Raghavan Narasimhan : L'homme qui a résolu le problème de Levi

En 1962, le Congrès international des mathématiciens a invité un jeune analyste indien à prononcer l'une de ses allocutions. Il avait vingt-cinq ans et ne devait recevoir son doctorat qu'un an plus tard. L'invitation n'était pas une courtoisie : deux ans plus tôt, Raghavan Narasimhan avait résolu le problème de Levi pour les espaces complexes, une question qui était restée ouverte pendant un demi-siècle et qui avait mis en échec une génération des meilleurs analystes d'Europe. Il a passé les cinq décennies suivantes à Chicago, rédigeant les manuels scolaires à partir desquels tout le monde a appris la matière.

Madras et le père Racine

Il est né le 31 août 1937 à Madras. Sa formation mathématique a débuté au Loyola College de cette ville, où il a obtenu sa licence en 1957 et a étudié sous la direction du père Racine, le jésuite français qui a introduit l'analyse continentale dans un pays qui avait produit Ramanujan mais peu d'infrastructures institutionnelles. Narasimhan est ensuite allé à Bombay, dans l'orbite de l'Institut Tata, et a obtenu son doctorat de l'Université de Bombay en 1963 sous la direction du théoricien des nombres K. Chandrasekharan.

La chronologie mérite que l'on s'y attarde. Le doctorat a été obtenu en 1963. Les théorèmes sont arrivés en 1960 et 1961.

Le problème de Levi

L'analyse complexe à une variable est un sujet d'une rigidité remarquable : une fonction holomorphe sur un disque est déterminée par des données extrêmement restreintes. Dans le cas de plusieurs variables, cette rigidité devient étrange. Certaines régions de l'espace complexe ont la propriété que toute fonction holomorphe qui y est définie s'étend automatiquement à une région plus vaste — la région n'est pas, pour ainsi dire, le foyer naturel de ses propres fonctions. Les régions qui constituent leur propre foyer naturel sont appelées domaines d'holomorphie, et en 1910 E. E. Levi a demandé desquels il s'agissait, en émettant l'hypothèse qu'une condition géométrique sur le bord appelée pseudoconvexité était la réponse.

La question s'est avérée extrêmement difficile. Kiyoshi Oka a fini par la résoudre pour les domaines de l'espace euclidien complexe dans les années 1940 et 1950. Hans Grauert a ensuite traité les variétés complexes. Ce qui restait était le cas général et le plus délicat : les espaces complexes, qui peuvent comporter des singularités — des points où l'espace n'est pas localement un beau morceau de C^n mais quelque chose de pincé ou de croisé. Les singularités brisent les outils. Les articles de Narasimhan, « The Levi problem for complex spaces » dans Mathematische Annalen en 1961 et sa suite, ont clos ce cas. Le résultat est toujours cité sous le nom de Grauert-Narasimhan, ce qui est la manière pour la discipline de consigner que la dernière et la plus difficile étape était la sienne.

Plongement

Son autre théorème éponyme est arrivé le premier, en 1960, dans un article de l'American Journal of Mathematics intitulé « Imbedding of Holomorphically Complete Complex Spaces ». Les variétés de Stein sont les objets analytiques complexes qui possèdent suffisamment de fonctions holomorphes pour séparer leurs propres points — le pendant analytique des variétés algébriques affines et le cadre naturel de tout le sujet. Définies de manière abstraite, elles sont difficiles à se représenter. Narasimhan a prouvé que toute variété de Stein de dimension complexe n admet une immersion holomorphe propre et injective dans C^{2n+1}.

Cette phrase accomplit un travail considérable. Elle indique qu'une variété de Stein abstraite n'est jamais exotique : elle peut toujours être réalisée concrètement comme un sous-ensemble fermé d'un espace euclidien complexe ordinaire de dimension bornée, la borne ne dépendant que de n. C'est l'analogue analytique complexe du théorème de plongement de Whitney en topologie différentielle, et cela a transformé une classe d'objets définis de manière abstraite en des choses que l'on peut manipuler. Le résultat porte son nom.

Chicago

Il a été chercheur invité à l'Institute for Advanced Study de Princeton en 1966 et a rejoint le corps professoral de mathématiques de l'Université de Chicago en 1969, où il est resté pendant plus de quatre décennies et a terminé comme professeur émérite. Ses intérêts se sont élargis plutôt que de se restreindre : à côté de plusieurs variables complexes, il a travaillé en théorie analytique des nombres, et dans les années 1990, il a collaboré avec Charles Fefferman de Princeton, lauréat de la médaille Fields, sur des articles à la jonction de l'analyse et de la géométrie algébrique réelle — une association de deux des analystes les plus redoutables sur le plan technique en vie. L'Université de Genève lui a décerné un doctorat honoris causa en 1986.

Les livres

Narasimhan a écrit six livres, et leur influence pourrait finalement dépasser celle des théorèmes. Analysis on Real and Complex Manifolds (1968), le volume des conférences de Chicago Several Complex Variables (1971) et Complex Analysis in One Variable (2001) sont condensés, précis et notoirement exigeants — des livres qui supposent que le lecteur recherche le chemin correct le plus court plutôt que du réconfort. Des générations d'étudiants diplômés ont appris plusieurs variables complexes grâce à eux. Ses collègues se souvenaient d'un homme qui prenait aussi au sérieux la musique classique et le vin, et qui, selon le souvenir de l'un d'eux, « possédait une intuition véritablement stupéfiante en analyse ».

Il est décédé le 3 octobre 2015, à l'âge de soixante-dix-huit ans, après une brève maladie.

Pourquoi Raghavan est qualifié de génie

Soyons concrets, car c'est là que réside le cas. Deux résultats, tous deux obtenus avant ses vingt-cinq ans et avant qu'il n'ait son doctorat, dont chacun a clos un problème plutôt que de le faire progresser.

Le théorème de plongement est le plus propre. Il répond à une question de la forme « à quel point ces objets peuvent-ils être sauvages ? » par « pas sauvages du tout » — toute variété de Stein de dimension n se loge proprement à l'intérieur de C^{2n+1}. Les résultats de cette forme sont rares et disproportionnément utiles, car ils permettent à tous les autres d'arrêter de s'inquiéter d'une catégorie entière de pathologies possibles.

Le problème de Levi est plus difficile, et plus difficile à expliquer. Oka et Grauert avaient traité les cas lisses ; le reliquat était constitué des espaces complexes avec singularités, là précisément où la machinerie standard devient perfide. Terminer un problème vieux de cinquante ans dans son cas le plus dégénéré, en tant qu'étudiant diplômé, face aux meilleurs analystes d'Europe, est ce pour quoi le mot « génie » a été inventé. L'invitation de l'ICM à un jeune de vingt-cinq ans sans doctorat est le verdict de la profession elle-même, prononcé à l'époque.

Le contre-exemple relève de l'échelle plutôt que de la qualité. Narasimhan n'a pas fondé un domaine ni réorienté une discipline ; il a résolu deux problèmes ardus au sein d'un domaine que d'autres avaient défini, puis a passé cinquante années productives mais moins spectaculaires à y travailler. Il n'a remporté aucune médaille Fields, aucun prix Wolf, aucun prix Abel ; sa distinction majeure a été un diplôme honorifique de Genève. Placé aux côtés des mathématiciens qui ont changé l'objet de la discipline, son bilan est celui d'un analyste exceptionnellement puissant avec deux résultats magnifiques au début et un long plateau distingué ensuite — un génie au sens strict et local, qui a vu à vingt-trois ans ce que personne d'autre ne pouvait voir, plutôt qu'un esprit qui a redessiné la carte.

Héritage

Le théorème de plongement de Narasimhan et la solution de Grauert-Narasimhan au problème de Levi sont des éléments permanents de la théorie des plusieurs variables complexes, enseignés partout où le sujet est enseigné. Ses manuels scolaires constituent le deuxième héritage, et celui qui a touché le plus de personnes : des générations de mathématiciens ont découvert l'analyse complexe dans sa prose rigoureuse. Le troisième est institutionnel et facile à manquer : il faisait partie de la cohorte que le père Racine et K. Chandrasekharan ont produite dans les années 1950 et 1960, la génération qui a fait des mathématiques indiennes une présence permanente dans la littérature internationale plutôt qu'un prodige occasionnel.