Jacob Bernoulli auch bekannt als James oder Jacques; 6. Januar 1655 [O.S. 27. Dezember 1654] – 16. August 1705 war einer der vielen prominenten Mathematiker der Familie Bernoulli. Er war ein früher Befürworter der Leibnizschen Infinitesimalrechnung und unterstützte Gottfried Wilhelm Leibniz während des Leibniz-Newton-Calculus-Streits. Er ist bekannt für seine zahlreichen Beiträge zur Infinitesimalrechnung und war zusammen mit seinem Bruder Johann einer der Gründer der Variationsrechnung. Er entdeckte auch die fundamentale mathematische Konstante e. Sein wichtigster Beitrag lag jedoch im Bereich der Wahrscheinlichkeitstheorie, wo er die erste Version des Gesetzes der großen Zahlen in seinem Werk Ars Conjectandi herleitete.
Biografie
Jacob Bernoulli wurde in Basel, Schweiz, geboren. Auf Wunsch seines Vaters studierte er Theologie und trat in den Geistlichen Stand ein. Aber gegen den Willen seiner Eltern studierte er auch Mathematik und Astronomie. Er reiste von 1676 bis 1682 durch Europa und lernte die neuesten Entdeckungen in Mathematik und Naturwissenschaften von führenden Persönlichkeiten der Zeit. Dies umfasste die Arbeiten von Johannes Hudde, Robert Boyle und Robert Hooke. Während dieser Zeit entwickelte er auch eine fehlerhafte Theorie der Kometen.
Bernoulli kehrte in die Schweiz zurück und begann 1683, Mechanik an der Universität Basel zu unterrichten. Seine Doktordissertation Solutionem tergemini problematis wurde 1684 eingereicht. Sie erschien 1687 im Druck.
1684 heiratete Bernoulli Judith Stupanus; sie bekamen zwei Kinder. In diesem Jahrzehnt begann er auch eine fruchtbare Forschungskarriere. Seine Reisen ermöglichten es ihm, eine Korrespondenz mit vielen führenden Mathematikern und Naturwissenschaftlern seiner Zeit zu etablieren, die er sein Leben lang aufrechterhielt. Während dieser Zeit studierte er die neuen Erkenntnisse der Mathematik, darunter Christiaan Huygens' De ratiociniis in aleae ludo, Descartes' La Géométrie und Frans van Schooten's Ergänzungen dazu. Er studierte auch Isaac Barrow und John Wallis, was zu seinem Interesse an Infinitesimalgeometrie führte. Abgesehen davon wurden zwischen 1684 und 1689 viele der Ergebnisse entdeckt, die später die Ars Conjectandi ausmachen würden.
1687 wurde er zum Professor für Mathematik an der Universität Basel ernannt und blieb bis zum Rest seines Lebens in dieser Position. Zu dieser Zeit hatte er begonnen, seinen Bruder Johann Bernoulli in mathematischen Themen zu unterrichten. Die beiden Brüder begannen, die Infinitesimalrechnung zu studieren, wie sie von Leibniz in seinem 1684er Papier zur Differentialrechnung in „Nova Methodus pro Maximis et Minimis" veröffentlicht in der Acta Eruditorum präsentiert wurde. Sie studierten auch die Publikationen von von Tschirnhaus. Es muss verstanden werden, dass Leibniz' Publikationen zur Infinitesimalrechnung für Mathematiker dieser Zeit sehr undurchsichtig waren und die Bernoullis unter den ersten waren, die versuchten, Leibniz' Theorien zu verstehen und anzuwenden.
Jacob arbeitete mit seinem Bruder an verschiedenen Anwendungen der Infinitesimalrechnung zusammen. Allerdings verwandelte sich die Atmosphäre der Zusammenarbeit zwischen den beiden Brüdern in Rivalität, als Johanns eigenes mathematisches Genie zu reifen begann, wobei beide sich gegenseitig in Druckwerken angriffen und sich schwierige mathematische Herausforderungen stellten, um die Fähigkeiten des anderen zu testen. Bis 1697 war die Beziehung völlig zerbrochen.
Der Mondkrater Bernoulli ist auch gemeinsam nach ihm und seinem Bruder Johann benannt.
Wichtige Werke
Jacob Bernoullis erste wichtige Beiträge waren eine 1685 veröffentlichte Broschüre über die Parallelen zwischen Logik und Algebra, Arbeiten zur Wahrscheinlichkeit 1685 und zur Geometrie 1687. Sein Geometrie-Ergebnis ermöglichte eine Konstruktion, um jedes Dreieck mit zwei senkrechten Linien in vier gleiche Teile zu teilen.
Bis 1689 hatte er wichtige Arbeiten zu unendlichen Reihen veröffentlicht und sein Gesetz der großen Zahlen in der Wahrscheinlichkeitstheorie veröffentlicht. Jacob Bernoulli veröffentlichte zwischen 1682 und 1704 fünf Abhandlungen zu unendlichen Reihen. Die ersten beiden davon enthielten viele Ergebnisse, wie das grundlegende Ergebnis, dass ∑ 1 n, aber er zeigte, dass es gegen einen endlichen Grenzwert kleiner als 2 konvergierte. Euler war der erste, der 1737 den Grenzwert dieser Reihe fand. Bernoulli studierte auch die Exponentialreihe, die aus der Untersuchung von Zinseszinsen hervorging.
Im Mai 1690 zeigte Jacob Bernoulli in einem in der Acta Eruditorum veröffentlichten Papier, dass das Problem der Bestimmung der Isochrone äquivalent ist zum Lösen einer nichtlinearen Differentialgleichung erster Ordnung. Die Isochrone oder Kurve konstanten Abstiegs ist die Kurve, entlang derer ein Teilchen unter der Einwirkung der Schwerkraft von jedem Punkt zum Boden in genau der gleichen Zeit absteigt, unabhängig vom Ausgangspunkt. Sie war 1687 von Huygens und 1689 von Leibniz untersucht worden. Nachdem Bernoulli die Differentialgleichung gefunden hatte, löste er sie dann durch das, was wir heute Variablentrennung nennen. Jacob Bernoullis Papier von 1690 ist für die Geschichte der Infinitesimalrechnung wichtig, da der Begriff integral zum ersten Mal mit seiner Integrationsbedeutung auftaucht. 1696 löste Bernoulli die Gleichung, die jetzt Bernoulli-Differentialgleichung genannt wird,
Jacob Bernoulli entdeckte auch eine allgemeine Methode zur Bestimmung von Evoluten einer Kurve als Hülle ihrer Krümmungskreise. Er untersuchte auch Kaustiken und insbesondere studierte er diese zugehörigen Kurven der Parabel, der logarithmischen Spirale und von Epizykloiden um 1692. Die Lemniskate des Bernoulli wurde erstmals von Jacob Bernoulli 1694 konzipiert. 1695 untersuchte er das Zugbrückenproblem, das die Kurve sucht, die erforderlich ist, damit ein Gewicht, das entlang des Kabels gleitet, die Zugbrücke immer im Gleichgewicht hält.
Jacob Bernoullis originellstes Werk war Ars Conjectandi, veröffentlicht in Basel 1713, acht Jahre nach seinem Tod. Das Werk war zum Zeitpunkt seines Todes unvollständig, aber es ist immer noch ein Werk von größter Bedeutung in der Wahrscheinlichkeitstheorie. In dem Buch rezensierte Bernoulli Arbeiten anderer zur Wahrscheinlichkeit, insbesondere Arbeiten von van Schooten, Leibniz und Prestet. Die Bernoulli-Zahlen erscheinen in dem Buch in einer Diskussion der Exponentialreihe. Viele Beispiele werden gegeben, wie viel man beim Spielen verschiedener Glücksspiele erwarten würde zu gewinnen. Der Begriff Bernoulli-Versuch resultierte aus dieser Arbeit. Es gibt interessante Gedanken darüber, was Wahrscheinlichkeit wirklich ist:
... Wahrscheinlichkeit als messbarer Grad der Gewissheit; Notwendigkeit und Zufall; moralische versus mathematische Erwartung; a priori und a posteriori Wahrscheinlichkeit; Erwartung zu gewinnen, wenn Spieler nach Geschicklichkeit eingeteilt werden; Beachtung aller verfügbaren Argumente, ihre Bewertung und ihre berechenbare Auswertung; Gesetz der großen Zahlen ...
Bernoulli war einer der bedeutendsten Förderer der formalen Methoden der höheren Analysis. Scharfsinn und Eleganz sind in seiner Darstellungs- und Ausdrucksweise selten zu finden, aber es gibt ein Maximum an Integrität.
Entdeckung der mathematischen Konstante e
1683 entdeckte Bernoulli die Konstante e durch das Studium einer Frage zum Zinseszins, die ihn dazu zwang, den Wert des folgenden Ausdrucks zu finden, der tatsächlich e ist:
Ein Beispiel ist ein Konto, das mit 1,00 US-Dollar beginnt und 100 Prozent Zinsen pro Jahr zahlt. Wenn die Zinsen einmal am Ende des Jahres gutgeschrieben werden, beträgt der Wert 2,00 US-Dollar; aber wenn die Zinsen zweimal im Jahr berechnet und hinzugefügt werden, wird die 1 US-Dollar zweimal mit 1,5 multipliziert, was 1,00 US-Dollar × 1,5² = 2,25 US-Dollar ergibt. Die Verzinsung vierteljährlich ergibt 1,00 US-Dollar × 1,25⁴ = 2,4414..., und die monatliche Verzinsung ergibt 1,00 US-Dollar × 1,0833...¹² = 2,613035....
Bernoulli bemerkte, dass diese Folge einen Grenzwert nähert sich die Kraft des Zinses für mehr und kleinere Verzinsungsintervalle. Die wöchentliche Verzinsung ergibt 2,692597..., während die tägliche Verzinsung 2,714567... ergibt, nur zwei Cent mehr. Mit n als der Anzahl der Verzinsungsintervalle, mit Zinsen von 100% / n in jedem Intervall, ist der Grenzwert für große n die Zahl, die Euler später e nannte; mit kontinuierlicher Verzinsung wird der Kontowert 2,7182818.... erreichen. Allgemeiner wird ein Konto, das mit 1 US-Dollar beginnt und 1 + R US-Dollar mit Zinseszins ergibt, e^R US-Dollar mit kontinuierlicher Verzinsung erzielen.
Grabstein
Bernoulli wünschte sich eine logarithmische Spirale und das Motto Eadem mutata resurgo „Obwohl verändert, erhebe ich mich dieselbe" auf seinem Grabstein eingraviert. Er schrieb, dass die selbstähnliche Spirale „als Symbol der Kraft und Beständigkeit in Widrigkeiten oder des menschlichen Körpers verwendet werden kann, der nach all seinen Veränderungen, sogar nach dem Tod, in seine genaue und vollkommene Form zurückversetzt wird." Bernoulli starb 1705, aber eine archimedische Spirale wurde statt einer logarithmischen eingraviert.
Übersetzung der lateinischen Inschrift:
Jacob Bernoulli, der unvergleichliche Mathematiker.
Professor an der Universität Basel Mehr als 18 Jahre lang;
Mitglied der Königlichen Akademien von Paris und Berlin; berühmt für seine Schriften.
Von einer chronischen Krankheit, bei klarem Verstand bis zum Ende;
erlag im Gnadenjahr 1705, dem 16. August, im Alter von 50 Jahren und 7 Monaten, in Erwartung der Auferstehung.
Judith Stupanus,
seine Ehefrau für 20 Jahre,
und seine zwei Kinder haben ein Denkmal für den Ehemann und Vater errichtet, den sie so sehr vermissen.
