Maryna Viazovska : La fonction magique qui a empilé huit dimensions

Quelques heures après que Maryna Viazovska ait publié un court article en ligne en mars 2016, le mathématicien Akshay Venkatesh a envoyé un courriel à un collègue avec un objet d'un seul mot : "Wow !". L'article résolvait, dans une démonstration tenant en quelques pages, un problème d'empilement de sphères dans un espace à huit dimensions qui résistait au domaine depuis des décennies — et il l'a fait, selon Peter Sarnak de Princeton, d'une manière si élégante que son article était "l'un de ces articles que vous prenez, et que vous ne reposez pas avant de l'avoir lu". Six ans plus tard, Viazovska est devenue la deuxième femme de l'histoire à remporter la médaille Fields.

Fille de chimiste dans le Kiev post-soviétique

Maryna Sergiivna Viazovska est née le 2 décembre 1984 à Kiev, l'aînée de trois sœurs, d'un père qui travaillait comme chimiste à l'usine aéronautique Antonov et d'une mère qui était ingénieure. Elle a grandi dans la tourmente économique de l'Ukraine post-soviétique et a fréquenté le Lycée des sciences naturelles n° 145 de Kiev, une école spécialisée pour les élèves doués en sciences, où un ancien chercheur en mathématiques devenu enseignant, Andrii Knyazyuk, a façonné son développement mathématique précoce. Elle a concouru sérieusement aux olympiades — se classant 13e au niveau national lors d'une compétition sélectionnant douze élèves pour la formation aux Olympiades internationales de mathématiques, ratant la sélection de peu — et en tant qu'étudiante de premier cycle à l'Université nationale Taras-Chevtchenko de Kiev, elle a remporté le Concours international de mathématiques pour étudiants universitaires en 2002 et 2005, co-signant son premier article de recherche cette même année.

De Kiev à Bonn

Sa formation formelle a traversé plusieurs pays : une maîtrise de l'Université de Kaiserslautern en Allemagne (2007), un doctorat de l'Institut de mathématiques de l'Académie nationale des sciences d'Ukraine (2010), et un doctorat (Dr. rer. nat.) de l'Université de Bonn en 2013, où elle a étudié sous la direction de Don Zagier et Werner Müller les fonctions modulaires et les cycles spéciaux en théorie analytique des nombres. Avant sa percée emblématique, elle s'était déjà forgé une réputation de chercheuse : un article de 2011 avec Andriy Bondarenko et Danylo Radchenko, prouvant une conjecture de Korevaar et Meyers sur les petits designs sphériques dans des dimensions arbitraires, a été publié dans les Annals of Mathematics — l'une des revues les plus sélectives du domaine — des années avant qu'elle ne devienne largement connue en dehors des cercles de la théorie des nombres.

Le problème de l'empilement de sphères

La question à laquelle Viazovska a cherché à répondre a une histoire ancienne et célèbre : comment des sphères identiques peuvent-elles être empilées dans l'espace pour remplir la plus grande fraction de volume possible ? En trois dimensions, il s'agit de la conjecture de Kepler, enfin prouvée seulement à la fin des années 1990 et 2000 par un argument exhaustif assisté par ordinateur. Dans certaines dimensions supérieures, le problème prend une structure inattendue en raison de réseaux spéciaux hautement symétriques — notamment le réseau E₈ en huit dimensions et le réseau de Leech en vingt-quatre. Les mathématiciens soupçonnaient depuis longtemps que ces réseaux permettaient les empilements de sphères les plus denses possibles dans leurs dimensions respectives, mais personne n'avait de moyen de le prouver.

La "fonction magique"

En 2016, travaillant largement seule après des postes postdoctoraux à la Berlin Mathematical School, à l'Université Humboldt, et une bourse Minerva à Princeton, Viazovska a construit ce qui est devenu connu comme une "fonction magique" pour la dimension 8 — construite non pas à partir des formes modulaires dont la plupart des théoriciens des nombres pensaient qu'une telle preuve nécessiterait, mais à partir d'une forme quasi-modulaire avec des symétries délibérément imparfaites. La fonction lui a permis de prouver, dans un argument remarquablement court et propre selon les normes du domaine, que le réseau E₈ donne effectivement l'empilement de sphères le plus dense possible en huit dimensions. En une semaine, travaillant avec Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller et Danylo Radchenko, elle a étendu la même technique pour résoudre le cas à 24 dimensions en utilisant le réseau de Leech — une explosion de travail collaboratif que Radchenko a plus tard qualifiée de "probablement la semaine la plus folle de ma vie". Les deux résultats, publiés à quelques jours d'intervalle, ont réglé l'empilement de sphères dans les deux seules dimensions au-delà de trois où une réponse exacte était alors connue.

Au-delà de l'empilement : Optimalité universelle

Viazovska et ses collaborateurs ont été plus loin dans les années suivantes, prouvant en 2019 que les réseaux E₈ et de Leech sont "universellement optimaux" — signifiant qu'ils minimisent l'énergie potentielle non seulement pour un modèle physique mais à travers toute une large classe de fonctions d'énergie, avec des implications allant de la répulsion électronique aux configurations de polymères. La mathématicienne Sylvia Serfaty a comparé le résultat à de "grandes percées du XIXe siècle", le qualifiant de "grande avancée de la science". Les travaux ont également fait progresser l'analyse de Fourier plus largement, grâce à l'approche de Viazovska pour reconstruire des fonctions à partir d'informations spectrales partielles — une technique avec des applications bien au-delà du problème d'empilement qui l'a inspirée.

La médaille Fields et reconnaissance

En juillet 2022, Viazovska a reçu la médaille Fields, devenant seulement la deuxième femme à la remporter après Maryam Mirzakhani, la deuxième mathématicienne née en RSS d'Ukraine après Vladimir Drinfeld, et la première lauréate de la médaille Fields à détenir un diplôme d'une université ukrainienne. L'honneur a suivi une série de prix majeurs : le prix Salem (2016), le prix de recherche Clay (2017), le prix SASTRA Ramanujan (2017), le prix européen de combinatoire (2017), le prix New Horizons (2018), le prix Ruth Lyttle Satter (2019), le prix Fermat (2019), le prix EMS (2020) et le prix national Latsis (2020). Elle a été nommée sur la liste des 100 femmes de la BBC plus tard en 2022. Depuis janvier 2018, elle occupe la chaire de théorie des nombres à l'EPFL à Lausanne, en Suisse, où elle vit avec son mari, le physicien Daniil Evtushinsky — qu'elle a rencontré dans un groupe de physique périscolaire alors qu'elle était adolescente — et leurs deux enfants.

Pourquoi Maryna Viazovska est qualifiée de génie

La qualité mathématique spécifique derrière l'étiquette de "génie" est la construction par Viazovska d'une preuve exacte sous forme fermée là où le domaine s'attendait — et en avait eu besoin auparavant, dans le cas de Kepler en trois dimensions — à un argument exhaustif assisté par ordinateur couvrant des centaines de pages. Trouver la forme quasi-modulaire précise qui a fait fonctionner la preuve en huit dimensions a nécessité une combinaison inhabituelle et difficile à enseigner d'une maîtrise technique approfondie des formes modulaires et d'un instinct presque esthétique pour savoir quelle fonction satisferait les conditions d'interpolation nécessaires ; cet instinct est exactement ce à quoi les mathématiciens qui ont évalué l'article, de Sarnak à Venkatesh, ont réagi avec un étonnement ouvert plutôt qu'avec une approbation professionnelle routinière. La limite honnête de ce cadrage est que le problème d'empilement de sphères en huit et vingt-quatre dimensions était traitable précisément parce que ces deux dimensions possèdent des structures de réseau exceptionnelles (E₈ et le réseau de Leech) qui ne sont pas disponibles dans les dimensions générales — l'exploit ne se généralise pas à des dimensions arbitraires, et le problème plus large de l'empilement de sphères dans le domaine reste ouvert presque partout ailleurs. L'extension en 24 dimensions, de plus, était explicitement une collaboration de groupe rapide avec Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller et Danylo Radchenko plutôt qu'un travail en solo, et même la célèbre preuve en 8 dimensions s'appuyait sur une approche existante de programmation linéaire pour les bornes d'empilement de sphères que d'autres chercheurs, dont Cohn, avaient déjà développée avant que Viazovska ne trouve la fonction spécifique nécessaire pour la compléter.

Héritage

Les méthodes de Viazovska sont déjà devenues un point de référence standard dans l'étude des problèmes d'empilement, de minimisation d'énergie et d'interpolation de Fourier, et sa médaille Fields — décernée au milieu des premiers mois de l'invasion totale de l'Ukraine par la Russie — revêtait une importance symbolique particulière pour la science ukrainienne, un pays dont les institutions mathématiques elle a continué à défendre publiquement depuis. À l'EPFL, elle continue de former la prochaine génération de théoriciens des nombres travaillant à la frontière de la géométrie des réseaux et de la théorie analytique des nombres que sa propre carrière a aidé à définir.