Francis Bonahon : Cartographier la forme de trois dimensions

L'intuition géométrique de la plupart des gens s'arrête aux plans plats et aux solides familiers. Francis Bonahon a passé sa carrière dans un territoire plus étrange — l'espace des formes tridimensionnelles qui peuvent être étirées, sans déchirure, en une courbure hyperbolique uniforme, la géométrie qu'Einstein a qualifiée un jour de « la géométrie de la pseudosphère » et que les topologues savent aujourd'hui être à la base de la plupart des variétés tridimensionnelles. Travaillant à la croisée de la théorie des nœuds, de la géométrie hyperbolique et des espaces de déformation des surfaces, Bonahon a passé quatre décennies à contribuer à transformer ce territoire autrefois exotique en l'un des terrains les mieux compris de la topologie moderne.

De Tarbes à l'École Normale Supérieure

Bonahon est né le 9 septembre 1955 à Tarbes, une ville située dans les contreforts des Pyrénées françaises, et a obtenu son baccalauréat en 1972 avant d'intégrer deux ans plus tard l'École Normale Supérieure à Paris — le vivier d'élite de la France pour ses chercheurs en mathématiques. Il a obtenu une maîtrise en mathématiques à l'Université de Paris VII en 1975, puis a rejoint l'Université de Paris XI à Orsay pour y préparer son doctorat sous la direction de Laurence Siebenmann, l'un des principaux topologues de l'époque. Sa thèse de doctorat de 1979, « Involutions et fibrés de Seifert dans les variétés de dimension 3 », et sa thèse d'habilitation de 1985, « Structures géométriques sur les 3-variétés et applications », marquent les deux extrémités de la période — à peu près la décennie qui a suivi la révolution du programme de géométrisation de William Thurston, lequel a transformé le domaine — au cours de laquelle la topologie des 3-variétés et la géométrie hyperbolique sont devenues indissociables.

Du CNRS à l'USC

Après une année post-doctorale en tant que boursier Procter à Princeton en 1979-1980, Bonahon a passé la première moitié des années 1980 au sein du système de recherche national français, le CNRS, gravissant les échelons d'attaché de recherche en 1980 à chargé de recherche en 1983, un travail récompensé par une médaille de bronze du CNRS en 1985 — une distinction honorifique de début de carrière décernée aux chercheurs jugés avoir apporté une première contribution notable. En 1986, il s'est installé à l'Université de Californie du Sud, passant de professeur assistant à professeur associé en 1988, puis à professeur titulaire en 1989, un poste — désormais professeur émérite — qu'il a occupé pour le reste de sa carrière, ponctué de longs séjours de professeur invité à UC Davis, à l'Institut des Hautes Études Scientifiques (IHES) près de Paris, à Caltech et au Mathematical Sciences Research Institute à Berkeley. La reconnaissance américaine a succédé à la française : une bourse de recherche Sloan (1987-1989), un prix Presidential Young Investigator (1989-1994) et le prix Raubenheimer Outstanding Senior Faculty de l'USC en 1994.

Nœuds, surfaces et 3-variétés hyperboliques

Les recherches de Bonahon se situent à l'interface de la topologie de basse dimension, de la géométrie hyperbolique, de l'analyse complexe et des systèmes dynamiques, et elles ont évolué au même rythme que les grands courants de la discipline. Ses premiers travaux ont porté sur la théorie des nœuds ainsi que sur les involutions et les fibrations de Seifert des 3-variétés — la classification de la manière dont les espaces tridimensionnels peuvent être construits à partir de morceaux fibrés plus simples. Lorsque le domaine a assimilé l'idée de Thurston selon laquelle la plupart des 3-variétés admettent une structure géométrique hyperbolique naturelle, Bonahon s'est tourné vers la théorie de la déformation des structures hyperboliques sur les surfaces et les 3-variétés, étudiant comment la forme d'une surface hyperbolique peut être variée continûment — l'objet de la théorie de Teichmüller — et comment ces déformations interagissent avec la géométrie des 3-variétés qui contiennent ces surfaces. Il s'agit d'un travail technique et hautement géométrique dont la contrepartie est conceptuelle : une description opérationnelle de l'espace tout entier des structures hyperboliques qu'un objet topologique donné peut supporter, et de la manière dont cet espace est organisé. Plus récemment, ses travaux se sont étendus à la topologie quantique, reliant la géométrie hyperbolique classique aux structures algébriques issues des invariants quantiques des nœuds et des 3-variétés — une frontière de recherche active reliant la topologie à la physique mathématique.

Reconnaissance par ses pairs

Bonahon a été conférencier invité au Congrès international des mathématiciens à Kyoto en 1990, l'un des signes les plus nets au sein de la discipline, à chaque cycle, qu'un ensemble de travaux est considéré comme orientant la direction du sujet, et il a été nommé membre (Fellow) de l'American Mathematical Society lors de la promotion inaugurale de la société en 2012, un honneur réservé aux mathématiciens jugés avoir apporté des contributions exceptionnelles au domaine. Il est également l'auteur de Low-Dimensional Geometry: From Euclidean Surfaces to Hyperbolic Knots (2009), un ouvrage conçu pour rendre l'image géométrique moderne des surfaces et des nœuds accessible à un plus vaste lectorat de mathématiciens — un effort de traduction délibéré, dans un domaine qui n'y est guère coutumier.

Pourquoi Francis est qualifié de génie

La qualité cognitive spécifique qui se manifeste dans la carrière de Bonahon est la visualisation géométrique poussée dans un domaine où l'intuition spatiale ordinaire induit activement en erreur : l'espace hyperbolique tridimensionnel ne peut pas être construit comme un sous-ensemble de l'espace euclidien ordinaire de la même manière qu'une sphère ou un tore, de sorte que travailler de manière productive en son sein exige de maintenir à l'esprit une image cohérente et non euclidienne et d'en raisonner correctement, une aptitude qui sépare les chercheurs solides de ceux qui sont d'un niveau exceptionnel dans ce domaine. Le fait que sa carrière suive précisément l'épine dorsale de la révolution de la géométrisation de Thurston — de la classification initiale des 3-variétés à la topologie quantique d'aujourd'hui, en passant par la théorie de la déformation hyperbolique — témoigne d'une maîtrise soutenue d'un sujet véritablement difficile sur quatre décennies, confirmée de l'extérieur par une invitation au ICM et par une nomination comme membre inaugural de l'AMS. Le contre-argument honnête est que les contributions de Bonahon, aussi profondes soient-elles, ont consisté en des extensions et des consolidations régulières du cadre que Thurston et un petit groupe de contemporains ont établi, plutôt qu'en une percée unique et comparable définissant à elle seule le domaine ; les archives disponibles ne mentionnent ni médaille Fields ni prix singulier équivalent, et sa contribution publique la plus visible — le manuel de 2009 — relève elle-même d'un travail d'exposition plutôt que de découverte. C'est le génie d'un maître artisan œuvrant à la frontière d'une révolution établie, et non le génie d'en avoir initié une.

Héritage

Les quatre décennies de travail de Bonahon à l'USC ont contribué à faire de la Californie du Sud un centre névralgique pour la topologie de basse dimension et la théorie géométrique des groupes, et son manuel continue d'initier de nouvelles générations d'étudiants à un monde géométrique — les 3-variétés hyperboliques — qui, grâce en partie à ses propres recherches, est désormais suffisamment bien compris pour être enseigné plutôt que simplement découvert. Le titre de professeur émérite qu'il détient désormais marque la clôture d'un parcours de recherche exceptionnellement long et cohérent, qui a commencé dans l'ombre de Thurston et s'est achevé, des décennies plus tard, en contribuant toujours à la même conversation.