Raghavan Narasimhan: Der Mann, der das Levi-Problem löste

1962 lud der Internationale Mathematikerkongress einen jungen indischen Analysten ein, einen seiner Hauptvorträge zu halten. Er war fünfundzwanzig Jahre alt und sollte erst ein Jahr später seinen Doktorgrad erhalten. Die Einladung war keine Höflichkeitsgeste: Zwei Jahre zuvor hatte Raghavan Narasimhan das Levi-Problem für komplexe Räume gelöst – eine Fragestellung, die ein halbes Jahrhundert lang offen geblieben war und eine Generation der besten Analysten Europas besiegt hatte. Er verbrachte die folgenden fünf Jahrzehnte in Chicago und schrieb die Lehrbücher, aus denen alle anderen das Fach lernten.

Madras und Pater Racine

Er wurde am 31. August 1937 in Madras geboren. Seine mathematische Ausbildung begann dort am Loyola College, wo er 1957 seinen Bachelor-Abschluss machte und bei Pater Racine studierte, dem französischen Jesuiten, der die kontinentale Analysis in ein Land trug, das zwar Ramanujan hervorgebracht hatte, aber nur über geringe institutionelle Infrastruktur verfügte. Narasimhan ging nach Bombay in den Dunstkreis des Tata Institute und promovierte 1963 an der Universität Bombay bei dem Zahlentheoretiker K. Chandrasekharan.

Bei der Chronologie lohnt es sich zu verweilen. Die Promotion erfolgte 1963. Die Sätze kamen 1960 und 1961.

Das Levi-Problem

Die Funktionentheorie einer Veränderlichen ist ein Gebiet von wunderbarer Rigorosität: Eine holomorphe Funktion auf einer Scheibe ist durch bemerkenswert wenige Daten bestimmt. Bei mehreren Veränderlichen wird diese Rigorosität seltsam. Manche Regionen des komplexen Raumes besitzen die Eigenschaft, dass sich jede holomorphe Funktion darauf automatisch auf eine größere Region fortsetzt – die Region ist sozusagen nicht die natürliche Heimat ihrer eigenen Funktionen. Regionen, die ihre eigene natürliche Heimat sind, werden Holomorphiegebiete genannt, und 1910 fragte E. E. Levi, welche das sind, wobei er vermutete, dass eine geometrische Bedingung am Rand namens Pseudokonvexität die Antwort ist.

Die Frage erwies sich als brutal schwer. Kiyoshi Oka löste sie in den 1940er und 1950er Jahren schließlich für Gebiete im komplexen euklidischen Raum. Hans Grauert behandelte daraufhin komplexe Mannigfaltigkeiten. Was blieb, war der allgemeine und delikateste Fall: komplexe Räume, die Singularitäten aufweisen dürfen – Punkte, an denen der Raum lokal kein schönes Stück von C^n ist, sondern etwas Gequetschter oder Gekreuzter. Singularitäten zerstören die Werkzeuge. Narasimhans Arbeiten „The Levi problem for complex spaces“ in den Mathematischen Annalen von 1961 und deren Fortsetzung schlossen diesen Fall ab. Das Resultat wird nach wie vor als Grauert-Narasimhan zitiert, was die Art und Weise der Disziplin ist festzuhalten, dass der letzte und schwerste Schritt seiner war.

Einbettung

Sein anderer nach ihm benannter Satz erschien zuerst, im Jahr 1960, in einer Arbeit im American Journal of Mathematics mit dem Titel „Imbedding of Holomorphically Complete Complex Spaces“. Steinsche Mannigfaltigkeiten sind die komplex-analytischen Objekte, die genügend holomorphe Funktionen tragen, um ihre eigenen Punkte zu trennen – das analytische Pendant zu affinen algebraischen Varietäten und der natürliche Rahmen für das gesamte Thema. Abstrakt definiert sind sie schwer vorstellbar. Narasimhan bewies, dass jede Steinsche Mannigfaltigkeit von komplexer Dimension n eine injektive, eigentliche holomorphe Immersivität in C^{2n+1} zulässt.

Dieser Satz leistet enorme Arbeit. Er besagt, dass eine abstrakte Steinsche Mannigfaltigkeit niemals exotisch ist: Sie lässt sich stets konkret als abgeschlossene Teilmenge eines gewöhnlichen komplexen euklidischen Raumes von beschränkter Dimension realisieren, wobei die Schranke nur von n abhängt. Er ist das komplex-analytische Pendant zu Whitneys Einbettungssatz in der Differentialtopologie und verwandelte eine Klasse abstrakt definierter Objekte in etwas Greifbares. Das Ergebnis trägt seinen Namen.

Chicago

Er war 1966 Gastwissenschaftler am Institute for Advanced Study in Princeton und trat 1969 der mathematischen Fakultät der Universität Chicago bei, wo er über vier Jahrzehnte blieb und als Professor emeritus ausschied. Seine Interessen wurden breiter statt enger: Neben mehreren komplexen Veränderlichen arbeitete er in der analytischen Zahlentheorie und kollaborierte in den 1990er Jahren mit Charles Fefferman aus Princeton, einem Fields-Medaillenträger, an Arbeiten an der Schnittstelle von Analysis und reeller algebraischer Geometrie – einer Paarung zweier der technisch formidabelsten Analysten überhaupt. Die Universität Genf verlieh ihm 1986 die Ehrendoktorwürde.

Die Bücher

Narasimhan schrieb sechs Bücher, und ihr Einfluss übertrifft am Ende vielleicht den der Sätze. Analysis on Real and Complex Manifolds (1968), der Chicago-Vorlesungsband Several Complex Variables (1971) und Complex Analysis in One Variable (2001) sind komprimiert, präzise und berühmt-berüchtigt unnachgiebig – Bücher, die voraussetzen, dass der Leser den kürzesten korrekten Weg anstelle von Beruhigung sucht. Generationen von Graduierten lernten mehrere komplexe Veränderliche aus ihnen. Kollegen erinnerten sich an einen Mann, der klassische Musik und Wein gleichermaßen ernst nahm und der, wie sich einer erinnerte, „eine wahrlich erstaunliche Intuition in der Analysis besaß“.

Er starb am 3. Oktober 2015 im Alter von achtundsiebzig Jahren nach kurzer Krankheit.

Warum Raghavan ein Genie genannt wird

Seien wir konkret, denn dort liegt der Kern. Zwei Ergebnisse, beide erzielt, bevor er fünfundzwanzig Jahre alt war und bevor er einen Doktortitel besaß, von denen jedes ein Problem abschloss, anstatt es nur voranzubringen.

Der Einbettungssatz ist der sauberere. Er beantwortet eine Frage der Form „Wie wild können diese Objekte sein?“ mit „Überhaupt nicht wild“ – jede Steinsche Mannigfaltigkeit der Dimension n liegt ordentlich im Inneren von C^{2n+1}. Resultate dieser Gestalt sind selten und überproportional nützlich, weil sie alle anderen davon entlasten, sich um eine ganze Kategorie möglicher Pathologien sorgen zu müssen.

Das Levi-Problem ist schwieriger und schwerer zu erklären. Oka und Grauert hatten die glatten Fälle bearbeitet; übrig blieben komplexe Räume mit Singularitäten, genau dort, wo der Standardmaschinensatz tückisch wird. Ein fünfzig Jahre altes Problem in seinem degeneriertesten Fall als Doktorand gegen die besten Analysten Europas zu vollenden, ist das, wofür das Wort „Genie“ geprägt wurde. Die Einladung des ICM an einen Fünfundzwanzigjährigen ohne Doktortitel ist das Urteil der Profession selbst, das damals gefällt wurde.

Das Gegenargument betrifft eher den Maßstab als die Qualität. Narasimhan begründete kein Fachgebiet und orientierte keine Disziplin neu; er löste zwei schwere Probleme innerhalb eines Feldes, das andere definiert hatten, und verbrachte danach fünfzig produktive, aber weniger spektakuläre Jahre darin. Er gewann keine Fields-Medaille, keinen Wolf-Preis, keinen Abelpreis; seine größte Auszeichnung war ein Ehrendoktor aus Genf. Neben Mathematikern betrachtet, die den Gegenstand des Faches veränderten, ist seine Bilanz die eines außergewöhnlich starken Analysten mit zwei großartigen Ergebnissen am Anfang und einem langen, verdienstvollen Plateau danach – ein Genie im strengen, lokalen Sinn, das mit dreiundzwanzig Jahren sah, was sonst niemand sehen konnte, statt ein Geist, der die Landkarte neu zeichnete.

Vermächtnis

Der Narasimhan-Einbettungssatz und die Grauert-Narasimhan-Lösung des Levi-Problems sind feste Bestandteile der Theorie mehrerer komplexer Veränderlicher und werden überall dort gelehrt, wo das Fach unterrichtet wird. Seine Lehrbücher bilden das zweite Vermächtnis und jenes, das mehr Menschen berührt hat: Generationen von Mathematikern begegneten der komplexen Analysis erstmals in seiner anspruchsvollen Prosa. Das dritte ist institutioneller Natur und leicht zu übersehen: Er war Teil der Kohorte, die Pater Racine und K. Chandrasekharan in den 1950er und 1960er Jahren hervorbrachten – jene Generation, die die indische Mathematik zu einer permanenten Präsenz in der internationalen Literatur anstelle eines gelegentlichen Wunderkinds machte.