Mark Kac : Peut-on entendre la forme d'un tambour ?

En 1966, un probabiliste polono-américain a publié un article construit autour d'une question qu'un enfant pourrait poser : si vous entendez un tambour, pouvez-vous savoir quelle forme il a ? La réponse s'est avérée être non — des résonateurs différents peuvent partager des fréquences propres identiques. La question a fondé un domaine. Kac a remporté un prix Chauvenet pour cet article deux ans plus tard, son deuxième, et a laissé derrière lui l'une des très rares questions mathématiques devenues une phrase que les gens citent sans savoir de qui elle émanait.

Kremenets, et une frontière qui a bougé

Kac est né le 3 août 1914 à Kremenets — Krzemieniec en polonais — alors dans l'Empire russe, au sein d'une famille juive polonaise. La ville a changé de mains alors qu'il était enfant, passant de ce qui était devenu l'Ukraine soviétique à la Pologne lors de la paix de Riga. Il n'a pas bougé ; la frontière, elle, l'a fait. C'est une origine appropriée pour un mathématicien qui a consacré sa carrière au comportement de systèmes qui se déplacent sous vos pieds.

Lwów, Steinhaus, et la sortie

Il a obtenu son doctorat à l'université de Lwów en 1937 sous la direction de Hugo Steinhaus, et appartenait à l'École mathématique de Lwów — la plus importante concentration de talents mathématiques dans la Pologne de l'entre-deux-guerres, et que la décennie suivante allait anéantir.

En 1938, une bourse de la Fondation Parnas lui a permis de partir pour les États-Unis. Il est arrivé à New York en novembre 1938. Le moment était, au sens le plus littéral, la différence entre une vie et une statistique : il a traversé l'Atlantique dans la dernière fenêtre avant que celle-ci ne se referme.

Cornell, et la guerre

Il a rejoint l'université Cornell en 1939, passant d'instructeur à professeur adjoint en 1943 puis à professeur titulaire en 1947. Il a été naturalisé citoyen américain en 1943. De 1943 à 1945, il a travaillé avec George Uhlenbeck au Laboratoire de rayonnement du MIT, sur l'effort radar — l'un de ces postes de temps de guerre où les mathématiciens purs ont découvert que leurs abstractions avaient des implications physiques immédiates. La collaboration avec Uhlenbeck a survécu à la guerre ; les deux, avec P. C. Hemmer, ont plus tard élaboré les mathématiques du gaz de van der Waals.

Août 1942

Ses parents et son frère sont restés à Kremenets. Ils ont été assassinés par les nazis lors des exécutions de masse d'août 1942.

Le fait figure dans sa biographie sans commentaire, comme c'est généralement le cas pour de tels faits, et il ne devrait pas être lissé en un récit. Kac était en Amérique, enseignant à Cornell, au milieu d'une carrière académique ascendante, lorsque sa famille a été tuée dans la ville où la frontière avait bougé autour de lui quand il était enfant. Quelles qu'en soient les conséquences intérieures, le dossier extérieur montre un homme qui a travaillé, et travaillé de manière productive, pendant quarante années supplémentaires, et qui, plus tard dans sa vie, a coprésidé le Comité des scientifiques concernés, médiatisant les cas de scientifiques persécutés, dont Vladimir Samouilovitch Kislik et Yosif Begun. Il avait appris très tôt ce qu'il en coûte quand personne ne fait de bruit.

Physique statistique : l'anneau et le modèle d'Ising

Les années 1950 furent sa décennie de physique. En 1952, avec Theodore H. Berlin, il a introduit le modèle sphérique d'un ferromagnétique ; avec J. C. Ward, il a produit une solution exacte du modèle d'Ising — chose rare et précieuse, car les modèles exactement solubles sont les points fixes à partir desquels tout un domaine navigue.

En 1956 est arrivé l'anneau de Kac, et c'est peut-être sa construction la plus élégante. Le casse-tête auquel elle s'attaque est ancien et réellement troublant : comment l'irréversibilité macroscopique — le fait que les choses se dégradent et ne reviennent jamais spontanément en arrière — peut-elle émerger de lois microscopiques parfaitement symétriques dans le temps ? Le paradoxe de Loschmidt. Kac a construit un modèle jouet assez simple pour être analysé complètement et assez riche pour montrer le phénomène, produisant ainsi une explication plutôt qu'un argument. C'est la forme la plus élevée d'un certain type de physique mathématique : remplacer un débat philosophique par un exemple calculable.

Le tambour

Son article de 1966 se demandait si la forme géométrique d'un tambour est déterminée de manière unique par son son. La réponse s'est révélée négative en général — des formes distinctes peuvent produire le même spectre — bien que pour certaines formes, dont les tambours circulaires, la géométrie puisse en effet être déduite du spectre du laplacien. Il en est résulté la géométrie spectrale, l'étude systématique de ce que le spectre d'un opérateur vous dit sur l'espace dans lequel il vit.

La puissance de la question réside dans sa forme. Elle est énoncée en langage ordinaire, est immédiatement intelligible pour un non-mathématicien, et il s'avère qu'il faut une machinerie sérieuse pour y répondre. Très peu de chercheurs formulent un problème possédant ces trois propriétés.

Pourquoi Mark est appelé un génie

La faculté distinctive est la sélection des questions. Le travail technique de Kac — la solution d'Ising, le modèle sphérique, les mathématiques de van der Waals — est de premier ordre, mais beaucoup de travail technique de premier ordre disparaît dans la littérature. Ce qui le distingue, c'est qu'il a trouvé à plusieurs reprises la formulation qui rendait soudainement traitable un domaine obscur. L'anneau de Kac l'a fait pour le paradoxe de Loschmidt : un modèle réduit à l'essentiel qui exhibe néanmoins ce dont tout le monde débattait. La question du tambour l'a fait pour la géométrie spectrale : une phrase en anglais qui a ouvert une discipline mathématique. Il s'agit d'un talent spécifique et rare — non pas résoudre des problèmes difficiles, mais localiser le problème difficile qui mérite d'être résolu et l'énoncer si clairement que d'autres peuvent commencer à travailler.

Son don de vulgarisation est le même instinct dirigé vers l'extérieur, et il a été reconnu : deux prix Chauvenet, en 1950 pour un article de 1947 et en 1968 pour l'article sur le tambour, plus le prix Lester R. Ford en 1967. Les reconnaissances institutionnelles ont suivi — l'Académie américaine des arts et des sciences en 1959, l'Académie nationale des sciences en 1965, la Société américaine de philosophie en 1969, conférencier Solvay à Bruxelles en 1971, conférencier Fermi à la Scuola Normale de Pise en 1980.

La contre-thèse : personne dans le dossier n'applique réellement ce mot à lui, ses prix sont destinés à la vulgarisation plutôt qu'à la découverte, et la question du tambour est célèbre en partie parce qu'elle est charmante — la réponse a été fournie par d'autres. Une lecture hostile le qualifierait de superbe communicateur et de très bon mathématicien plutôt que de grand. La lecture juste est que le cadrage est lui-même une forme de découverte, et Kac l'a fait plus d'une fois.

Héritage

Kac a quitté Cornell en 1961 pour l'université Rockefeller, où il a passé environ deux décennies jusqu'en 1981, terminant à l'université de Californie du Sud. Il est décédé le 26 octobre 1984. Ses livres — Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory (1959), Probability and Related Topics in the Physical Sciences (1959), Mathematics and Logic avec Stanislaw Ulam (1968) — ont enseigné à une génération, et son autobiographie, Enigmas of Chance, est parue à titre posthume en 1985. Le titre a été bien choisi par un homme dont la famille est morte par l'accident d'une frontière et qui a survécu par l'accident d'une bourse.