Le problème de Monty Hall : L'énigme des trois portes qui a suscité 10 000 lettres

Les règles qui rendent le changement gagnant

L'énigme est courte. Une voiture se trouve derrière l'une des trois portes et des chèvres derrière les deux autres. Vous choisissez une porte. L'animateur, qui sait où se trouve la voiture, ouvre l'une des portes que vous n'avez pas choisies et montre une chèvre. Il vous offre ensuite la possibilité de passer à la dernière porte fermée. Devriez-vous le faire ?

La réponse dépend de trois règles, et la version standard les fixe toutes :

• La voiture a été placée au hasard, donc chaque porte commence avec une chance de 1 sur 3.
• L'animateur ouvre toujours une porte que vous n'avez pas choisie, et elle cache toujours une chèvre.
• L'animateur propose toujours l'échange, quel que soit votre choix.

Selon ces règles, changer double vos chances, d'un tiers à deux tiers. Changez n'importe quelle règle et la réponse peut changer avec elle, c'est pourquoi le problème continue de remplir les revues plus de 30 ans après avoir atteint le grand public.

La chronique qui a suscité 10 000 lettres

La question est arrivée Marilyn vos Savant d'un lecteur, Craig F. Whitaker, et a été publiée dans sa chronique « Ask Marilyn » dans Parade le 9 septembre 1990. Elle a répondu que le candidat devrait changer. Les lecteurs se sont révoltés.

Selon son estimation, le magazine a reçu environ 10 000 lettres, et près de 1 000 d'entre elles portaient des signatures de doctorants, selon le rapport en première page de John Tierney dans The New York Times le 21 juillet 1991. La plupart insistaient sur le fait qu'elle avait tort. « Vous avez totalement tort », a écrit E. Ray Bobo, professeur de mathématiques à l'Université de Georgetown. Le chiffre de près de 1 000 doctorants est le sien, pas un décompte audité, et il doit être cité ainsi.

Tierney a soumis le problème à Monty Hall, l'animateur de Let's Make a Deal. À sa table de salle à manger, Hall a joué dix manches au cours desquelles le candidat n'a jamais changé : quatre voitures, six chèvres. Puis dix manches avec changement : huit voitures, deux chèvres. « Donc sa réponse est juste : vous devriez changer », a déclaré Hall.

L'énigme n'était pas nouvelle. Steve Selvin, un statisticien, l'a posée dans une lettre de 1975 à The American Statistician et lui a donné le nom de Hall. Martin Gardner avait publié une énigme équivalente, le problème des trois prisonniers, dans Scientific American en 1959. Paul Erdős, l'un des mathématiciens les plus prolifiques du XXe siècle, serait resté sceptique jusqu'à ce qu'un collègue lui montre une simulation informatique.

Les mathématiques, cas par cas

Supposons que vous choisissiez la porte 1. Il est également probable que la voiture soit derrière l'une des trois portes. Dressez la liste des cas et la réponse devient évidente.

Le mot-clé est "forcé". Dans deux des trois cas, l'animateur n'a pas le choix : l'une de ses portes cache la voiture, il doit donc ouvrir l'autre. Son action vous indique où se trouve la voiture deux fois sur trois. Rester ignore cette information. Changer l'utilise.

La règle de Bayes donne le même résultat. Supposons que l'animateur ouvre la porte 3. Si la voiture est derrière la porte 1, il ouvre la porte 3 la moitié du temps. Si elle est derrière la porte 2, il ouvre la porte 3 à chaque fois. Les pondérations sont 1/3 x 1/2 contre 1/3 x 1, soit 1 pour 2. La porte 2 détient désormais deux tiers de la probabilité.

Nous avons joué un million de fois

Les arguments convainquent peu de gens. Compter convainc davantage. Nous avons écrit une courte simulation Python qui place la voiture au hasard, choisit une porte au hasard et fait suivre à l'animateur les règles standard. Graine aléatoire fixe, 1 000 000 de parties par stratégie.

La dernière ligne compte le plus. Lorsque l'animateur ne sait pas où se trouve la voiture et ne révèle une chèvre que par hasard, l'avantage disparaît. L'avantage des deux tiers provient de ses connaissances, pas des portes.

Pourquoi les gens intelligents se trompent

L'erreur habituelle est de voir deux portes fermées et d'attribuer à chacune une chance de 50 pour cent. Ce raisonnement traite le choix de l'animateur comme aléatoire. Ce n'est pas le cas. Il lui est interdit d'ouvrir votre porte et interdit de montrer la voiture, donc son mouvement véhicule des informations sur les autres portes et aucune sur la vôtre.

Le statisticien Persi Diaconis a déclaré au Times en 1991 : "Nos cerveaux ne sont tout simplement pas câblés pour bien résoudre les problèmes de probabilité, donc je ne suis pas surpris qu'il y ait eu des erreurs."

Le remède le plus simple est de changer d'échelle. Imaginez 100 portes. Vous en choisissez une. L'animateur, qui sait tout, en ouvre 98 autres et montre 98 chèvres, en sautant juste une porte. Peu de gens resteraient sur leur premier choix à 1 sur 100. Le jeu à trois portes suit la même logique avec des nombres plus petits.

Les puzzles de probabilité de ce type sont proches des questions de raisonnement dans les tests d'intelligence, ce qui explique pourquoi ils apparaissent dans des collections de questions et réponses de tests de QI. Ils récompensent le comptage lent et explicite plutôt qu'une intuition rapide, la même habitude qui résout l'énigme d'Einstein.

Les règles de l'animateur décident de tout

Monty Hall lui-même a soulevé l'objection la plus vive. Dans la vraie émission, a-t-il dit à Tierney, il n'était pas obligé d'offrir un changement, et il pouvait tenter les candidats avec de l'argent pour qu'ils gardent leur porte. Un animateur qui propose l'échange seulement quand vous avez déjà la voiture transforme le changement en une perte garantie. "Mon seul conseil est, si vous pouvez m'amener à vous offrir 5 000 $ pour ne pas ouvrir la porte, prenez l'argent et rentrez chez vous", a-t-il dit.

Les statisticiens se disputent sur la formulation depuis lors. Un article de 1991 par J. P. Morgan et ses collègues dans The American Statistician a montré que si l'animateur a une préférence entre deux portes de chèvre, les probabilités après l'ouverture d'une porte particulière peuvent aller de un demi à la certitude. La réponse de Vos Savant est valable pour les règles standard, ce qui est la façon dont presque tous les manuels posent désormais le problème. Traitez le puzzle comme une leçon de modélisation : avant de calculer une probabilité, écrivez exactement comment l'information a été produite. Cette compétence sous-tend également la théorie des jeux.

Dix variantes pour s'entraîner, avec réponses détaillées

Chaque élément ci-dessous est notre propre variante. Supposons les règles standard à moins que l'élément ne les modifie. Nous avons vérifié chaque réponse numérique par simulation ou comptage exact.

1. L'original. Trois portes, un animateur qui sait et montre toujours une chèvre. Rester ou changer ?
   Réponse : Changer, 2/3 contre 1/3. Votre porte gagne seulement si votre première supposition était correcte, un événement sur 3.
2. Quatre portes. Une voiture, trois chèvres. L'animateur ouvre une porte de chèvre et vous laisse passer à l'une des deux autres portes fermées. Quelle est la chance pour l'une d'entre elles ?
   Réponse : 3/8 chacune, contre 1/4 pour rester. La chance de 3/4 que la voiture soit ailleurs se répartit équitablement sur deux portes.
3. Cent portes. L'animateur ouvre 98 portes de chèvres. Changer ?
   Réponse : Oui. Changer gagne 99 fois sur 100 ; nous avons mesuré 99,02 pour cent.
4. L'animateur ignorant. L'animateur ouvre l'une de vos deux portes non choisies au hasard, et il se trouve qu'elle montre une chèvre. Devriez-vous changer ?
   Réponse : Cela n'a pas d'importance : 1/2 chacune. Une chèvre apparaît à chaque fois lorsque vous avez la voiture, mais seulement la moitié du temps lorsque ce n'est pas le cas, ce qui annule la probabilité préalable de 1 pour 2.
5. L'animateur avec une porte préférée. Vous choisissez la porte 1. Chaque fois qu'il le peut, l'animateur ouvre la porte 2. Cette fois, il ouvre la porte 3. Changer ?
   Réponse : Changez et gagnez avec certitude. Il a sauté sa préférée, donc la porte 2 doit cacher la voiture. S'il avait ouvert la porte 2, les probabilités seraient de 1/2.
6. L'animateur rancunier. Il n'offre un changement que lorsque votre premier choix est la voiture. Il propose. Que faire maintenant ?
   Réponse : Rester. L'offre elle-même prouve que vous avez la voiture.
7. Deux voitures, deux chèvres. Quatre portes. L'animateur ouvre une porte de chèvre parmi les trois que vous n'avez pas choisies, et vous passez à l'une des deux restantes au hasard.
   Réponse : Changer gagne 3/4 ; rester gagne 1/2. Si vous avez commencé avec une chèvre, les deux portes restantes cachent des voitures.
8. Les trois prisonniers. L'un des trois prisonniers, A, B ou C, sera gracié au hasard. Le directeur de la prison dit honnêtement à A que B sera exécuté. Quelle est la chance de A maintenant, et celle de C ?
   Réponse : A reste à 1/3 ; C monte à 2/3. Le directeur ne pourrait jamais nommer A, donc A n'apprend rien sur son propre sort.
9. La boîte de Bertrand (1889). Trois boîtes contiennent deux pièces d'or, deux pièces d'argent, et une de chaque. Vous tirez une pièce d'or d'une boîte au hasard. Quelle est la chance que l'autre pièce dans cette boîte soit en or ?
   Réponse : 2/3, pas 1/2. Il y a trois pièces d'or que vous auriez pu tirer, et deux d'entre elles se trouvent dans la boîte or-or. Notre simulation a donné 66,6 pour cent.
10. Le jeu des valises. Vingt-six valises scellées, un gros lot. Vous en gardez une et vous en ouvrez vous-même 24 autres, au hasard, et aucune ne contient le gros lot. Devriez-vous échanger contre la dernière valise ?
    Réponse : 1/2 dans les deux cas. Personne n'ayant de connaissances n'a dirigé les ouvertures, donc c'est le jeu de l'hôte ignorant, pas Monty Hall.

La pratique développe la familiarité avec un format. Cela n'augmente pas l'intelligence. Notre test de QI gratuit est un écran de pratique, pas une mesure clinique.

Marilyn vos Savant et le chiffre 228

Une partie de la fureur en 1990 provenait de la facturation de la chroniqueuse. Guinness a listé vos Savant sous "QI le plus élevé" de 1985 à 1989, citant un score d'enfance de 228. Selon son récit, elle a passé le Stanford-Binet de 1937 en septembre 1956, à l'âge de 10 ans, et son âge mental a été mesuré à 22 ans et 10 mois. L'âge mental divisé par l'âge réel, multiplié par 100, donne 228.

C'est un QI de rapport, une vieille formule qui gonfle aux extrêmes. Les tests modernes utilisent le QI de déviation, avec une moyenne de 100 et un écart-type de 15, et s'arrêtent près de 160. Notre page sur un QI de 228 montre pourquoi le chiffre ne peut pas exister sur les échelles d'aujourd'hui, et Guinness a retiré la catégorie en 1990. Notre profil de QI de Marilyn vos Savant couvre le dossier complet.

L'épisode Monty Hall est une meilleure publicité pour son raisonnement que n'importe quel chiffre. Elle a tenu une position correcte face à des milliers d'objections, dont beaucoup signées par des experts accrédités. Pour savoir comment les scores sont construits et ce qu'ils signifient, commencez par nos guides de QI et ce qui compte comme un QI élevé.

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