Noam Elkies : Le mathématicien qui a brisé une conjecture vieille de 200 ans à 21 ans

En 1988, un étudiant diplômé de 21 ans a trouvé un contre-exemple à une conjecture que Leonhard Euler avait proposée en 1769 et qui avait survécu à deux siècles d'examen par certains des plus grands mathématiciens de l'histoire. Noam Elkies n'a pas seulement réfuté la conjecture de la somme des puissances d'Euler pour les quatrièmes puissances ; il l'a fait en tant que projet secondaire, au milieu d'une carrière qui allait bientôt faire de lui le plus jeune professeur titulaire de Harvard, un résolveur d'échecs de calibre grand maître et, selon son propre chef de chœur, un musicien comparable à Bach.

Un enfant parlant couramment trois langues du génie

Elkies est né à New York le 25 août 1966, d'un père ingénieur et d'une mère professeur de piano, et a passé huit années formatrices en Israël avant que la famille ne retourne à New York. Il a commencé à composer de la musique à l'âge de six ans et s'est ensuite formé au programme pré-universitaire de Juilliard pendant son adolescence, se développant en parallèle comme pianiste et basse-baryton alors même que ses dons mathématiques devenaient impossibles à ignorer. À quatorze ans, il a participé à l'Olympiade internationale de mathématiques de 1981 et a remporté une médaille d'or avec un score parfait de 42, et à seize ans et quatre mois, il est devenu Putnam Fellow — l'un des meilleurs scores au très difficile concours mathématique Putnam — un exploit qu'il allait réitérer, devenant au total trois fois Putnam Fellow. Il a obtenu son diplôme de la Stuyvesant High School en 1982 à quinze ans, et en 1982 a également présenté un projet au Science Talent Search intitulé "Improved Lower Bound on the Greatest Element of a Sum-Distinct Set of Fixed Order" (Borne inférieure améliorée sur le plus grand élément d'un ensemble à somme distincte d'ordre fixe), un signe précoce des instincts de théorie des nombres qui allaient définir sa carrière.

Columbia, Harvard et une conjecture vieille de deux siècles

Elkies a obtenu sa licence à l'université Columbia en 1985, terminant major de promotion, puis a déménagé à Harvard pour son doctorat, achevé en 1987 sous la supervision de Benedict Gross et Barry Mazur, deux des figures de proue de la théorie des nombres moderne. La même année, il a prouvé que les courbes elliptiques sur les nombres rationnels sont supersingulières en une infinité de nombres premiers, un résultat significatif en géométrie arithmétique. Mais c'est sa découverte de 1988 qui a fait la une des journaux bien au-delà des départements de mathématiques : il a trouvé un contre-exemple réfutant la conjecture de la somme des puissances d'Euler pour les quatrièmes puissances, une affirmation qui était restée incontestée depuis 1769. La découverte a démontré qu'une équation spécifique impliquant quatre quatrièmes puissances totalisant une quatrième puissance était résoluble, ce que la conjecture d'Euler impliquait être impossible — renversant, avec un seul exemple explicite, deux cents ans de consensus mathématique.

Le plus jeune professeur titulaire de l'histoire de Harvard

Elkies a rejoint la Society of Fellows de Harvard en tant que junior fellow de 1987 à 1990, et en 1993, à l'âge de vingt-six ans, il a obtenu la titularisation, faisant de lui le plus jeune professeur titulaire de l'histoire de l'université Harvard. Il est resté au sein de la faculté de mathématiques de Harvard depuis lors, continuant à produire des résultats en théorie des nombres et en géométrie arithmétique, notamment en co-développant l'algorithme Schoof–Elkies–Atkin avec A. O. L. Atkin, une méthode largement utilisée pour compter les points sur les courbes elliptiques qui sous-tend une partie de la cryptographie moderne. Il a continué à établir des records dans le domaine des courbes elliptiques pendant des décennies : il a découvert des courbes avec un rang exceptionnellement élevé, dont une avec un rang d'au moins 28 et, en août 2024, en travaillant avec Zev Klagsbrun, une courbe avec un rang d'au moins 29 — prolongeant un fil de recherche qu'il a ouvert en tant que jeune mathématicien sur près de quatre décennies. En 1994, il a été conférencier invité au Congrès international des mathématiciens à Zurich, l'un des honneurs les plus sélectifs du domaine, et il a été élu à la National Academy of Sciences en 2017.

Une seconde carrière à l'échiquier

Le talent mathématique d'Elkies a trouvé une seconde voie inhabituelle aux échecs, bien que pas principalement en tant que joueur de tournoi. Il détient le titre de Maître national de la United States Chess Federation, mais sa renommée plus profonde dans le monde des échecs vient de la composition et de la résolution de problèmes : il a remporté le Championnat du monde de résolution d'échecs en 1996, une compétition qui teste non pas la force en tournoi mais la compétence spécifique, hautement mathématique, de trouver des solutions forcées à des positions d'échecs construites. L'un de ses problèmes d'échecs composés était suffisamment significatif pour être inclus dans le manuel de finales largement respecté de Mark Dvoretsky, une référence standard parmi les étudiants en échecs sérieux.

Le musicien aux côtés du mathématicien

La vie musicale d'Elkies s'est déroulée continuellement aux côtés de ses mathématiques plutôt que derrière elles. Il a autrefois accompagné le Harvard Glee Club en tant que pianiste, et son directeur a offert une comparaison rarement étendue à tout musicien vivant, décrivant Elkies comme ressemblant à "un Bach ou un Mozart" et louant sa "musicalité douée, son sens musical supérieur et sa capacité de lecture à vue". Il fait également sonner les cloches à la Lowell House de Harvard, une vieille tradition de campanologie, et a composé de la musique tout au long de sa vie d'adulte parallèlement à sa production mathématique.

Pourquoi Noam est appelé un génie

Le cas d'Elkies pour le mot repose sur une superposition inhabituellement concentrée de réalisations qui sont individuellement rares et presque jamais trouvées ensemble : une médaille d'or à l'Olympiade mathématique avec un score parfait à quatorze ans, un triple Putnam Fellowship, un contre-exemple qui a renversé une conjecture vieille de 200 ans à vingt-et-un ans, et une titularisation à Harvard à vingt-six ans, parallèlement à un véritable record de compétition d'échecs et une capacité musicale que son propre chef de chœur a comparée spontanément à Bach et Mozart. Cette combinaison n'est pas une compétence technique étroite déguisée en vaste génie — elle couvre une perspicacité mathématique pure, une résolution de problèmes compétitive sous pression et un métier musical formé, chacun vérifié indépendamment par des personnes ayant la stature pour en juger : le comité de titularisation de Harvard, les juges du Championnat du monde de résolution d'échecs et un chef de chœur professionnel. La complication honnête est que le "génie" dans la recherche mathématique n'est généralement pas un éclair solitaire ; les résultats majeurs d'Elkies, y compris le contre-exemple d'Euler, ont émergé d'une formation approfondie sous des superviseurs comme Gross et Mazur et d'une tradition de recherche construite par des générations de théoriciens des nombres avant lui, et ses réalisations en échecs et en musique, bien que réellement d'élite, restent proches de l'amateurisme par rapport aux professionnels à plein temps dans l'un ou l'autre domaine. Ce qui n'est pas contesté, c'est la rare densité d'excellence vérifiée indépendamment dans des domaines qui exigent généralement une spécialisation d'une vie chacun.

Héritage

Elkies reste un professeur actif à Harvard des décennies après que ses premiers records aient été établis, produisant toujours de nouveaux résultats dans la théorie des courbes elliptiques jusque dans les années 2020 et formant toujours la prochaine génération de théoriciens des nombres. Son contre-exemple d'Euler reste un élément incontournable des cours de théorie des nombres comme une leçon sur la façon dont la longue survie d'une conjecture n'est pas une garantie de sa vérité, et son algorithme Schoof–Elkies–Atkin continue d'effectuer un travail silencieux et peu glamour à l'intérieur des systèmes cryptographiques qui dépendent des courbes elliptiques — une intuition de mathématicien issue d'un séminaire d'études supérieures désormais intégrée dans une infrastructure dont la plupart de ses utilisateurs ne sauront jamais qu'elle existe.