Karen Uhlenbeck : l'analyste qui a reconstruit la géométrie

Un film de savon étiré sur un cadre en fil de fer se stabilise en la plus petite surface qu'il puisse trouver. Karen Uhlenbeck a bâti sa carrière sur ce qui se passe quand il ne le peut pas — quand le processus de minimisation de l'énergie échoue en des points isolés et se concentre en ce que les mathématiciens appellent désormais une bulle. L'article qu'elle a écrit avec Jonathan Sacks décrivant cet échec a coupé la discipline en deux. « Il y a eu un avant l'article de Sacks-Uhlenbeck, et un après », a déclaré le géomètre François Labourie. En 2019, elle est devenue la première femme à recevoir le prix Abel.

Cleveland, et une carte de bibliothèque

Karen Keskulla Uhlenbeck est née le 24 août 1942 à Cleveland, dans l'Ohio, l'aînée des quatre enfants d'Arnold Keskulla, ingénieur, et de Carolyn Windeler Keskulla, artiste. Elle a grandi à la campagne et lisait de façon compulsive. « Enfant, je lisais beaucoup, et je lisais tout », se souvient-elle. « J'allais à la bibliothèque, puis je restais éveillée toute la nuit à lire. » Vers l'âge de douze ans, son père lui a donné les livres de Fred Hoyle sur l'astrophysique ; Un, deux, trois... l'infini (One, Two, Three... Infinity) de George Gamow l'a passionnée car il expliquait qu'il existe différentes tailles d'infini.

Elle est allée à l'université du Michigan avec l'intention d'étudier la physique et a obtenu une licence en mathématiques en 1964. Elle a ensuite obtenu une maîtrise à Brandeis en 1966, puis un doctorat en 1968 sous la direction de Richard Palais.

Une porte qui ne voulait pas s'ouvrir

Puis sa carrière a stagné, pour des raisons qui n'avaient rien à voir avec les mathématiques. Après une année postdoctorale au MIT et deux années d'enseignement à Berkeley, Uhlenbeck n'a pas pu obtenir de poste permanent. Elle a été directe sur la raison. « On m'a dit... que les gens n'embauchaient pas de femmes, que les femmes étaient censées rentrer à la maison et avoir des bébés. » Les universités qui voulaient son mari — le MIT, Stanford, Princeton — ont refusé de l'embaucher, invoquant des règles anti-népotisme pour donner un aspect procédural à ce refus.

Elle a obtenu un poste à l'université de l'Illinois à Urbana-Champaign en 1971, et son mari a suivi sa carrière au lieu de l'inverse. De là, elle a déménagé à l'université de l'Illinois à Chicago et a été promue professeure titulaire. Une bourse MacArthur en 1983 l'a amenée à l'université de Chicago, et depuis 1988, elle occupe la chaire Sid W. Richardson Foundation Regents à l'université du Texas à Austin.

Le bouillonnement (Bubbling)

Les travaux de Sacks-Uhlenbeck concernaient les applications harmoniques : ce qui arrive aux fonctionnelles d'énergie pour les applications allant de surfaces vers des espaces courbes. Le duo a montré que les séquences minimisant l'énergie convergent vers des applications harmoniques presque partout, mais qu'en des points isolés, l'analyse échoue et une quantité d'énergie équivalente à une sphère se détache — c'est le phénomène de « bouillonnement » (bubbling). L'idée n'était pas que la méthode échouait, mais que cette rupture avait une structure précise et classifiable. Les singularités ont cessé d'être une obstruction pour devenir un objet d'étude. Le bouillonnement est désormais un outil standard dans toute l'analyse géométrique.

Théorie de jauge et la révolution de Donaldson

Au début des années 1980, Uhlenbeck a appliqué les mêmes instincts analytiques aux équations de Yang-Mills, les mathématiques sous-jacentes à la physique des champs de jauge. Elle a introduit de nouveaux systèmes de coordonnées adaptés au problème, a prouvé un théorème de compacité pour les connexions à courbure bornée et a établi ses résultats sur les singularités supprimables — montrant, en effet, qu'en quatre dimensions, les points problématiques peuvent être comblés.

C'était la machinerie qu'un domaine entier attendait. Ses outils ont permis d'utiliser les instantons géométriquement, ce que Simon Donaldson a fait dans les travaux qui lui ont valu une médaille Fields. L'évaluation de Donaldson lui-même est que les résultats d'Uhlenbeck « sous-tendent la plupart des travaux ultérieurs dans ce domaine ».

Systèmes intégrables, et un domaine à elle

Avec Nigel Hitchin et Chuu-Lian Terng, Uhlenbeck a montré que les applications harmoniques allant de surfaces vers des espaces homogènes se présentent en familles à un paramètre, les reliant à des systèmes intégrables de dimension infinie — un pont entre la géométrie et la machinerie algébrique de la théorie des solitons.

Dans l'ensemble, ces travaux équivalent à la fondation de l'analyse géométrique moderne : la fusion délibérée des équations aux dérivées partielles complexes avec la topologie et la géométrie. La description qu'Uhlenbeck fait de ce processus est singulièrement peu glamour — comme « sauter depuis un pont alors qu'on ne savait pas ce qui allait se passer ».

Faire de la place

Elle n'a pas traité son propre parcours dans la profession comme une affaire privée. Uhlenbeck a cofondé le programme Women and Mathematics à l'Institute for Advanced Study de Princeton et a aidé à établir le Park City Mathematics Institute ; son mentorat auprès des femmes mathématiciennes est régulièrement qualifié de légendaire. Elle a refusé d'accepter l'autosatisfaction de la discipline concernant les progrès réalisés. En recevant le prix Steele de l'AMS en 2007, elle a déclaré : « Je reste assez déçue par le nombre de femmes faisant des mathématiques et occupant des postes de direction. À mon avis, cela est principalement dû à la culture de la communauté mathématique ainsi qu'aux pressions sociétales sévères venant de l'extérieur. »

Les honneurs se sont accumulés : la bourse MacArthur en 1983, l'American Academy of Arts and Sciences en 1985, les AMS Colloquium Lectures la même année, la National Academy of Sciences en 1986, la conférence Noether en 1988, une conférence plénière au Congrès international des mathématiciens en 1990 — seulement la deuxième femme à en donner une — la National Medal of Science en 2000 « pour ses nombreuses contributions pionnières à la géométrie globale », le prix Steele en 2007, le prix Abel en 2019, une bourse AWM en 2020 et une bourse de la Royal Society en 2023.

Pourquoi Karen est qualifiée de génie

La faculté en question est un type particulier d'audace : l'instinct d'Uhlenbeck est d'aller directement là où une méthode s'effondre. La plupart des mathématiciens contournent les singularités. Elle a traité l'endroit où l'analyse échoue comme l'endroit où la géométrie vit réellement, puis elle a construit l'appareil technique pour le décrire. C'est pourquoi ses résultats fonctionnent comme une infrastructure — le bouillonnement, la compacité, les singularités supprimables ne sont pas tant des théorèmes que les gens citent que des outils qu'ils utilisent sans s'en rendre compte.

Les personnes qui le disent ne sont pas des publicistes. La citation du prix Abel la crédite de « réalisations pionnières dans les équations aux dérivées partielles géométriques, la théorie de jauge et les systèmes intégrables » et d'un « impact fondamental » sur l'analyse, la géométrie et la physique mathématique, et l'Académie norvégienne a décrit son travail comme ayant produit certaines des avancées les plus spectaculaires en mathématiques des quarante dernières années. Donaldson dit que ses résultats sous-tendent le domaine. Sun-Yung Alice Chang note que « son influence traverse les différentes branches des mathématiques ». Labourie trace une ligne à travers l'histoire au niveau de l'un de ses articles.

Le contre-argument honnête a deux volets. Premièrement, ses réalisations emblématiques sont habilitantes : l'analyse qu'elle a fournie a rendu possibles les théorèmes phares d'autres personnes, et la médaille Fields pour la géométrie des instantons a été décernée à Donaldson. Déterminer si cela fait d'elle la figure la plus importante ou la moins importante est un vrai débat, pas une affaire réglée. Deuxièmement, la reconnaissance est arrivée tardivement et est désormais inséparable du fait qu'elle soit la première — un cadrage qui risque de transformer une analyste redoutable en un symbole et d'ignorer discrètement les mathématiques. Uhlenbeck elle-même a pris soin de ne jamais prétendre à la clairvoyance. Son propre récit du travail est qu'elle a sauté d'un pont sans savoir ce qu'il y avait en dessous.

Héritage

L'analyse géométrique existe en tant que sujet cohérent en grande partie parce qu'Uhlenbeck a insisté sur le fait que les techniques analytiques les plus difficiles disponibles devaient être intégrées à la géométrie. Les bulles qu'elle et Sacks ont trouvées à la fin des années 1970 sont désormais une partie standard de la façon dont les mathématiciens pensent aux limites et à l'échec, et les femmes qui sont entrées dans le domaine grâce à son programme de Princeton constituent un deuxième corps de travail moins facile à citer.