Elon Lindenstrauss : le premier lauréat israélien de la médaille Fields

Lorsque l'Union mathématique internationale a décerné sa médaille Fields 2010 à Hyderabad, en Inde, elle a été attribuée pour la première fois à un mathématicien israélien, pour des travaux ayant exploité un outil issu de la physique statistique, la théorie ergodique, afin de résoudre des questions sur la manière dont les nombres irrationnels peuvent être approchés par des fractions et dont les particules quantiques se dispersent de manière chaotique dans un espace courbée. La carrière d'Elon Lindenstrauss illustre parfaitement comment une technique issue d'une branche des mathématiques, poussée à son paroxysme, peut résoudre de manière inattendue des problèmes relevant d'un domaine totalement différent.

Une famille mathématique

Lindenstrauss est né le 1er août 1970 à Jérusalem, au sein d'une famille déjà profondément ancrée dans les mathématiques israéliennes. Son père, Joram Lindenstrauss, était un analyste fonctionnel éminent dont le nom est définitivement associé au lemme de Johnson-Lindenstrauss, un résultat fondamental en réduction de dimension largement utilisé en informatique et en apprentissage automatique ; sa mère, Naomi Lindenstrauss, était informaticienne ; tous deux occupaient des postes de professeur à l'Université hébraïque. Sa sœur, Ayelet Lindenstrauss, est également devenue mathématicienne. Ayant grandi dans cet environnement, Elon a représenté Israël aux Olympiades internationales de mathématiques de 1988, remportant une médaille de bronze, avant de servir dans le programme d'élite Talpiot de l'armée israélienne destiné aux recrues scientifiquement douées tout en poursuivant ses études de premier cycle.

Éducation à l'Université hébraïque

Lindenstrauss a obtenu sa licence en mathématiques et physique à l'Université hébraïque de Jérusalem en 1991, une maîtrise en 1995 et un doctorat en 1999 sous la direction de Benjamin Weiss, avec une thèse sur les propriétés d'entropie des systèmes dynamiques — le fondement ergodique de tout ce qui a suivi dans sa carrière. Après son doctorat, il a occupé des postes postdoctoraux à l'Institute for Advanced Study de Princeton et en tant que professeur assistant Szegő à Stanford, avant de passer par le Courant Institute de l'Université de New York, puis de devenir professeur titulaire à l'Université de Princeton en 2004. Il est rentré en Israël en 2008-2009 en tant que professeur à l'Institut de mathématiques Einstein de l'Université hébraïque, poste qu'il occupe depuis, et a rejoint en 2024 l'Institute for Advanced Study à Princeton en tant que membre permanent du corps professoral.

Rigidité des mesures et la conjecture de Littlewood

La principale contribution mathématique de Lindenstrauss réside dans la rigidité des mesures au sein de la théorie ergodique, l'étude de la manière dont les systèmes dynamiques, lorsqu'ils évoluent indéfiniment vers l'avant, se distribuent dans l'espace sur lequel ils agissent. Ses travaux ont établi de solides résultats de classification pour les mesures invariantes sous certaines actions de groupes sur des espaces homogènes, montrant que, sous de bonnes conditions, ces mesures sont beaucoup plus contraintes et classifiables qu'on ne l'avait démontré auparavant. Appliquée à la théorie des nombres, cette machinerie a permis des progrès partiels significatifs sur la conjecture de Littlewood, un problème ouvert de longue date en approximation diophantienne concernant la précision avec laquelle deux nombres irrationnels peuvent être approchés simultanément par des fractions rationnelles dotées d'un dénominateur commun. Dans un article publié en 2006 avec Manfred Einsiedler et Anatole Katok, Lindenstrauss a contribué à établir que l'ensemble des paires de nombres pour lesquelles la conjecture pourrait échouer a une dimension de Hausdorff nulle — selon la description du mathématicien Terence Tao, c'est la preuve que la conjecture s'applique à « la plupart » des paires de nombres, bien que la conjecture complète demeure ouverte. C'était une démonstration frappante, comme l'a souligné Tao, de la manière dont la traduction d'une question classique de théorie des nombres en un problème d'orbites et de mesures invariantes sur des espaces homogènes pouvait percer à jour un problème qui avait résisté à une attaque directe pendant des décennies.

Chaos quantique et la conjecture QUE arithmétique

Le résultat individuel le plus célèbre de Lindenstrauss, et le travail le plus directement cité dans l'attribution de sa médaille Fields, a été sa démonstration de la conjecture de l'ergodicité unique quantique arithmétique (QUE) — initialement proposée par Peter Sarnak — dans le cas arithmétique. Cette conjecture concerne le chaos quantique : à mesure que l'énergie d'une particule quantique augmente sur certains espaces courbés (surfaces hyperboliques arithmétiques), sa distribution de probabilité s'étale-t-elle uniformément, épousant le comportement chaotique attendu en physique classique ? Lindenstrauss a prouvé que tel était bien le cas pour l'ergodicité unique quantique arithmétique, en utilisant des techniques de classification des mesures issues de la théorie ergodique pour résoudre un problème reliant la théorie des nombres, les systèmes dynamiques et la physique mathématique d'une manière que peu de résultats individuels parviennent à faire. Le comité de la Médaille Fields l'a cité spécifiquement « pour ses résultats sur la rigidité des mesures en théorie ergodique et leurs applications à la théorie des nombres ».

Reconnaissance

Au-delà de la médaille Fields de 2010 — la première jamais décernée à un mathématicien israélien — Lindenstrauss a reçu le prix Salem en 2003 conjointement avec Kannan Soundararajan, le prix de la Société mathématique européenne en 2004, ainsi que le prix Fermat et le prix Erdős en 2009, l'année précédant sa médaille Fields, de même que le prix de la Défense d'Israël. Il a siégé au comité de rédaction du Duke Mathematical Journal et du Journal d'Analyse Mathématique, ce qui témoigne de son statut au sein de la communauté mathématique de l'analyse et des systèmes dynamiques.

Pourquoi Elon Lindenstrauss est qualifié de génie

La réalisation cognitive spécifique qui sous-tend l'étiquette de « génie » réside dans la capacité démontrée de Lindenstrauss à naviguer avec aisance entre des domaines que la plupart des mathématiciens considèrent comme largement distincts — la théorie ergodique, la théorie des nombres et la physique mathématique — et à reconnaître quand un phénomène de rigidité prouvé dans un domaine (la classification des mesures pour des actions de groupes sur des espaces homogènes) pouvait être réutilisé pour résoudre une question ouverte concrète et ancienne dans un autre (la conjecture de Littlewood, la QUE arithmétique). Ce type de transfert interdisciplinaire, plutôt qu'une simple profondeur au sein d'une unique spécialité étroite, est exactement ce que le comité de la médaille Fields a mis en avant, et d'autres mathématiciens l'ont répété : Terence Tao, en écrivant sur la médaille, a décrit les travaux sur la conjecture de Littlewood comme la démonstration de la manière dont les méthodes de la dynamique homogène pouvaient transformer une question classique de théorie analytique des nombres en un problème traitable portant sur les orbites et les mesures invariantes. La limite honnête de ce cadre, comme pour la plupart des travaux récompensés par la médaille Fields, est que Lindenstrauss n'a pas travaillé de manière isolée : sa démonstration de la QUE arithmétique s'est appuyée directement sur la conjecture initiale de Sarnak et sur des techniques de rigidité des mesures développées en collaboration avec des collègues tels que Manfred Einsiedler, Anatole Katok et d'autres chercheurs actifs dans le même programme de recherche au cours des années 1990 et 2000, et ses progrès sur la conjecture de Littlewood constituaient eux-mêmes une résolution partielle plutôt que complète de ce problème, qui reste formellement ouvert. La médaille Fields, décernée uniquement à des mathématiciens de moins de quarante ans, consacre par ailleurs intrinsèquement un ensemble de travaux concentré sur une période relativement restreinte du début de carrière plutôt que sur l'ensemble d'une vie — une réalisation authentique et rare, mais dont le poids historique ultime, à l'instar de celui de la plupart des jeunes lauréats, est encore évalué par la communauté des décennies plus tard.

Héritage

Les techniques de rigidité des mesures de Lindenstrauss sont devenues un élément standard de la boîte à outils reliant la théorie ergodique à la théorie des nombres, citées et prolongées par des chercheurs travaillant en approximation diophantienne, en dynamique homogène et en chaos quantique au cours des années suivant son obtention de la médaille. En tant que premier lauréat israélien de la médaille Fields, il occupe également une place symbolique dans l'histoire mathématique du pays, et son retour à un poste de premier plan à l'Université hébraïque — la même institution où ses parents ont autrefois enseigné — a bouclé la boucle entre une génération de réalisations mathématiques israéliennes et la suivante.