Marston Conder: El hombre que contó las simetrías

Cualquier matemático en ejercicio en cualquier parte del mundo que necesite conocer todos los grafos simétricos trivalentes de hasta diez mil vértices no los deduce. Descarga la lista de Marston Conder. Lo mismo ocurre con los mapas regulares y quirales en superficies de una amplia gama de géneros, con los grupos de automorfismos de las superficies de Riemann compactas y con los politopos regulares y quirales. A lo largo de cuatro décadas en Auckland, Conder convirtió la pregunta abstracta "¿cuáles son los objetos más simétricos de este tipo?" en algo que uno puede consultar; y, al hacerlo, se convirtió silenciosamente en uno de los matemáticos más utilizados de su generación.

De Matamata a Oxford

Nació en septiembre de 1955 en Hamilton, Nueva Zelanda, y se educó en el Matamata College, un inicio en un pueblo pequeño tan alejado de los centros de matemáticas puras como es posible estar. Su primer título superior no fue en matemáticas: obtuvo una maestría en ciencias sociales en la Universidad de Waikato en 1977. Tres años después, tenía un doctorado de Oxford.

Su supervisor en Oxford fue Graham Higman, una de las figuras más destacadas de la teoría de grupos del siglo XX y fundador del enfoque combinatorio moderno del tema. La tesis de 1980 de Conder, "Minimal generating pairs for permutation groups" (Pares generadores minimales para grupos de permutación), anunciaba en su título su preocupación de toda la vida. La pregunta es engañosamente simple: dado un grupo, ¿puedes producirlo todo a partir de solo dos elementos y, de ser así, cuáles dos, elegidos de la manera más económica posible? La generación por dos elementos es el eje sobre el que gira una enorme cantidad de teoría de la simetría, porque los objetos más simétricos en geometría y combinatoria son precisamente aquellos cuyos grupos de simetría son generados por un número muy pequeño de movimientos muy simples.

Objetos de máxima simetría

El programa de Conder, sostenido durante cuarenta años, puede enunciarse en una línea: estudiar las estructuras discretas que tienen la máxima simetría posible sujeta a restricciones dadas. Se fija una restricción (un grafo debe ser trivalente, un mapa debe vivir en una superficie de género cinco, un politopo debe tener un rango dado) y se pregunta qué objetos que la satisfacen son tan simétricos como sea posible. Las respuestas rara vez son obvias y casi nunca numerosas, lo que las hace dignas de ser catalogadas.

Las herramientas provienen de la teoría combinatoria y computacional de grupos, incluidas técnicas para manejar grupos presentados finitamente y sus imágenes. Esta es la rama del álgebra en la que un grupo se especifica no enumerando sus elementos, sino mediante un puñado de generadores y relaciones, y la dificultad central es que tal presentación puede ocultar casi cualquier cosa, incluido un grupo que sea infinito o trivial, sin una forma fácil de distinguirlo. La especialidad de Conder fue extraer respuestas difíciles, exhaustivas y demostrablemente completas de presentaciones de ese tipo, a una escala que solo se hizo factible cuando la computación se combinó adecuadamente con la teoría.

Mapas, quiralidad y politopos

La veta más rica fueron los mapas: encajes de grafos en superficies, donde los casos interesantes son los regulares, cuyo grupo de simetría actúa de forma tan transitiva como permite la estructura. Junto a ellos se sitúan los objetos quirales, que admiten toda simetría rotacional pero ninguna reflexión: el análogo matemático de una mano izquierda, no superponible sobre ninguna imagen especular de sí misma. La Medalla Jones 2018 de la Royal Society of New Zealand citó exactamente esto: su trabajo sobre "simetría y quiralidad en estructuras discretas".

Extendió el mismo enfoque hacia afuera. El Institute of Combinatorics and its Applications, al otorgarle su Medalla Euler, enumeró las simetrías y encajes de grafos, mapas regulares y quirales, politopos regulares y quirales, particiones de aristas de grafos, grafos expansores de mayor dimensión y códigos Gray binarios; una gama que abarca desde la topología de superficies clásica hasta objetos con aplicación directa en la teoría de códigos y de redes. De ello surgieron más de 170 artículos y quince estudiantes de doctorado.

El censista

Lo que distingue a Conder de otros fuertes algebristas es lo que hizo con los resultados. En lugar de publicar un teorema y seguir adelante, creó y publicó repositorios: censos completos de clases de objetos, computados una vez, correctamente, y cedidos. El catálogo de grafos simétricos trivalentes llega hasta los 10 000 vértices. Los censos de mapas y politopos cubren rangos a los que nadie había llegado anteriormente. Estos son consultados a nivel internacional, incluso por investigadores sin interés en la teoría de grupos que simplemente necesitan saber si existe un objeto con ciertas propiedades, o probar una conjetura contra cada caso conocido antes de desperdiciar un año en ello.

Ese hábito, de tratar el conocimiento como infraestructura en lugar de propiedad personal, es explícitamente parte de su historial de citas; el ICA destacó su reputación por compartir libremente el conocimiento y por los repositorios de investigación que cualquiera puede utilizar.

El matemático público

Conder se convirtió en profesor titular en Auckland en 1993 y en profesor distinguido en 2012. Fue presidente de la New Zealand Mathematical Society de 1993 a 1995, codirector del New Zealand Institute of Mathematics and its Applications y presidente de la Academy of the Royal Society of New Zealand de 2006 a 2008, el cargo científico de mayor rango del país, ocupado por un matemático puro, lo cual no es el arreglo habitual en ningún lugar.

Los honores siguieron al trabajo: la James Cook Research Fellowship en 2011, la membresía de la American Mathematical Society en 2012, la Medalla Hector en 2014, la Medalla Jones en 2018 y, en 2020, tanto la Medalla Euler del Institute of Combinatorics and its Applications (por contribuciones destacadas de toda una vida a la investigación combinatoria) como el nombramiento como Oficial de la New Zealand Order of Merit.

Por qué a Marston se le llama genio

La cualidad específica es un híbrido raro: profundidad algebraica casada con disciplina computacional. Muchos matemáticos pueden demostrar un teorema sobre estructuras simétricas; muchos otros pueden escribir código que enumera ejemplos. El logro característico de Conder es la clasificación exhaustiva: una prueba de que una lista computada no es simplemente larga sino completa, que no se ha pasado nada por alto. Eso exige teoría para limitar el espacio de búsqueda, computación para barrerlo y una tolerancia a la verificación de errores que la mayoría de los teóricos encuentran por debajo de ellos y la mayoría de los programadores encuentran por encima de ellos. Sus censos se han mantenido; esa es la prueba total.

La citación de la Medalla Euler nombra cuarenta años de contribución distinguida en simetrías de grafos, mapas y politopos quirales, expansores y códigos Gray, y la Medalla Jones nombra específicamente la simetría y la quiralidad. Estos son organismos profesionales que utilizan sus instrumentos de mayor nivel, que es lo más cerca que está la combinatoria de usar la palabra.

Vale la pena exponer claramente el contraargumento. Conder no resolvió ningún problema abierto famoso ni introdujo ninguna teoría que lleve su nombre. No hay ninguna conjetura de Conder, ningún invariante de Conder. Su genio es del tipo cartográfico (el mapeo exhaustivo y confiable de un territorio cuyos límites otros habían trazado) en lugar del tipo que abre nuevos caminos. Un evaluador implacable diría que es el mejor censista que las matemáticas han producido en su área, y que ser indispensable no es lo mismo que ser revolucionario. La respuesta es que, en una disciplina ahogada en afirmaciones no verificadas, las respuestas completas y correctas son más raras que las inteligentes y duran más.

Legado

El legado más duradero de Conder es peculiar para un matemático puro: es un conjunto de tablas. Sus repositorios serán consultados por personas que nunca leerán sus pruebas y quizás no conozcan su nombre, de la misma manera que los ingenieros consultan tablas de constantes físicas. Detrás de ellos está el legado más difícil: una demostración de que un país pequeño, casi sin masa crítica en su campo, podía producir un trabajo líder mundial, y que un matemático podía dirigir una academia nacional sin dejar de ser un investigador activo. Quince estudiantes de doctorado y 170 artículos después, la combinatoria de Nueva Zelanda es un nodo internacional reconocido en lugar de un puesto de avanzada, y gran parte de eso se remonta a un hombre en Auckland que siguió contando.