Eine Gleichung bedeutet mir nichts, wenn sie nicht einen Gedanken Gottes ausdrückt.
Srinivasa Ramanujan (geboren als Srinivasa Ramanujan Aiyangar) war ein indischer Mathematiker, der während der britischen Herrschaft in Indien lebte. Obwohl er fast keine formale Ausbildung in reiner Mathematik hatte, leistete er wesentliche Beiträge zur mathematischen Analyse, Zahlentheorie, unendlichen Reihen und Kettenbrüchen, einschließlich Lösungen für mathematische Probleme, die damals als unlösbar galten.
Ramanujan entwickelte seine mathematische Forschung zunächst isoliert: nach Hans Eysenck: „Er versuchte, führende Mathematiker für seine Arbeit zu interessieren, aber scheiterte größtenteils. Das, was er ihnen zeigen musste, war zu neuartig, zu ungewöhnlich und wurde zudem auf ungewöhnliche Weise präsentiert; sie wollten sich nicht damit befassen". Auf der Suche nach Mathematikern, die seine Arbeit besser verstehen konnten, begann er 1913 eine Briefpartnerschaft mit dem englischen Mathematiker G. H. Hardy an der Universität Cambridge, England. Hardy erkannte Ramanujans Arbeit als außergewöhnlich an und arrangierte seine Reise nach Cambridge. In seinen Notizen kommentierte Hardy, dass Ramanujan bahnbrechende neue Theoreme hervorgebracht hatte, darunter einige, die „mich vollständig besiegten; ich hatte vorher noch nie etwas Ähnliches gesehen", und einige kürzlich bewiesene, aber hochgradig fortgeschrittene Ergebnisse.
Während seines kurzen Lebens stellte Ramanujan unabhängig fast 3.900 Ergebnisse zusammen, hauptsächlich Identitäten und Gleichungen. Viele waren völlig neuartig; seine ursprünglichen und hochgradig unkonventionellen Ergebnisse, wie die Ramanujan-Primzahl, die Ramanujan-Thetafunktion, Partitionsformeln und Mock-Theta-Funktionen, haben ganze neue Forschungsbereiche eröffnet und eine große Menge an weiterer Forschung inspiriert. Fast alle seine Behauptungen wurden inzwischen als korrekt nachgewiesen. Das Ramanujan Journal, eine wissenschaftliche Zeitschrift, wurde gegründet, um Arbeiten in allen Bereichen der Mathematik zu veröffentlichen, die von Ramanujan beeinflusst werden, und seine Notizbücher – die Zusammenfassungen seiner veröffentlichten und unveröffentlichten Ergebnisse enthalten – werden seit Jahrzehnten nach seinem Tod als Quelle für neue mathematische Ideen analysiert und studiert. Noch 2011 und erneut 2012 entdeckten Forscher, dass bloße Bemerkungen in seinen Schriften über „einfache Eigenschaften" und „ähnliche Ausgaben" für bestimmte Ergebnisse selbst tiefgründige und subtile Zahlentheorieergebnisse waren, die fast ein Jahrhundert nach seinem Tod nicht vermutet wurden. Er wurde einer der jüngsten Fellows der Royal Society und nur das zweite indische Mitglied und der erste Inder, der zum Fellow des Trinity College, Cambridge, gewählt wurde. Über seine Originalbriefe sagte Hardy, dass ein einzelner Blick ausreichte, um zu zeigen, dass sie nur von einem Mathematiker von höchster Qualität hätten geschrieben werden können, und verglich Ramanujan mit mathematischen Genies wie Euler und Jacobi.
1919 zwangen ihn Gesundheitsprobleme – heute wird angenommen, dass dies hepatische Amöbiasis war, eine Komplikation von Dysenterie-Episoden viele Jahre zuvor – zur Rückkehr nach Indien, wo er 1920 im Alter von 32 Jahren starb. Seine letzten Briefe an Hardy, geschrieben im Januar 1920, zeigen, dass er weiterhin neue mathematische Ideen und Theoreme produzierte. Sein „verlorenes Notizbuch", das Entdeckungen aus dem letzten Jahr seines Lebens enthielt, verursachte großes Aufsehen unter Mathematikern, als es 1976 wiederentdeckt wurde.
Ein zutiefst religiöser Hindu schrieb Ramanujan seine beträchtlichen mathematischen Fähigkeiten der Göttlichkeit zu und sagte, dass das mathematische Wissen, das er zeigte, ihm von seiner Familiengöttin Namagiri Thayar offenbart wurde. Er sagte einmal: „Eine Gleichung hat für mich keine Bedeutung, wenn sie nicht einen Gedanken Gottes ausdrückt."
Frühen Leben
Ramanujan, wörtlich „jüngerer Bruder Ramas", eine Hindu-Gottheit, wurde am 22. Dezember 1887 in einer Tamil-Brahmin-Iyengar-Familie in Erode, Madras-Präsidentschaft, heute Tamil Nadu, Indien, in der Residenz seiner mütterlichen Großeltern geboren. Sein Vater, Kuppuswamy Srinivasa Iyengar, stammte ursprünglich aus dem Thanjavur-Distrikt und arbeitete als Angestellter in einem Sari-Geschäft. Seine Mutter, Komalatammal, war eine Hausfrau und sang in einem lokalen Tempel. Sie lebten in einem kleinen traditionellen Haus in der Sarangapani-Sannidhi-Straße in der Stadt Kumbakonam. Das Familienhaus ist heute ein Museum. Als Ramanujan anderthalb Jahre alt war, bekam seine Mutter einen Sohn, Sadagopan, der weniger als drei Monate später starb. Im Dezember 1889 bekam Ramanujan Pocken, erholte sich aber, anders als die 4.000 anderen, die in einem schlechten Jahr im Thanjavur-Distrikt in dieser Zeit starben. Er zog mit seiner Mutter zum Haus ihrer Eltern in Kanchipuram, in der Nähe von Madras, heute Chennai. Seine Mutter bekam zwei weitere Kinder, 1891 und 1894, die beide vor ihrem ersten Geburtstag starben.
Am 1. Oktober 1892 wurde Ramanujan in der örtlichen Schule angemeldet. Nachdem sein mütterlicher Großvater seine Stelle als Hofbeamter in Kanchipuram verlor, zog Ramanujan und seine Mutter nach Kumbakonam zurück, und er wurde in der Kangayan Primary School angemeldet. Als sein väterlicher Großvater starb, wurde er zu seinen mütterlichen Großeltern geschickt, die damals in Madras lebten. Er mochte die Schule in Madras nicht und versuchte, dem Unterricht zu entgehen. Seine Familie stellte einen örtlichen Polizisten ein, um sicherzustellen, dass er die Schule besuchte. Innerhalb von sechs Monaten war Ramanujan wieder in Kumbakonam.
Da Ramanujans Vater den größten Teil des Tages bei der Arbeit war, kümmerte sich seine Mutter um den Jungen, und sie hatten eine enge Beziehung. Von ihr lernte er über Traditionen und Puranas, religiöse Lieder zu singen, an Pujas im Tempel teilzunehmen und besondere Essgewohnheiten zu pflegen – alles Teil der Brahmin-Kultur. In der Kangayan Primary School war Ramanujan leistungsstark. Kurz vor seinem 10. Geburtstag, im November 1897, bestand er seine Grundschulprüfungen in Englisch, Tamil, Geographie und Arithmetik mit den besten Ergebnissen im Distrikt. In diesem Jahr trat Ramanujan in die Town Higher Secondary School ein, wo er zum ersten Mal auf formale Mathematik traf.
Mit 11 Jahren ein Wunderkind, hatte er das mathematische Wissen von zwei Collegestudenten erschöpft, die in seinem Haus wohnten. Ihm wurde später ein Buch des Mathematikers S. L. Loney über fortgeschrittene Trigonometrie geliehen. Dies beherrschte er im Alter von 13 Jahren, während er gleichzeitig raffinierte Theoreme eigenständig entdeckte. Mit 14 Jahren erhielt er Verdienstzeugnis und akademische Auszeichnungen, die er während seiner gesamten Schullaufbahn weiterhin erhielt, und er half der Schule bei der Logistik, 1.200 Schüler mit unterschiedlichen Bedürfnissen 35 Lehrern zuzuordnen. Er absolvierte mathematische Prüfungen in der Hälfte der vorgesehenen Zeit und zeigte Vertrautheit mit Geometrie und unendlichen Reihen. Ramanujan wurde 1902 beigebracht, wie man kubische Gleichungen löst; er entwickelte seine eigene Methode zum Lösen von Quartalen. Im folgenden Jahr versuchte er, das Quintum zu lösen, ohne zu wissen, dass es nicht durch Radikale gelöst werden konnte.
1903, als er 16 Jahre alt war, erhielt Ramanujan von einem Freund eine Bibliothekskopie von „A Synopsis of Elementary Results in Pure and Applied Mathematics", G. S. Carrs Sammlung von 5.000 Theoremen. Ramanujan soll den Inhalt des Buches in detail studiert haben. Das Buch wird allgemein als Schlüsselelement bei der Weckung seines Genies anerkannt. Im nächsten Jahr entwickelte und untersuchte Ramanujan unabhängig die Bernoulli-Zahlen und berechnete die Euler-Mascheroni-Konstante bis zu 15 Dezimalstellen. Seine Mitschüler damals sagten, sie „verstanden ihn selten" und „standen in ehrfürchtigem Respekt" vor ihm.
Als er 1904 die Town Higher Secondary School absolvierte, erhielt Ramanujan den K.-Ranganatha-Rao-Preis für Mathematik vom Schulleiter der Schule, Krishnaswami Iyer. Iyer stellte Ramanujan als Schüler vor, der Ergebnisse höher als das Maximum verdiente. Er erhielt ein Stipendium zum Studieren am Government Arts College, Kumbakonam, aber er war so sehr auf Mathematik fokussiert, dass er sich nicht auf andere Fächer konzentrieren konnte und in den meisten durchfiel, wobei er sein Stipendium verlor. Im August 1905 lief Ramanujan von zu Hause weg in Richtung Visakhapatnam und blieb etwa einen Monat in Rajahmundry. Er schrieb sich später am Pachaiyappa's College in Madras ein. Dort bestand er in Mathematik, versuchte nur Fragen, die ihn interessierten, und ließ die restlichen Fragen unantwortbar, schnitt aber in anderen Fächern wie Englisch, Physiologie und Sanskrit schlecht ab. Ramanujan bestand seine Fellow-of-Arts-Prüfung im Dezember 1906 nicht und erneut ein Jahr später. Ohne FA-Grad verließ er das College und verfolgte weiterhin unabhängige mathematische Forschung, lebte in extremer Armut und oft am Rande des Verhungerns.
1910, nach einem Treffen zwischen dem 23-jährigen Ramanujan und dem Gründer der Indian Mathematical Society, V. Ramaswamy Aiyer, begann Ramanujan, Anerkennung in Madras' mathematischen Kreisen zu erhalten, was zu seiner Aufnahme als Forscher an der Universität Madras führte.
Erwachsenenleben in Indien
Am 14. Juli 1909 heiratete Ramanujan Janaki Janakiammal; 21. März 1899 – 13. April 1994, ein Mädchen, das seine Mutter ein Jahr zuvor für ihn ausgewählt hatte und das zehn Jahre alt war, als sie heirateten. Es war damals nicht ungewöhnlich, dass Ehen mit jungen Mädchen arrangiert wurden. Janaki stammte aus Rajendram, einem Dorf in der Nähe von Marudur Karur-Distrikt-Bahnhof. Ramanujans Vater nahm nicht an der Hochzeitszeremonie teil. Wie es damals üblich war, blieb Janaki drei Jahre nach der Hochzeit in ihrem Elternhaus, bis sie die Pubertät erreichte. 1912 zogen sie und Ramanujans Mutter zu Ramanujan nach Madras.
Nach der Hochzeit entwickelte Ramanujan einen Hydrozele testis. Der Zustand hätte mit einer Routineoperation behandelt werden können, die die blockierte Flüssigkeit im Hodensack freigegeben hätte, aber seine Familie konnte sich die Operation nicht leisten. Im Januar 1910 bot ein Arzt an, die Operation kostenlos durchzuführen.
Nach seiner erfolgreichen Operation suchte Ramanujan nach einem Job. Er wohnte im Haus eines Freundes, während er in Madras von Tür zu Tür ging und nach einer Angestelltenposition suchte. Um Geld zu verdienen, unterrichtete er Schüler am Presidency College, die sich auf ihre F.A.-Prüfung vorbereiteten.
Ende 1910 war Ramanujan wieder krank. Er fürchtete um seine Gesundheit und sagte seinem Freund R. Radakrishna Iyer, er solle „an den britischen Professor Edward B. Ross vom Madras Christian College weiterleiten". Nachdem sich Ramanujan erholt hatte und seine Notizbücher von Iyer zurückgeholt hatte, fuhr er mit dem Zug von Kumbakonam nach Villupuram, einer unter französischer Kontrolle stehenden Stadt. 1912 zog Ramanujan mit seiner Frau und Mutter in ein Haus in der Saiva-Muthaiah-Mudali-Straße, George Town, Madras, wo sie einige Monate lebten. Im Mai 1913 zog Ramanujan mit seiner Familie nach der Sicherung einer Forschungsposition an der Madras-Universität nach Triplicane.
Verfolgung einer Karriere in der Mathematik
1910 traf Ramanujan den stellvertretenden Bezirkskommissar V. Ramaswamy Aiyer, der die Indian Mathematical Society gründete. Da er eine Stelle in der Abteilung für Einnahmen wünschte, in der Aiyer arbeitete, zeigte Ramanujan ihm seine mathematischen Notizbücher. Wie Aiyer sich später erinnerte:
Ich war beeindruckt von den außergewöhnlichen mathematischen Ergebnissen in [den Notizbüchern]. Ich hatte nicht die Absicht, sein Genie durch eine Stelle in den untersten Reihen der Finanzbehörde zu unterdrücken.
Aiyer sandte Ramanujan mit Empfehlungsschreiben an seine Mathematikerfreunde in Madras. Einige von ihnen betrachteten seine Arbeit und gaben ihm Empfehlungsschreiben für R. Ramachandra Rao, den Bezirkskommissar für Nellore und den Sekretär der Indian Mathematical Society. Rao war von Ramanujans Forschung beeindruckt, bezweifelte aber, dass sie seine eigene Arbeit war. Ramanujan erwähnte eine Korrespondenz, die er mit Professor Saldhana, einem bekannten Bombayer Mathematiker, hatte, in der Saldhana sein Unverständnis seiner Arbeit ausdrückte, aber zu dem Ergebnis kam, dass er kein Betrüger war. Ramanujans Freund C. V. Rajagopalachari versuchte, Raos Zweifel an Ramanujans wissenschaftlicher Integrität zu zerstreuen. Rao stimmte zu, ihm eine weitere Chance zu geben, und hörte zu, während Ramanujan über elliptische Integrale, hypergeometrische Reihen und seine Theorie divergenter Reihen diskutierte, was Rao letztendlich von Ramanujans Brillanz überzeugte. Als Rao ihn fragte, was er wolle, antwortete Ramanujan, dass er Arbeit und finanzielle Unterstützung brauchte. Rao stimmte zu und schickte ihn nach Madras. Er setzte seine Forschung mit Raos finanziellem Beistand fort. Mit Aiyers Hilfe wurde Ramanujans Arbeit in der Journal of the Indian Mathematical Society veröffentlicht.
Eines der ersten Probleme, das er in der Zeitschrift stellte, war, den Wert zu finden von:
Er wartete auf eine Lösung, die in drei Ausgaben über sechs Monate angeboten werden sollte, erhielt aber keine. Am Ende lieferte Ramanujan die Lösung des Problems selbst. Auf Seite 105 seines ersten Notizbuchs formulierte er eine Gleichung, die verwendet werden konnte, um das Problem der unendlich verschachtelten Radikalen zu lösen.
Mit dieser Gleichung war die Antwort auf die Frage in der Zeitschrift einfach 3, erhalten durch Setzen von x = 2, n = 1 und a = 0. Ramanujan schrieb sein erstes formales Papier für die Zeitschrift über die Eigenschaften von Bernoulli-Zahlen. Eine Eigenschaft, die er entdeckte, war, dass die Nennerfolge A027642 im OEIS der Brüche von Bernoulli-Zahlen immer durch sechs teilbar sind. Er entwickelte auch eine Methode zur Berechnung von Bn basierend auf vorherigen Bernoulli-Zahlen. Eine dieser Methoden folgt:
Es wird beobachtet, dass wenn n gerade, aber nicht gleich null ist,
- Bn ist ein Bruch und der Zähler von Bn/n in seinen niedrigsten Termen ist eine Primzahl, <
.jpg)
