Marc Lackenby : L'homme qui a dénoué le nœud trivial

« Aucune méthode systématique n'est connue à ce jour pour déterminer si deux nœuds sont identiques. » C'est ce qu'écrivait Alan Turing en 1954, pointant du doigt l'un des problèmes mathématiques concrets les plus obstinément non résolus : étant donné un enchevêtrement de corde dont les extrémités sont jointes, décider s'il est réellement noué. Max Dehn l'avait posé en 1910. Wolfgang Haken a produit le premier algorithme en 1961, mais il était désespérément lent sur tout ce qui était complexe. Le 2 février 2021, à l'UC Davis, Marc Lackenby a annoncé que la question pouvait être réglée en n élevé à la puissance c log n étapes — un temps quasi-polynomial, à un cheveu près de l'efficacité que les informaticiens considèrent comme la marque d'un problème réellement traitable. Les mathématiciens d'Oxford ont qualifié cela de tour de force gordien.

Cambridge et l'école de Lickorish

Lackenby est allé à Cambridge pour étudier les mathématiques en 1990 et y est resté pour son doctorat, achevé en 1997 sous la direction de W. B. R. Lickorish avec une thèse intitulée « Dehn Surgery and Unknotting Operations ». Lickorish est l'une des figures centrales de la théorie des nœuds du XXe siècle, et les sujets de la thèse — la chirurgie de Dehn et le dénouage — resteraient reconnaissables comme les sujets de Lackenby un quart de siècle plus tard. Peu de mathématiciens choisissent leur domaine si tôt et continuent ensuite à y faire de nouvelles découvertes.

Il a occupé une bourse de recherche Miller à l'UC Berkeley et une bourse de recherche de retour à Cambridge avant de s'installer à Oxford en 1999 en tant que professeur et membre du St Catherine's College. Une promotion au rang de professeur a suivi en 2006. Ses travaux portent sur la théorie des nœuds, la topologie de basse dimension et la théorie des groupes — trois sujets qui, en trois dimensions, s'avèrent être plus ou moins le même sujet vu sous des angles différents.

Combler les trous

La chirurgie de Dehn est l'opération au cœur de la topologie tridimensionnelle : découper un tube solide autour d'un nœud, puis le recoller différemment. Presque toute variété de dimension trois peut être produite de cette manière, donc comprendre l'opération signifie comprendre les objets.

La question importante est de savoir quand le résultat reste hyperbolique — la géométrie hyperbolique étant la structure qui rend une variété de dimension trois rigide et analysable, son absence marquant le début de l'inconnu. Le théorème 2π donne un critère géométrique garantissant que la chirurgie préserve l'hyperbolicité. Lackenby en a prouvé une version renforcée. C'est un type de résultat caractéristique pour lui : non pas la découverte d'un nouveau paysage mais l'affinement d'une ligne de démarcation existante, réalisée assez bien pour qu'une grande partie du territoire tombe du côté utile de celle-ci.

Nœuds alternés et volume

Un second fil relie l'image d'un nœud à sa géométrie. Dessinez un nœud sous forme de diagramme sur une page et vous obtenez de la combinatoire — croisements, arcs, régions. Considérez l'espace autour du nœud et vous obtenez de la géométrie, avec un volume hyperbolique qui lui est associé. Ce sont des types d'informations totalement différents, et les relier est l'un des projets profonds du domaine.

Lackenby a produit des bornes sur le volume hyperbolique des compléments de nœuds pour les nœuds alternés — la classe dans laquelle les croisements alternent au-dessus, en dessous, au-dessus, en dessous lorsque vous parcourez le nœud — reliant un invariant géométrique à quelque chose que vous pouvez littéralement compter sur un dessin. Ce genre de résultats est ce qui rend la géométrie des nœuds calculable plutôt que simplement contemplative.

Les mouvements de Reidemeister, comptés

Tout diagramme d'un nœud peut être transformé en n'importe quel autre diagramme du même nœud par une séquence de trois manipulations élémentaires, les mouvements de Reidemeister. Cela est connu depuis les années 1920, et c'est inutile en soi : rien ne vous indique combien de mouvements sont nécessaires, et la séquence peut devoir passer par des diagrammes beaucoup plus désordonnés que l'un ou l'autre des points finaux avant de se simplifier. C'est exactement pourquoi le dénouage est difficile — vous devez souvent rendre un enchevêtrement pire avant qu'il ne puisse s'améliorer.

Lackenby a montré qu'un diagramme du nœud trivial peut être dénoué en un nombre de mouvements de Reidemeister polynomial par rapport au nombre de croisements. Le pessimisme était mal placé. Il existe toujours un chemin raisonnablement court vers le cercle trivial, même si le trouver est une autre affaire.

Temps quasi-polynomial

Ce qui nous amène à 2021. Le problème de reconnaissance du nœud trivial avait accumulé de nombreux algorithmes après celui de Haken, s'appuyant sur la topologie et la géométrie, et presque tous étaient catastrophiquement lents une fois que les nœuds devenaient complexes. L'existence d'un algorithme à temps polynomial était devenue l'une des célèbres questions ouvertes à la frontière de la topologie et de l'informatique. William Thurston, en 2011, l'a dit clairement : « Beaucoup de gens ont réfléchi à cette question... mais c'était une question très difficile à résoudre. »

La borne n^(c log n) de Lackenby ne le règle pas tout à fait. Le quasi-polynomial est plus lent que le polynomial. Mais l'écart entre le quasi-polynomial et tout ce qui précédait est énorme, et l'écart entre le quasi-polynomial et le polynomial est, en termes pratiques et conceptuels, faible. Un problème que Turing avait classé parmi les indomptables est désormais, essentiellement, dompté.

Pourquoi Marc est qualifié de génie

La qualité démontrée n'est ni la vitesse ni l'ampleur. C'est une sorte de profondeur patiente : rester avec le même groupe de questions — chirurgie de Dehn, dénouage, géométrie des compléments de nœuds — pendant vingt-cinq ans, accumulant de la technique jusqu'à ce que des problèmes ayant résisté à des générations deviennent accessibles. Le résultat sur le nœud trivial en est la preuve la plus claire, car il n'est pas tombé grâce à une astuce intelligente. Il est tombé devant quelqu'un qui avait passé une carrière à construire la machinerie spécifique requise et pouvait voir, là où d'autres ne le pouvaient pas, quelle combinaison d'outils topologiques et géométriques composerait.

La reconnaissance de ses pairs a été constante plutôt que sensationnelle : le prix Whitehead de la London Mathematical Society en 2003, un prix Philip Leverhulme en mathématiques et statistiques en 2006, une invitation à parler au Congrès international des mathématiciens en 2010 — le signal le plus fiable de la discipline qu'un corpus de travaux compte. L'annonce de 2021 a suscité le langage le plus fort, Oxford qualifiant cela de « tour de force ».

Le contre-argument doit être exposé. Aucune source ne rapporte que quelqu'un a qualifié Lackenby de génie, et la culture mathématique à laquelle il appartient est notoirement avare de ce mot. Ses travaux s'appuient directement sur Haken, Thurston, Lickorish et toute la tradition des surfaces normales ; l'algorithme quasi-polynomial est une amélioration spectaculaire dans un cadre établi, pas un nouveau cadre. Il n'est pas non plus polynomial, ce qui signifie que la question principale est toujours techniquement ouverte. Et la topologie de basse dimension, malgré toute sa beauté, est un domaine spécialisé — ses résultats sont célèbres parmi les topologues et largement inconnus ailleurs. Ce qui est indiscutable, c'est qu'il a percé quelque chose qui résistait depuis un siècle, et il l'a fait en connaissant son propre sujet plus minutieusement que quiconque.

Héritage

Ce que Lackenby a fait, à travers les quatre fils de ses travaux, c'est rendre la théorie des nœuds effective. Borner des volumes en comptant des croisements, borner le dénouage en comptant des mouvements, borner la reconnaissance en comptant des étapes — dans chaque cas, un objet qui pouvait être contemplé est devenu un objet qui peut être calculé. Ce changement est ce qui transforme une belle théorie en une théorie utilisable, et c'est la raison pour laquelle le résultat de 2021 a voyagé bien au-delà de la topologie vers l'informatique théorique. Dehn a posé la question en 1910. Il a fallu 111 ans et un professeur à Oxford qui a refusé de travailler sur autre chose.