Marc Lackenby: El hombre que desenredó el nudo trivial

"Todavía no se conoce ningún método sistemático mediante el cual se pueda decir si dos nudos son iguales". Ese fue Alan Turing en 1954, señalando uno de los problemas sin resolver más obstinadamente concretos de las matemáticas: dado un enredo de cuerda con sus extremos unidos, decidir si está genuinamente anudado. Max Dehn lo había planteado en 1910. Wolfgang Haken produjo el primer algoritmo en 1961, pero era desesperadamente lento en cualquier cosa complicada. El 2 de febrero de 2021, en la UC Davis, Marc Lackenby anunció que la cuestión podría resolverse en n elevado a la potencia c log n pasos: tiempo cuasipolinomial, un poco menos de la eficiencia que los informáticos consideran el sello de un problema genuinamente tratable. Los matemáticos de Oxford lo llamaron un tour-de-force gordiano.

Cambridge y la escuela de Lickorish

Lackenby fue a Cambridge para estudiar matemáticas en 1990 y permaneció allí para su doctorado, completado en 1997 bajo la supervisión de W. B. R. Lickorish con una tesis titulada "Dehn Surgery and Unknotting Operations". Lickorish es una de las figuras centrales en la teoría de nudos del siglo XX, y los temas de la tesis (la cirugía de Dehn y el desenredado) seguirían siendo reconociblemente los temas de Lackenby un cuarto de siglo después. Pocos matemáticos eligen su territorio tan pronto y luego siguen encontrando cosas nuevas en él.

Ocupó una beca de investigación Miller en la UC Berkeley y una beca de investigación de regreso en Cambridge antes de mudarse a Oxford en 1999 como profesor y miembro del St Catherine's College. El ascenso a una cátedra siguió en 2006. Su trabajo abarca la teoría de nudos, la topología de baja dimensión y la teoría de grupos, tres temas que en tres dimensiones resultan ser más o menos el mismo tema visto desde diferentes ángulos.

Rellenando los agujeros

La cirugía de Dehn es la operación central de la topología tridimensional: cortar un tubo sólido alrededor de un nudo y luego volver a pegarlo de forma diferente. Casi cualquier variedad de tres dimensiones puede producirse de esta manera, por lo que comprender la operación significa comprender los objetos.

La pregunta que importa es cuándo el resultado sigue siendo hiperbólico, siendo la geometría hiperbólica la estructura que hace que una variedad de tres dimensiones sea rígida y analizable, y su ausencia es donde comienza el desierto. El teorema 2π proporciona un criterio geométrico que garantiza que la cirugía conserva la hiperbolicidad. Lackenby demostró una versión reforzada del mismo. Ese es un tipo de resultado característico para él: no el descubrimiento de un nuevo paisaje, sino el afilado de una línea límite existente, hecho lo suficientemente bien como para que una gran cantidad de territorio caiga en el lado útil de la misma.

Nudos alternantes y volumen

Un segundo hilo conecta la imagen de un nudo con su geometría. Dibuja un nudo como un diagrama en una página y tendrás combinatoria: cruces, arcos, regiones. Considera el espacio alrededor del nudo y tendrás geometría, con un volumen hiperbólico adjunto. Estos son tipos de información completamente diferentes, y relacionarlos es uno de los proyectos profundos del campo.

Lackenby produjo límites en el volumen hiperbólico de complementos de nudos para nudos alternantes (la clase en la que los cruces alternan sobre, bajo, sobre, bajo mientras viajas alrededor), atando un invariante geométrico a algo que puedes contar literalmente en un dibujo. Los resultados de este tipo son los que hacen que la geometría de los nudos sea computable en lugar de meramente contemplable.

Los movimientos de Reidemeister, contados

Cualquier diagrama de un nudo puede convertirse en cualquier otro diagrama del mismo nudo mediante una secuencia de tres manipulaciones elementales, los movimientos de Reidemeister. Eso se sabe desde la década de 1920, y es inútil por sí solo: nada te dice cuántos movimientos se necesitan, y la secuencia puede tener que pasar por diagramas mucho más desordenados que cualquiera de los puntos finales antes de que se simplifique. Es exactamente por eso que desenredar es difícil: a menudo tienes que empeorar un enredo antes de que pueda mejorar.

Lackenby demostró que un diagrama del nudo trivial puede desenredarse en un número de movimientos de Reidemeister polinomial en el número de cruces. El pesimismo estaba fuera de lugar. Siempre hay una ruta razonablemente corta hacia el círculo trivial, incluso si encontrarla es otra cuestión.

Tiempo cuasipolinomial

Lo que nos lleva a 2021. El problema de reconocimiento del nudo trivial había acumulado muchos algoritmos después del de Haken, basándose en la topología y en la geometría, y casi todos eran catastróficamente lentos una vez que los nudos se volvían complicados. Si existía un algoritmo de tiempo polinomial se había convertido en una de las famosas preguntas abiertas en la frontera de la topología y la informática. William Thurston, en 2011, lo dijo claramente: "Mucha gente ha pensado en esta pregunta... pero esta ha sido una pregunta muy difícil de resolver".

El límite n^(c log n) de Lackenby no lo resuelve del todo. El cuasipolinomial es más lento que el polinomial. Pero la brecha entre el cuasipolinomial y todo lo anterior es enorme, y la brecha entre el cuasipolinomial y el polinomial es, en términos prácticos y conceptuales, pequeña. Un problema que Turing había enumerado entre los indomables está ahora, esencialmente, domado.

Por qué Marc es llamado genio

La cualidad que se muestra no es la velocidad ni la amplitud. Es una especie de profundidad paciente: permanecer con el mismo grupo de preguntas (cirugía de Dehn, desenredado, geometría de los complementos de nudos) durante veinticinco años, acumulando técnica hasta que los problemas que habían resistido a generaciones se volvieron alcanzables. El resultado del nudo trivial es la evidencia más clara, porque no cayó ante un truco inteligente. Cayó ante alguien que había pasado una carrera construyendo la maquinaria específica requerida y podía ver, donde otros no podían, qué combinación de herramientas topológicas y geométricas compondría.

El reconocimiento de sus pares ha sido consistente en lugar de sensacional: el Premio Whitehead de la Sociedad Matemática de Londres en 2003, un Premio Philip Leverhulme en matemáticas y estadística en 2006, una invitación a hablar en el Congreso Internacional de Matemáticos en 2010 (la señal más confiable de la disciplina de que un cuerpo de trabajo importa). El anuncio de 2021 utilizó el lenguaje más fuerte, con Oxford recurriendo al término "tour-de-force".

El contraargumento debe ser establecido. Ninguna fuente registra a nadie llamando a Lackenby un genio, y la cultura matemática a la que pertenece es notablemente ahorrativa con la palabra. Su trabajo se basa directamente en Haken, Thurston, Lickorish y toda la tradición de superficies normales; el algoritmo cuasipolinomial es una mejora espectacular dentro de un marco establecido, no un marco nuevo. Tampoco es polinomial, lo que significa que la pregunta principal sigue técnicamente abierta. Y la topología de baja dimensión, a pesar de toda su belleza, es un campo especializado: sus resultados son famosos entre los topólogos y en gran medida desconocidos fuera de ella. Lo que está fuera de toda duda es que resolvió algo que se había resistido durante un siglo, y lo hizo conociendo su propia materia más a fondo que cualquier otra persona.

Legado

Lo que Lackenby ha hecho, a través de los cuatro hilos de su trabajo, es hacer que la teoría de nudos sea efectiva. Acotar volúmenes contando cruces, acotar el desenredado contando movimientos, acotar el reconocimiento contando pasos; en cada caso, un objeto que podía ser contemplado se convirtió en un objeto que puede ser computado. Ese cambio es lo que convierte una teoría hermosa en una utilizable, y es la razón por la que el resultado de 2021 viajó mucho más allá de la topología hacia la informática teórica. Dehn hizo la pregunta en 1910. Tomó 111 años y un profesor en Oxford que se negó a trabajar en cualquier otra cosa.