אוגוסטן-לואי קושי

> בני אדם חולפים, אך מעשיהם נשארים.

הברון אוגוסטן-לואי קושי היה מתמטיקאי, מהנדס ופיזיקאי צרפתי שתרם תרומות חלוציות לענפים רבים במתמטיקה, כולל אנליזה מתמטית ומכניקת הרצף. הוא היה מראשוני המנסחים והמוכיחים בריגורוזיות משפטים בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, תוך דחיית עקרון ההכללה האלגברית של כותבים קודמים. הוא ייסד כמעט לבדו את האנליזה המרוכבת ואת חקר חבורות התמורה באלגברה מופשטת.

קושי, מתמטיקאי מעמיק, השפיע רבות על בני דורו ועל ממשיכי דרכו; הנס פרוידנטל (Hans Freudenthal) הצהיר: "יותר מושגים ומשפטים נקראו על שמו של קושי מאשר על שמו של כל מתמטיקאי אחר; באלסטיות לבדה ישנם שישה-עשר מושגים ומשפטים הקרויים על שמו". קושי היה כותב פורה; הוא חיבר כשמונה מאות מאמרי מחקר וחמישה ספרי לימוד מלאים על מגוון נושאים בתחומי המתמטיקה והפיזיקה המתמטית.

ביוגרפיה

### נעורים וחינוך

קושי היה בנם של לואי פרנסואה קושי (Louis François Cauchy) 1760–1848 ומרי-מדלן דזסטר (Marie-Madeleine Desestre). לקושי היו שני אחים: אלכסנדר לורן קושי (Alexandre Laurent Cauchy) 1792–1857, שהפך לנשיא מחלקה בבית המשפט לערעורים ב-1847 ולשופט בבית המשפט לערעור (Cour de cassation) ב-1849, ואז'ן פרנסואה קושי (Eugene François Cauchy) 1802–1877, פובליציסט שכתב גם הוא כמה עבודות מתמטיות.

קושי נשא לאישה את אלואיז דה בור (Aloise de Bure) ב-1818. היא הייתה קרובת משפחה של המוציא לאור שפרסם את רוב עבודותיו של קושי. נולדו להם שתי בנות, מרי פרנסואה אליסיה (Marie Françoise Alicia) 1819 ומרי מתילד (Marie Mathilde) 1823.

אביו של קושי, לואי פרנסואה קושי, היה פקיד בכיר במשטרה הפריזאית של המשטר הישן, אך איבד את משרתו עקב המהפכה הצרפתית ב-14 ביולי 1789, שפרצה חודש לפני הולדת אוגוסטן-לואי. משפחת קושי שרדה את המהפכה ואת שלטון הטרור שלאחריה (1793-4) על ידי בריחה לארקיי (Arcueil), שם קיבל קושי את השכלתו הראשונה מאביו. לאחר הוצאתו להורג של רובספייר (Robespierre) ב-1794, היה זה בטוח למשפחה לחזור לפריז. שם מצא לואי-פרנסואה קושי משרה ביורוקרטית חדשה בשנת 1800, ועלה במהירות בסולם הדרגות. כאשר נפוליאון בונפרטה (Napoleon Bonaparte) עלה לשלטון ב-1799, לואי-פרנסואה קושי קודם עוד יותר, והפך למזכיר הכללי של הסנאט, בעבודה ישירה תחת לפלס (Laplace), הידוע כיום יותר בזכות עבודתו בפיזיקה מתמטית. המתמטיקאי המפורסם לגראנז' (Lagrange) היה גם הוא ידיד של משפחת קושי.

בעצתו של לגראנז', נרשם אוגוסטן-לואי לבית הספר "אקול סנטרל דו פנתאון" (École Centrale du Panthéon), בית הספר התיכון הטוב ביותר בפריז באותה תקופה, בסתיו 1802. רוב תוכנית הלימודים כללה שפות קלאסיות; קושי הצעיר והשאפתן, שהיה תלמיד מבריק, זכה בפרסים רבים בלטינית ובמדעי הרוח. למרות הצלחות אלו, בחר אוגוסטן-לואי בקריירה הנדסית, והכין את עצמו לבחינות הכניסה לאקול פוליטקניק (École Polytechnique).

בשנת 1805 הוא דורג שני מתוך 293 מועמדים בבחינה זו, והתקבל. אחת המטרות העיקריות של בית ספר זה הייתה להעניק למהנדסים אזרחיים וצבאיים לעתיד השכלה מדעית ומתמטית ברמה גבוהה. בית הספר פעל תחת משמעת צבאית, מה שגרם לקושי הצעיר והדתי בעיות בהסתגלות. אף על פי כן, הוא סיים את הפוליטקניק ב-1807, בגיל 18, והמשיך לבית הספר לגשרים וכבישים (École des Ponts et Chaussées). הוא סיים בהצטיינות יתרה בהנדסה אזרחית.

### ימי ההנדסה

לאחר סיום לימודיו ב-1810, קיבל קושי עבודה כמהנדס זוטר בשרבור (Cherbourg), שם התכוון נפוליאון לבנות בסיס ימי. כאן נשאר אוגוסטן-לואי במשך שלוש שנים, והוקצה לפרויקט תעלת אורק (Ourcq) ולפרויקט גשר סן-קלוד, וכן עבד בנמל שרבור. למרות שהייתה לו משרה ניהולית עמוסה ביותר, הוא עדיין מצא זמן להכין שלושה כתבי יד מתמטיים, אותם הגיש למחלקה הראשונה (Première Classe) של המכון של צרפת (Institut de France). שני כתבי היד הראשונים של קושי על פאונים התקבלו; השלישי על ישרים של חתכי חרוט נדחה.

בספטמבר 1812, בהיותו בן 23, חזר קושי לפריז לאחר שחלה מעבודת יתר. סיבה נוספת לחזרתו לבירה הייתה שהוא איבד עניין בעבודתו ההנדסית, ונמשך יותר ויותר ליופי המופשט של המתמטיקה; בפריז היו לו סיכויים טובים בהרבה למצוא משרה הקשורה למתמטיקה. לכן, כאשר השתפרה בריאותו ב-1813, בחר קושי לא לחזור לשרבור. למרות ששמר רשמית על משרתו ההנדסית, הוא הועבר מרשימת השכר של משרד הימייה למשרד הפנים. בשלוש השנים הבאות היה אוגוסטן-לואי בעיקר בחופשת מחלה ללא תשלום, והקדיש את זמנו בצורה פורייה למדי, תוך עבודה על מתמטיקה בנושאים הקשורים לפונקציות סימטריות, החבורה הסימטרית ותורת המשוואות האלגבריות מסדר גבוה. הוא ניסה להתקבל למחלקה הראשונה של המכון של צרפת אך נכשל בשלוש הזדמנויות שונות בין 1813 ל-1815. ב-1815 הובס נפוליאון בווטרלו, והמלך הבורבוני החדש לואי ה-18 (Louis XVIII) לקח את הרסטורציה לידיו. האקדמיה למדעים (Académie des Sciences) הוקמה מחדש במרץ 1816; לזאר קארנו (Lazare Carnot) וגאספאר מונז' (Gaspard Monge) הורחקו מהאקדמיה מסיבות פוליטיות, והמלך מינה את קושי לתפוס את מקומו של אחד מהם. תגובת עמיתיו של קושי הייתה קשה; הם ראו בקבלת חברותו באקדמיה שערורייה, ובכך יצר קושי אויבים רבים בחוגים מדעיים.

### פרופסור באקול פוליטקניק

בנובמבר 1815 ביקש לואי פואנסו (Louis Poinsot), שהיה פרופסור חבר באקול פוליטקניק, להשתחרר מחובות ההוראה שלו מסיבות בריאותיות. קושי היה באותה עת כוכב מתמטי עולה, שבהחלט היה ראוי לפרופסורה. אחת מהצלחותיו הגדולות באותה תקופה הייתה ההוכחה למשפט המספרים המצולעים של פרמה. עם זאת, העובדה שקושי היה ידוע כנאמן מאוד לבורבונים עזרה לו ללא ספק להפוך ליורשו של פואנסו. הוא עזב סופית את עבודתו ההנדסית וקיבל חוזה לשנה אחת להוראת מתמטיקה לסטודנטים בשנה השנייה של האקול פוליטקניק. בשנת 1816 אורגן מחדש בית ספר בונפרטיסטי ולא-דתי זה, וכמה פרופסורים ליברלים פוטרו; קושי הריאקציונר קודם לפרופסור מן המניין.

כאשר היה קושי בן 28, הוא עדיין חי עם הוריו. אביו מצא שהגיע הזמן שבנו יתחתן; הוא מצא לו כלה מתאימה, אלואיז דה בור, הצעירה ממנו בחמש שנים. משפחת דה בור הייתה משפחה של מדפיסים ומוכרי ספרים, והם פרסמו את רוב עבודותיו של קושי. אלואיז ואוגוסטן נישאו ב-4 באפריל 1818, בטקס קתולי רומי מפואר, בכנסיית סן-סולפיס. בשנת 1819 נולדה בתם הראשונה, מרי פרנסואה אליסיה, וב-1823 הבת השנייה והאחרונה, מרי מתילד.

האקלים הפוליטי השמרני שנמשך עד 1830 התאים לקושי בצורה מושלמת. ב-1824 מת לואי ה-18, ואת מקומו תפס אחיו הריאקציונר אף יותר, שארל העשירי (Charles X). במהלך שנים אלו היה קושי פרודוקטיבי ביותר, ופרסם מסה מתמטית חשובה אחת לאחר השנייה. הוא קיבל מינויים מקבילים בקולז' דה פראנס (Collège de France) ובפקולטה למדעים של פריז (Faculté des sciences de Paris).

### בגלות

ביולי 1830 התרחשה מהפכת יולי בצרפת. שארל העשירי ברח מהמדינה, ואת מקומו ירש המלך הלא-בורבוני לואי-פיליפ (Louis-Philippe) מבית אורליאן. מהומות, שבהן לקחו חלק פעיל סטודנטים במדים מהאקול פוליטקניק, השתוללו קרוב לביתו של קושי בפריז.

אירועים אלו סימנו נקודת מפנה בחייו של קושי, ושבר בפריון המתמטי שלו. קושי, מזועזע מנפילת הממשלה ומונע משנאה עמוקה לליברלים שתפסו את השלטון, עזב את פריז לחוץ לארץ, כשהוא משאיר את משפחתו מאחור. הוא בילה זמן קצר בפריבור שבשוויץ, שם נאלץ להחליט אם יישבע אמונים למשטר החדש. הוא סירב לעשות זאת, וכתוצאה מכך איבד את כל תפקידיו בפריז, מלבד חברותו באקדמיה, שעבורה לא נדרשה שבועה. ב-1831 נסע קושי לעיר האיטלקית טורינו, ולאחר זמן מה שם, קיבל הצעה ממלך סרדיניה ששלט בטורינו ובאזור פיימונטה שמסביב, לקתדרה לפיזיקה תיאורטית, שנוצרה במיוחד עבורו. הוא לימד בטורינו בשנים 1832–1833. בשנת 1831 הוא נבחר לחבר חוץ באקדמיה המלכותית השוודית למדעים, ובשנה שלאחר מכן לחבר כבוד זר באקדמיה האמריקאית לאמנויות ולמדעים.

באוגוסט 1833 עזב קושי את טורינו לפראג, כדי להפוך למורה למדעים של הדוכס מבורדו בן ה-13 הנרי ד'ארטואה (Henri d'Artois) 1820–1883, יורש העצר הגולה ונכדו של שארל העשירי. כפרופסור באקול פוליטקניק, קושי היה מרצה גרוע לשמצה, בהניחו רמות הבנה שרק מעטים מתלמידיו הטובים ביותר יכלו להגיע אליהן, ובדחיסת חומר רב מדי לזמן שהוקצב לו. לדוכס הצעיר לא היה טעם או כישרון למתמטיקה או למדעים, כך שהתלמיד והמורה היו אי התאמה מושלמת. למרות שקושי לקח את משימתו ברצינות רבה, הוא עשה זאת במגושמות רבה, ובחוסר סמכות מפתיע כלפי הדוכס.

במהלך ימי ההנדסה האזרחית שלו, קושי היה פעם אחראי בקצרה על תיקון כמה מהביובים של פריז, והוא עשה את הטעות בכך שהזכיר זאת לתלמידו; ברוע לב רב, הדוכס הצעיר החל לומר שמר קושי התחיל את הקריירה שלו בביובים של פריז. תפקידו כמורה נמשך עד שהדוכס הגיע לגיל 18, בספטמבר 1838. קושי כמעט לא עשה מחקר במהלך אותן חמש שנים, בעוד הדוכס רכש סלידה לכל החיים ממתמטיקה. הדבר הטוב היחיד שיצא מפרק זה היה קידומו של קושי לתואר ברון, תואר שקושי ייחס לו חשיבות רבה. ב-1834 עברו אשתו ושתי בנותיו לפראג, וקושי התאחד סוף סוף עם משפחתו לאחר ארבע שנים בגלות.

### שנים אחרונות

קושי חזר לפריז ולתפקידו באקדמיה למדעים בסוף 1838. הוא לא יכול היה להחזיר לעצמו את משרות ההוראה שלו, כי עדיין סירב להישבע שבועת אמונים.

באוגוסט 1839 התפנתה משרה בלשכת קווי האורך (Bureau des Longitudes). ללשכה זו היה דמיון מסוים לאקדמיה; למשל, הייתה לה הזכות לבחור את חבריה. יתרה מכך, האמינו שחברי הלשכה יכולים "לשכוח" משבועת האמונים, אם כי רשמית, בניגוד לאקדמאים, הם היו מחויבים להישבע אותה. לשכת קווי האורך הייתה ארגון שנוסד ב-1795 כדי לפתור את בעיית קביעת המיקום בים – בעיקר הקואורדינטה האורכית, שכן קו הרוחב נקבע בקלות ממיקום השמש. מכיוון שחשבו שמיקום בים נקבע בצורה הטובה ביותר על ידי תצפיות אסטרונומיות, הלשכה התפתחה לארגון הדומה לאקדמיה למדעים אסטרונומיים.

קושי בשנותיו המאוחרות

בנובמבר 1839 נבחר קושי ללשכה, וגילה מיד שנושא השבועה לא נפתר בקלות. ללא שבועתו, סירב המלך לאשר את בחירתו. במשך ארבע שנים היה קושי במצב של מי שנבחר אך לא אושר; לפיכך, הוא לא היה חבר רשמי בלשכה, לא קיבל תשלום, לא יכול היה להשתתף בישיבות, ולא יכול היה להגיש מאמרים. עדיין קושי סירב להישבע שבועות כלשהן; עם זאת, הוא הרגיש מספיק נאמן כדי לכוון את מחקרו למכניקה שמימית. ב-1840 הוא הגיש תריסר מאמרים בנושא זה לאקדמיה. הוא גם תיאר והדגים את הייצוג של מספרים בשיטת ספרות חתומות (signed-digit representation), חידוש שהוצג באנגליה ב-1727 על ידי ג'ון קולסון (John Colson). החברות המבלבלת בלשכה נמשכה עד סוף 1843, אז הוחלף קושי סוף סוף על ידי פואנסו.

לאורך המאה ה-19 נאבקה מערכת החינוך הצרפתית על ההפרדה בין כנסייה ומדינה. לאחר שאיבדה את השליטה על מערכת החינוך הציבורי, ביקשה הכנסייה הקתולית להקים סניף חינוך משלה ומצאה בקושי בעל ברית נאמן ומפואר. הוא השאיל את יוקרתו וידיעותיו לבית הספר הנורמלי הכנסייתי (École Normale Écclésiastique), בית ספר בפריז המנוהל על ידי ישועים, להכשרת מורים למכללות שלהם. הוא גם לקח חלק בהקמת המכון הקתולי (Institut Catholique). מטרת מכון זה הייתה לנטרל את השפעות היעדר החינוך האוניברסיטאי הקתולי בצרפת. פעילויות אלו לא הפכו את קושי לפופולרי בקרב עמיתיו, שבסך הכל תמכו באידיאלים של הנאורות של המהפכה הצרפתית. כאשר התפנתה קתדרה למתמטיקה בקולז' דה פראנס ב-1843, הגיש קושי מועמדות, אך זכה רק בשלושה מתוך 45 קולות.

שנת 1848 הייתה שנת מהפכה בכל רחבי אירופה; מהפכות פרצו במדינות רבות, החל בצרפת. המלך לואי-פיליפ, שחשש מגורלו של לואי ה-16, ברח לאנגליה. שבועת האמונים בוטלה, והדרך למינוי אקדמי הייתה סוף סוף פתוחה עבור קושי. ב-1 במרץ 1849 הוא הוחזר לפקולטה למדעים, כפרופסור לאסטרונומיה מתמטית. לאחר תהפוכות פוליטיות לאורך כל שנת 1848, בחרה צרפת להפוך לרפובליקה, תחת נשיאותו של לואי נפוליאון בונפרטה (Louis Napoleon Bonaparte), אחיינו של נפוליאון בונפרטה, ובנו של אחיו של נפוליאון, שהיה מוצב כמלך הראשון של הולנד. עד מהרה בתחילת 1852 הפך הנשיא את עצמו לקיסר צרפת, ונטל את השם נפוליאון השלישי.

באופן לא מפתיע, עלה הרעיון בחוגים ביורוקרטיים שיהיה זה שימושי לדרוש שוב שבועת אמונים מכל פקידי המדינה, כולל פרופסורים באוניברסיטה. הפעם הצליח שר בממשלה לשכנע את הקיסר לפטור את קושי מהשבועה. קושי נשאר פרופסור באוניברסיטה עד מותו בגיל 67. הוא קיבל את הטקסים האחרונים ומת ממחלה סימפונות ב-4 לפנות בוקר ב-23 במאי 1857.

שמו הוא אחד מ-72 השמות החקוקים על מגדל אייפל.

עבודה

### עבודה מוקדמת

הגאונות של קושי באה לידי ביטוי בפתרונו הפשוט לבעיית אפולוניוס – תיאור מעגל המשיק לשלושה מעגלים נתונים – אותו גילה ב-1805, בהכללתו לנוסחת אוילר (Euler) על פאונים ב-1811, ובכמה בעיות אלגנטיות אחרות. חשוב מכך הוא המאמר שלו על התפשטות גלים, שזכה בפרס הגדול של האקדמיה הצרפתית למדעים ב-1816. כתביו של קושי כיסו נושאים בולטים כולל: תורת הטורים, שבה פיתח את מושג ההתכנסות וגילה רבים מהנוסחאות הבסיסיות עבור q-טורים. בתורת המספרים והכמויות המרוכבות, הוא היה הראשון שהגדיר מספרים מרוכבים כזוגות של מספרים ממשיים. הוא כתב גם על תורת החבורות וההצבות, תורת הפונקציות, משוואות דיפרנציאליות ודטרמיננטות.

### תורת הגלים, מכניקה, אלסטיות

בתורת האור הוא עבד על תורת הגלים של פרנל (Fresnel) ועל הפיזור והקיטוב של האור. הוא גם תרם מחקר משמעותי במכניקה, והחליף את מושג רציפות ההעתקות הגיאומטריות בעקרון רציפות החומר. הוא כתב על שיווי משקל של מוטות וממברנות אלסטיות ועל גלים בתווך אלסטי. הוא הציג מטריצה סימטרית 3 × 3 של מספרים הידועה כיום כטנזור המאמצים של קושי. באלסטיות, הוא יצר את תורת המאמצים, ותוצאותיו חשובות כמעט כמו אלו של סימאון פואסון (Siméon Poisson).

### תורת המספרים

תרומות משמעותיות אחרות כוללות היותו הראשון שהוכיח את משפט המספרים המצולעים של פרמה.

### פונקציות מרוכבות

קושי מפורסם ביותר בזכות פיתוחו העצמאי של תורת הפונקציות המרוכבות. המשפט המכריע הראשון שהוכיח קושי, הידוע כיום כמשפט האינטגרל של קושי, היה הבא:

כאשר f(z) היא פונקציה בעלת ערכים מרוכבים הולומורפית על ובתוך העקומה הסגורה הלא-עצמית C, קונטור השוכן במישור המרוכב. אינטגרל הקונטור נלקח לאורך הקונטור C. את יסודות המשפט הזה ניתן למצוא כבר במאמר שהגיש קושי בן ה-24 לאקדמיה למדעים (שנקראה אז עדיין "המחלקה הראשונה של המכון") ב-11 באוגוסט 1814. בצורתו המלאה ניתן המשפט בשנת 1825. המאמר משנת 1825 נתפס על ידי רבים כתרומתו החשובה ביותר של קושי למתמטיקה.

בשנת 1826 נתן קושי הגדרה רשמית לשארית (residue) של פונקציה. מושג זה נוגע לפונקציות שיש להן קטבים – סינגולריות מבודדות, כלומר, נקודות שבהן פונקציה שואפת לאינסוף חיובי או שלילי. אם הפונקציה בעלת הערכים המרוכבים f(z) ניתנת לפיתוח בסביבת סינגולריות a כ

כאשר φ(z) היא אנליטית, כלומר, מתנהגת היטב ללא סינגולריות, אז אומרים של-f יש קוטב מסדר n בנקודה a. אם n = 1, הקוטב נקרא פשוט. המקדם B1 נקרא על ידי קושי השארית של פונקציה f ב-a. אם f אינה סינגולרית ב-a אז השארית של f היא אפס ב-a. בבירור, השארית במקרה של קוטב פשוט שווה ל-

שבו החלפנו את B1 בסימון המודרני של השארית.

בשנת 1831, בעת שהותו בטורינו, הגיש קושי שני מאמרים לאקדמיה למדעים של טורינו. בראשון הוא הציע את הנוסחה הידועה כיום כנוסחת האינטגרל של קושי,

כאשר f(z) אנליטית על C ובתוך התחום התחום על ידי הקונטור C והמספר המרוכב a נמצא איפשהו בתחום זה. אינטגרל הקונטור נלקח נגד כיוון השעון. בבירור, לפונקציה שבתוך האינטגרל יש קוטב פשוט ב-z = a. במאמר השני הוא הציג את משפט השאריות,

כאשר הסכום הוא על כל n הקטבים של f(z) על ובתוך הקונטור C. תוצאות אלו של קושי עדיין מהוות את הליבה של תורת הפונקציות המרוכבות כפי שהיא נלמדת כיום לפיזיקאים ומהנדסי חשמל. במשך זמן לא מבוטל, בני דורו של קושי התעלמו מתורתו, באמינם שהיא מסובכת מדי. רק בשנות ה-40 של המאה ה-19 החלה התורה לקבל תגובה, כאשר פייר אלפונס לורן (Pierre Alphonse Laurent) היה המתמטיקאי הראשון, מלבד קושי, שתרם תרומה משמעותית עם טור לורן שלו שפורסם ב-1843.

### Cours d'Analyse

בספרו Cours d'Analyse הדגיש קושי את חשיבות הריגורוזיות באנליזה. ריגורוזיות במקרה זה משמעותה דחיית עקרון ההכללה האלגברית של כותבים קודמים כגון אוילר ולגראנז' והחלפתו בגיאומטריה ובאינפיניטסימלים. ג'ודית גרבינר (Judith Grabiner) כתבה שקושי היה "האדם שלימד אנליזה ריגורוזית לכל אירופה".Grabiner 1981 הספר מצוין לעיתים קרובות כמקום הראשון שבו הוכנסו אי-שוויונות וטיעוני δ − ϵ לחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי. כאן הגדיר קושי רציפות כדלקמן: הפונקציה f(x) רציפה ביחס ל-x בין הגבולות הנתונים אם, בין גבולות אלו, תוספת אינפיניטסימלית במשתנה תמיד מייצרת תוספת אינפיניטסימלית בפונקציה עצמה.

דף השער של ספר לימוד מאת קושי.

מ. באראני (M. Barany) טוען כי האקול חייב את הכללת השיטות האינפיניטסימליות בניגוד לשיקול דעתו הטוב יותר של קושי Barany 2011. גילן (Gilain) מציין כי כאשר צומצם חלק תוכנית הלימודים שהוקדש ל-Analyse Algébrique ב-1825, עמד קושי על הצבת הנושא של פונקציות רציפות ובכך גם אינפיניטסימלים בתחילת החשבון הדיפרנציאלי Gilain 1989. לויץ (Laugwitz) 1989 ובניס-סינאסר (Benis-Sinaceur) 1973 מצביעים על כך שקושי המשיך להשתמש באינפיניטסימלים במחקרו שלו עד 1853.

קושי נתן הגדרה מפורשת לאינפיניטסימל במונחים של סדרה השואפת לאפס. נכתב גוף ספרותי עצום על מושג "הכמויות הקטנות לאינסוף" של קושי, בטענה שהן מובילות לכל דבר, מהגדרות ה"אפסילונטיקה" הרגילות ועד למושגי האנליזה הלא-סטנדרטית. הקונצנזוס הוא שקושי השמיט או השאיר מרומזים את הרעיונות החשובים כדי להבהיר את המשמעות המדויקת של הכמויות הקטנות לאינסוף שבהן השתמש. Barany 2013

### משפט טיילור

הוא היה הראשון להוכיח את משפט טיילור (Taylor) בריגורוזיות, כשהוא מבסס את צורתו הידועה של השארית.