Mark Kac: ¿Se puede escuchar la forma de un tambor?

En 1966, un probabilista polaco-estadounidense publicó un artículo construido en torno a una pregunta que podría hacer un niño: si escuchas un tambor, ¿puedes saber qué forma tiene? La respuesta resultó ser no: diferentes resonadores pueden compartir eigenfrecuencias idénticas. La pregunta fundó un campo de estudio. Kac ganó un Premio Chauvenet por el artículo dos años después, su segundo, y dejó uno de los pocos problemas matemáticos que se han convertido en una frase que la gente cita sin saber de quién era.

Kremenets y una frontera que se movió

Kac nació el 3 de agosto de 1914 en Kremenets —Krzemieniec en polaco—, entonces en el Imperio ruso, en el seno de una familia judía polaca. La ciudad cambió de manos cuando era niño, pasando de lo que se había convertido en la Ucrania soviética a Polonia bajo la Paz de Riga. Él no se mudó; la frontera sí lo hizo. Es un origen apropiado para un matemático que pasó su carrera estudiando el comportamiento de sistemas que cambian bajo tus pies.

Lwów, Steinhaus y la salida

Obtuvo su doctorado en la Universidad de Lwów en 1937 bajo la dirección de Hugo Steinhaus, y perteneció a la Escuela de Matemáticas de Lwów, la concentración más importante de talento matemático en la Polonia de entreguerras, y que la década siguiente aniquilaría.

En 1938, una beca de la Fundación Parnas le permitió partir hacia Estados Unidos. Llegó a Nueva York en noviembre de 1938. El momento fue, en el sentido más literal, la diferencia entre una vida y una estadística: cruzó el Atlántico en la última ventana antes de que esta se cerrara.

Cornell y la guerra

Se unió a la Universidad de Cornell en 1939, ascendiendo de instructor a profesor asistente en 1943 y a profesor titular en 1947. Fue naturalizado como ciudadano estadounidense en 1943. De 1943 a 1945 trabajó con George Uhlenbeck en el Laboratorio de Radiación del MIT, el esfuerzo del radar, uno de esos puestos en tiempo de guerra donde los matemáticos puros descubrieron que sus abstracciones tenían dientes físicos inmediatos. La colaboración con Uhlenbeck sobrevivió a la guerra; ambos, junto con P. C. Hemmer, calcularon más tarde las matemáticas del gas de van der Waals.

Agosto de 1942

Sus padres y su hermano permanecieron en Kremenets. Fueron asesinados por los nazis en las ejecuciones masivas de agosto de 1942.

El hecho permanece en su biografía sin comentarios, como suelen hacer tales hechos, y no debería suavizarse en una narrativa. Kac estaba en Estados Unidos, enseñando en Cornell, en medio de una carrera académica ascendente, cuando su familia fue asesinada en la ciudad donde la frontera se había movido a su alrededor cuando era niño. Cualesquiera que fueran las consecuencias internas, el registro externo muestra a un hombre que trabajó, y trabajó productivamente, durante otros cuarenta años, y que en su vida posterior copresidió el Comité de Científicos Preocupados, dando a conocer los casos de científicos perseguidos, incluidos Vladimir Samuilovich Kislik y Yosif Begun. Aprendió pronto lo que cuesta cuando nadie hace ruido.

Física estadística: el anillo y el modelo de Ising

La década de 1950 fue su década de la física. En 1952, con Theodore H. Berlin, introdujo el modelo esférico de un ferromagneto; con J. C. Ward produjo una solución exacta del modelo de Ising, algo raro y precioso, porque los modelos exactamente solubles son los puntos fijos desde los cuales un campo entero se orienta.

En 1956 llegó el anillo de Kac, y puede ser su construcción individual más elegante. El rompecabezas que aborda es antiguo y genuinamente inquietante: ¿cómo puede la irreversibilidad macroscópica —el hecho de que las cosas se desgasten y nunca vuelvan a ser espontáneamente como antes— surgir de leyes microscópicas que son perfectamente simétricas en el tiempo? La paradoja de Loschmidt. Kac construyó un modelo de juguete lo suficientemente simple como para analizarlo completamente y lo suficientemente rico como para exhibir el fenómeno, y de ese modo produjo una explicación en lugar de un argumento. Esa es la forma más elevada de cierto tipo de física matemática: reemplazar una disputa filosófica por un ejemplo calculable.

El tambor

Su artículo de 1966 preguntaba si la forma geométrica de un tambor está determinada únicamente por su sonido. La respuesta resultó ser negativa en general —formas distintas pueden producir el mismo espectro— aunque para ciertas formas, incluidos los tambores circulares, la geometría puede, de hecho, inferirse del espectro del laplaciano. De ahí surgió la geometría espectral, el estudio sistemático de lo que el espectro de un operador te dice sobre el espacio en el que vive.

El poder de la pregunta radica en su forma. Está expresada en lenguaje ordinario, es inmediatamente inteligible para un no matemático y resulta que requiere una maquinaria seria para responderla. Muy pocos investigadores formulan un problema con estas tres propiedades.

Por qué se llama genio a Mark

La facultad distintiva es la selección de preguntas. El trabajo técnico de Kac —la solución de Ising, el modelo esférico, las matemáticas de van der Waals— es de primera categoría, pero gran parte del trabajo técnico de primera categoría desaparece en la literatura. Lo que lo separa es que encontró repetidamente la formulación que hizo que un área oscura fuera repentinamente manejable. El anillo de Kac lo hizo por la paradoja de Loschmidt: un modelo reducido a lo esencial que, sin embargo, exhibe aquello sobre lo que todos discutían. La pregunta del tambor lo hizo por la geometría espectral: una frase que abrió una disciplina matemática. Este es un talento específico y poco común: no resolver problemas difíciles, sino localizar el problema difícil que vale la pena resolver y exponerlo tan claramente que otros puedan comenzar a trabajar.

Su don expositivo es el mismo instinto apuntando hacia afuera, y fue reconocido: dos Premios Chauvenet, en 1950 por un artículo de 1947 y en 1968 por el artículo del tambor, además del Premio Lester R. Ford en 1967. Siguieron los respaldos institucionales: la Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias en 1959, la Academia Nacional de Ciencias en 1965, la Sociedad Filosófica Estadounidense en 1969, conferenciante Solvay en Bruselas en 1971, conferenciante Fermi en la Scuola Normale de Pisa en 1980.

El contraargumento: nadie en el registro aplica realmente la palabra a él, sus premios son por divulgación más que por descubrimiento, y la pregunta del tambor es famosa en parte porque es encantadora; la respuesta fue proporcionada por otros. Una lectura hostil lo llamaría un comunicador excelente y un muy buen matemático en lugar de uno grande. La lectura justa es que el encuadre es en sí mismo una forma de descubrimiento, y Kac lo hizo más de una vez.

Legado

Kac dejó Cornell en 1961 por la Universidad Rockefeller, donde pasó aproximadamente dos décadas hasta 1981, terminando en la Universidad del Sur de California. Murió el 26 de octubre de 1984. Sus libros —Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory (1959), Probability and Related Topics in the Physical Sciences (1959), Mathematics and Logic con Stanislaw Ulam (1968)— enseñaron a una generación, y su autobiografía, Enigmas of Chance, apareció póstumamente en 1985. El título fue bien elegido por un hombre cuya familia murió por el accidente de una frontera y que sobrevivió por el accidente de una beca.