Francis Bonahon: Mapeando la forma de tres dimensiones

La intuición geométrica de la mayoría de las personas se detiene en los planos planos y los sólidos familiares. Francis Bonahon ha pasado su carrera dentro de un territorio más extraño: el espacio de las formas tridimensionales que pueden estirarse, sin desgarrarse, en una curvatura hiperbólica uniforme, la geometría que Einstein llamó una vez "la geometría de la pseudoesfera" y que los topólogos ahora saben que subyace a la mayoría de las variedades tridimensionales. Trabajando en la teoría de nudos, la geometría hiperbólica y los espacios de deformación de superficies, Bonahon ha pasado cuatro décadas ayudando a convertir ese territorio que alguna vez fue exótico en uno de los terrenos mejor comprendidos de la topología moderna.

De Tarbes a la École Normale Supérieure

Bonahon nació el 9 de septiembre de 1955 en Tarbes, una localidad situada en las estribaciones de los Pirineos franceses, y aprobó su bachillerato en 1972 antes de ingresar dos años más tarde en la École Normale Supérieure de París, el centro de formación de élite de Francia para sus matemáticos investigadores. Obtuvo una maîtrise en matemáticas en la Universidad de París VII en 1975, y luego se trasladó a la Universidad de París XI en Orsay para realizar sus estudios de doctorado bajo la supervisión de Laurence Siebenmann, uno de los principales topólogos de la época. Su tesis doctoral de 1979, "Involutions et fibrés de Seifert dans les variétés de dimension 3" ("Involuciones y fibraciones de Seifert en variedades tridimensionales"), y su tesis de habilitación de 1985, "Estructuras geométricas en 3-variedades y aplicaciones", marcan los dos extremos del periodo —aproximadamente la década posterior a que el revolucionario programa de geometrización de William Thurston transformara el campo— durante el cual la topología de 3-variedades y la geometría hiperbólica se volvieron inseparables.

Del CNRS a la USC

Tras un año postdoctoral como becario Procter en Princeton en 1979-1980, Bonahon pasó la primera mitad de la década de 1980 en el sistema nacional de investigación de Francia, el CNRS, ascendiendo desde attaché de recherche en 1980 hasta chargé de recherche en 1983, trabajo reconocido con una medalla de bronce del CNRS en 1985, un honor de principios de carrera concedido a los investigadores considerados por haber hecho una primera contribución notable. En 1986 se trasladó a la Universidad del Sur de California, avanzando de profesor asistente a profesor asociado en 1988 y a profesor titular en 1989, un puesto —ahora profesor emérito— que ha ocupado durante el resto de su carrera, con estancias prolongadas como profesor visitante en la UC Davis, el Institut des Hautes Études Scientifiques (IHES) a las afueras de París, Caltech y el Mathematical Sciences Research Institute de Berkeley. El reconocimiento estadounidense siguió al francés: una beca de investigación Sloan (1987-1989), un premio Presidential Young Investigator (1989-1994) y el propio premio Raubenheimer Outstanding Senior Faculty de la USC en 1994.

Nudos, superficies y 3-variedades hiperbólicas

La investigación de Bonahon se sitúa en la intersección de la topología de baja dimensión, la geometría hiperbólica, el análisis complejo y los sistemas dinámicos, y ha avanzado al mismo paso que las principales corrientes del campo. Su trabajo inicial abordó la teoría de nudos y las involuciones y fibraciones de Seifert de 3-variedades: la clasificación de cómo se pueden construir espacios tridimensionales a partir de piezas fibradas más simples. A medida que el campo absorbió la idea de Thurston de que la mayoría de las 3-variedades admiten una estructura geométrica hiperbólica natural, Bonahon se volcó en la teoría de deformación de estructuras hiperbólicas en superficies y 3-variedades, estudiando cómo se puede variar continuamente la forma de una superficie hiperbólica —el tema de la teoría de Teichmüller— y cómo estas deformaciones interactúan con la geometría de las 3-variedades en las que se asientan las superficies. Se trata de un trabajo técnico y altamente geométrico cuyo fruto es conceptual: una descripción operativa de todo el espacio de estructuras hiperbólicas que un objeto topológico dado puede soportar, y de cómo se organiza dicho espacio. En los últimos años, su trabajo se ha extendido a la topología cuántica, conectando la geometría hiperbólica clásica con las estructuras algebraicas derivadas de los invariantes cuánticos de nudos y 3-variedades, una frontera de investigación activa que vincula la topología con la física matemática.

Reconocimiento entre sus pares

Bonahon fue ponente invitado en el Congreso Internacional de Matemáticos celebrado en Kioto en 1990, una de las señales más claras dentro del campo por ciclo de que se considera que un conjunto de trabajos está moldeando la dirección de la disciplina, y fue nombrado miembro de la American Mathematical Society en la clase inaugural de miembros de la sociedad en 2012, un honor reservado a los matemáticos considerados por haber realizado contribuciones sobresalientes al campo. También es autor de Low-Dimensional Geometry: From Euclidean Surfaces to Hyperbolic Knots (2009), un texto destinado a hacer que la imagen geométrica moderna de las superficies y los nudos sea accesible a un público matemático más amplio, un esfuerzo deliberado de traducción en una materia que no se caracteriza por ello.

Por qué se llama genio a Francis

La cualidad cognitiva específica que se manifiesta en la carrera de Bonahon es la visualización geométrica llevada a un dominio donde la intuición espacial ordinaria engaña activamente: el espacio hiperbólico tridimensional no se puede construir como un subconjunto del espacio euclidiano ordinario de la misma manera que una esfera o un toro, por lo que trabajar de forma productiva en él requiere mantener en la mente una imagen autoconsistente y no euclidiana y razonar correctamente a partir de ella, una habilidad que separa a los investigadores sólidos de los excepcionales en este campo. Que su carrera discurra precisamente a lo largo de la columna vertebral de la revolución de la geometrización de Thurston —desde la clasificación temprana de 3-variedades, pasando por la teoría de la deformación hiperbólica, hasta la topología cuántica actual— refleja un dominio sostenido de un tema genuinamente difícil a lo largo de cuatro décadas, confirmado externamente por una invitación al ICM y un nombramiento como miembro inaugural de la AMS. El contraargumento honesto es que las contribuciones de Bonahon, por muy profundas que sean, han sido extensiones y consolidaciones constantes del marco que Thurston y un pequeño grupo de contemporáneos establecieron, en lugar de un avance único y comparable que defina el campo por sí mismo; el registro disponible no documenta ninguna Medalla Fields o premio singular equivalente, y su contribución pública más visible —el libro de texto de 2009— es en sí mismo un acto de exposición más que de descubrimiento. Es el genio de un maestro artesano que trabaja en la frontera de una revolución establecida, no el genio de haber iniciado una.

Legado

Las cuatro décadas de trabajo de Bonahon en la USC ayudaron a establecer el sur de California como un centro de referencia para la topología de baja dimensión y la teoría geométrica de grupos, y su libro de texto sigue introduciendo a las nuevas generaciones de estudiantes en un mundo geométrico —las 3-variedades hiperbólicas— que, gracias en parte a su propia investigación, se comprende ahora lo suficientemente bien como para poder enseñarse en lugar de limitarse a descubrirlo. El título de profesor emérito que ostenta ahora marca el cierre de una trayectoria investigadora inusualmente larga y coherente, una que comenzó a la sombra de Thurston y terminó, décadas más tarde, contribuyendo todavía a la misma conversación.