנת לך קבוצה שלמה שלהם: לכל מחיר, קבוצת הכמויות שפירמה עשויה לייצר באופן אופטימלי; לכל מצב של מכונה, קבוצת הבקרות המותרות. בחירה (selection) היא פונקציה רגילה שבוחרת איבר אחד מכל אחת מהקבוצות הללו. בחירות תמיד קיימות אם מקבלים את אקסיומת הבחירה — אך הן יהיו בדרך כלל לא רציפות בעליל, ובחירה לא רציפה היא חסרת תועלת למטרות שיש לאנשים בפועל.
משפט הבחירה של מייקל נותן תנאים שבהם קיימת בחירה רציפה: בערך, שהתחום הוא פרא-קומפקטי ושההעתקה היא חצי-רציפה מלמטה עם ערכים קמורים סגורים. המשפט הוא הסיבה לכך שחלק ניכר מהאנליזה המודרנית עובד. טיעוני נקודת שבת בכלכלה מתמטית, תאוריית ההכללות הדיפרנציאליות, אופטימיזציה ובקרה, כולם מסתמכים בשלב כלשהו על היכולת לבחור ברציפות מקבוצה נעה.
הוא לא עצר במשפט. הוא ייסד את כל תאוריית הבחירות הרציפות סביבו, והמאמר מ-1956 נחשב בצדק למקורו של תחום זה.
קו מייקל
הבנייה המפורסמת האחרת שלו היא דוגמה נגדית, והיא אחת המצוטטות ביותר בטופולוגיה כללית.
טופולוגים רצו זה מכבר שתכונות יתנהגו היטב תחת מכפלות — אם שני מרחבים הם נחמדים, המכפלה שלהם אמורה להיות נחמדה. קו מייקל (Michael line) הורג את התקווה הזו עבור זיווג ספציפי וחשוב. זהו מרחב פרא-קומפקטי שהמכפלה שלו עם מרחב המספרים האי-רציונליים אינה אפילו נורמלית.
דוגמאות נגדיות באיכות זו מבצעות עבודה מסוימת במתמטיקה. הן מסמנות את גבול האפשר, והן מונעות מכל מי שבא אחריהן לבזבז שנים בניסיון הוכחה של משהו שגוי. שמו של מייקל נקשר גם לטופולוגיית המכפלה של מייקל ולתוצאות על תת-מרחבים סגורים, והוא פרסם מעל מאה מאמרים בטופולוגיה כללית, ב-Transactions, ב-Annals וב-Duke, על מרחבי-על של תת-קבוצות, פרא-קומפקטיות, בחירות רציפות והתנהגות של מרחבים נורמליים.
מדוע ארנסט מכונה גאון
הראיה החזקה ביותר היא עמידות מסוג ספציפי וחריג. מאמר בודד שפורסם ב-1956 עדיין הוליד מספיק מתמטיקה חדשה חמישים שנה מאוחר יותר עד ש-Topology and Its Applications הקדיש גיליון מיוחד ליובל. מעט מאוד תוצאות זוכות לכך.
האיכות הקוגניטיבית המעורבת שווה הגדרה מדויקת, כי היא אינה כוח חישובי גולמי. המתנה של מייקל הייתה למצוא את ההשערות המדויקות — התנאים המינימליים שבהם דבר רצוי הוא נכון, בשילוב עם הדוגמאות החדות המראות מה קורה ברגע שמרפים אותם. משפט הבחירה וקו מייקל הם אותו כישרון הפונה לכיוונים מנוגדים: האחד ממפה היכן הקרקע מוצקה, השני מסמן במדויק היכן היא נשמטת.
המקרה הנגדי הכן הוא שהעבודה המהוללת של מייקל צרה בשטח פנים. טופולוגיה כללית במחצית השנייה של המאה העשרים לא הייתה היכן שמרכז הכובד של הדיסציפלינה ישב; הכבוד העיקרי שלו היה הכללה במחזור הפתיחה של עמיתי האגודה האמריקאית למתמטיקה ב-2012, הבחנה גדולה וקולקטיבית שהגיעה חמישים ושש שנים אחרי המשפט. הוא לא זכה בפרס וולף, לא בפרס סטיל, ושום חברות באקדמיה לאומית לא מתועדת במקורות הנגישים. אף עמית לא מתועד כמי שכינה אותו גאון. חלק גדול מתהילת משפט הבחירה שלו מושאל ממשתמשים במורד הזרם — כלכלנים ותאורטיקנים של בקרה שמצטטים אותו כלמה מבלי לעסוק בטופולוגיה שלו כלל. פסק דין הוגן הוא שמייקל היה מתמטיקאי בעל דיוק יוצא דופן שמצא משפט אחד מדויק כל כך שהוא האריך ימים יותר מהאופנה של התחום שלו עצמו.
מורשת
מייקל פרש ב-1993 ומת ב-29 באפריל 2013, בגיל שמונים ושבע, בסיאטל.
המשפט נמצא בכל טקסט לתואר שני על אנליזה רב-ערכית. קו מייקל נמצא בכל קורס טופולוגיה הדן במכפלות. שניהם נלמדים, ברוב הזמן, מבלי שאף אחד יזכיר שהמחבר שלהם היה ילד יהודי שעזב את ברלין ב-1932, חצה אוקיינוס לפני פלישה, שירת באוקיינוס השקט, ואז ישב בחדר בסיאטל במשך ארבעים ואחת שנים ופיתח במדויק מתי ניתן לבחור היטב.