Maryna Viazovska: Die magische Funktion, die acht Dimensionen packte

Nur Stunden nachdem Maryna Viazovska im März 2016 eine kurze Arbeit online gestellt hatte, mailte der Mathematiker Akshay Venkatesh einem Kollegen mit einer einwörtigen Betreffzeile: „Wow!“. Die Arbeit löste in einem nur wenige Seiten umfassenden Beweis ein Problem über das Stapeln von Kugeln im achtdimensionalen Raum, das sich dem Fachgebiet über Jahrzehnte widersetzt hatte — und sie tat dies, laut Peter Sarnak aus Princeton, auf eine so elegante Weise, dass seine Arbeit „eine jener Arbeiten war, die man in die Hand nimmt und nicht mehr weglegt, bevor man sie gelesen hat“. Sechs Jahre später wurde Viazovska erst die zweite Frau in der Geschichte, die die Fields-Medaille gewann.

Tochter eines Chemikers im postsowjetischen Kiew

Maryna Sergiivna Viazovska wurde am 2. Dezember 1984 in Kiew geboren, als älteste von drei Schwestern, als Tochter eines Vaters, der als Chemiker in der Flugzeugfabrik Antonow arbeitete, und einer Mutter, die Ingenieurin war. Sie wuchs inmitten der wirtschaftlichen Turbulenzen der postsowjetischen Ukraine auf und besuchte das Kiewer Naturwissenschaftliche Lyzeum Nr. 145, eine spezialisierte Schule für wissenschaftlich begabte Schüler, wo ein ehemaliger Forschungsmathematiker, der Lehrer wurde, Andrii Knyazyuk, ihre frühe mathematische Entwicklung prägte. Sie nahm ernsthaft an Olympiaden teil — und belegte national den 13. Platz in einem Wettbewerb, der zwölf Schüler für das Training zur Internationalen Mathematik-Olympiade auswählte, womit sie den Schnitt knapp verpasste — und als Bachelorstudentin an der Nationalen Taras-Schewtschenko-Universität Kiew gewann sie den International Mathematics Competition for University Students sowohl 2002 als auch 2005 und war im selben Jahr Koautorin ihrer ersten Forschungsarbeit.

Von Kiew nach Bonn

Ihre formale Ausbildung erstreckte sich über mehrere Länder: einen Masterabschluss von der Universität Kaiserslautern in Deutschland (2007), einen Doktortitel vom Institut für Mathematik der Nationalen Akademie der Wissenschaften der Ukraine (2010) und einen Doktortitel (Dr. rer. nat.) von der Universität Bonn im Jahr 2013, wo sie bei Don Zagier und Werner Müller über Modulformen und spezielle Zyklen in der analytischen Zahlentheorie studierte. Vor ihrem bedeutenden Durchbruch hatte sie sich bereits einen Forschungsruf erarbeitet: Eine Arbeit aus dem Jahr 2011 mit Andriy Bondarenko und Danylo Radchenko, die eine Vermutung von Korevaar und Meyers über kleine sphärische Designs in beliebigen Dimensionen bewies, wurde in den Annals of Mathematics veröffentlicht — einer der selektivsten Zeitschriften des Fachgebiets — Jahre bevor sie außerhalb von Zahlentheorie-Kreisen weithin bekannt wurde.

Das Kugelpackungsproblem

Die Frage, die Viazovska zu beantworten versuchte, hat eine lange und berühmte Geschichte: Wie können identische Kugeln in den Raum gepackt werden, um den größtmöglichen Teil des Volumens zu füllen? In drei Dimensionen ist dies die Kepler-Vermutung, die erst in den späten 1990er und 2000er Jahren durch ein erschöpfendes, computergestütztes Argument bewiesen wurde. In bestimmten höheren Dimensionen nimmt das Problem aufgrund spezieller, hochsymmetrischer Gitter eine unerwartete Struktur an — vor allem das E₈-Gitter in acht Dimensionen und das Leech-Gitter in vierundzwanzig. Mathematiker hatten lange vermutet, dass diese Gitter die dichtestmöglichen Kugelpackungen in ihren jeweiligen Dimensionen lieferten, aber niemand hatte einen Weg, dies zu beweisen.

Die „magische Funktion“

Im Jahr 2016, als sie nach Postdoc-Positionen an der Berlin Mathematical School, der Humboldt-Universität und einem Minerva-Stipendium in Princeton weitgehend allein arbeitete, konstruierte Viazovska das, was als „magische Funktion“ für die Dimension 8 bekannt wurde — nicht aus den Modulformen aufgebaut, von denen die meisten Zahlentheoretiker erwarteten, dass ein solcher Beweis sie erfordern würde, sondern aus einer quasimodularen Form mit absichtlich unvollkommenen Symmetrien. Die Funktion ermöglichte es ihr, in einem für die Standards des Fachgebiets bemerkenswert kurzen und sauberen Argument zu beweisen, dass das E₈-Gitter in der Tat die dichtestmögliche Kugelpackung in acht Dimensionen liefert. Innerhalb einer Woche erweiterte sie in Zusammenarbeit mit Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller und Danylo Radchenko dieselbe Technik, um den 24-dimensionalen Fall mithilfe des Leech-Gitters zu lösen — ein Ausbruch kollaborativer Arbeit, den Radchenko später als „wahrscheinlich die verrückteste Woche meines Lebens“ bezeichnete. Die beiden Ergebnisse, die innerhalb weniger Tage nacheinander veröffentlicht wurden, klärten die Kugelpackung in den einzigen zwei Dimensionen jenseits von drei, für die damals eine exakte Antwort bekannt war.

Jenseits der Packung: Universelle Optimalität

Viazovska und ihre Mitarbeiter gingen in den Folgejahren weiter und bewiesen 2019, dass das E₈- und das Leech-Gitter „universell optimal“ sind — was bedeutet, dass sie das Potenzial nicht nur für ein physikalisches Modell, sondern über eine ganze breite Klasse von Energiefunktionen minimieren, mit Auswirkungen, die von Elektronenabstoßung bis zu Polymerkonfigurationen reichen. Die Mathematikerin Sylvia Serfaty verglich das Ergebnis mit „großen Durchbrüchen des 19. Jahrhunderts“ und nannte es „einen großen Fortschritt der Wissenschaft“. Die Arbeit brachte auch die Fourier-Analyse breiter voran, durch Viazovskas Ansatz zur Rekonstruktion von Funktionen aus partiellen Spektralinformationen — eine Technik mit Anwendungen weit über das Kugelpackungsproblem hinaus, das sie inspirierte.

Die Fields-Medaille und Anerkennung

Im Juli 2022 erhielt Viazovska die Fields-Medaille und wurde nach Maryam Mirzakhani die zweite Frau, die sie gewann, nach Wladimir Drinfeld die zweite Mathematikerin aus der Ukrainischen SSR und die erste Fields-Medaillengewinnerin, die einen Abschluss einer ukrainischen Universität besitzt. Die Ehrung folgte auf eine Reihe bedeutender Preise: den Salem-Preis (2016), den Clay Research Award (2017), den SASTRA-Ramanujan-Preis (2017), den Europäischen Preis für Kombinatorik (2017), den New Horizons Prize (2018), den Ruth Lyttle Satter Prize (2019), den Fermat-Preis (2019), den EMS-Preis (2020) und den Nationalen Latsis-Preis (2020). Sie wurde später im Jahr 2022 in die 100-Women-Liste der BBC aufgenommen. Seit Januar 2018 hat sie den Lehrstuhl für Zahlentheorie an der EPFL in Lausanne, Schweiz, inne, wo sie mit ihrem Ehemann, dem Physiker Daniil Evtushinsky — den sie als Teenager in einer physikalischen Arbeitsgruppe kennengelernt hatte — und ihren zwei Kindern lebt.

Warum Maryna Viazovska als Genie bezeichnet wird

Die spezifische mathematische Qualität hinter dem Etikett „Genie“ ist Viazovskas Konstruktion eines exakten Beweises in geschlossener Form, wo das Fachgebiet ein erschöpfendes, computergestütztes Argument erwartete, das hunderte von Seiten umfasste — wie es zuvor im dreidimensionalen Kepler-Fall nötig war. Das Auffinden der präzisen quasimodularen Form, die den achtdimensionalen Beweis zum Funktionieren brachte, erforderte eine ungewöhnliche und schwer zu lehrende Kombination aus tiefer technischer Beherrschung von Modulformen und einem fast ästhetischen Instinkt dafür, welche Funktion die notwendigen Interpolationsbedingungen erfüllen würde; dieser Instinkt ist genau das, worauf die Mathematiker, die die Arbeit begutachteten, von Sarnak bis Venkatesh, mit offenem Erstaunen statt mit routinemäßiger professioneller Zustimmung reagierten. Die ehrliche Grenze der Einordnung ist, dass das Kugelpackungsproblem in acht und vierundzwanzig Dimensionen genau deshalb handhabbar war, weil diese beiden Dimensionen über außergewöhnliche Gitterstrukturen (E₈ und das Leech-Gitter) verfügen, die in allgemeinen Dimensionen nicht verfügbar sind — die Leistung verallgemeinert sich nicht auf beliebige Dimensionen, und das breitere Kugelpackungsproblem des Fachgebiets bleibt fast überall sonst offen. Die 24-dimensionale Erweiterung war zudem explizit eine schnelle Gruppenkollaboration mit Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller und Danylo Radchenko statt eine Soloarbeit, und selbst der gefeierte 8-dimensionale Beweis stützte sich auf einen existierenden Ansatz der linearen Programmierung für Kugelpackungsschranken, den andere Forscher, darunter Cohn, bereits entwickelt hatten, bevor Viazovska die spezifische Funktion fand, die zu seiner Vervollständigung nötig war.

Vermächtnis

Viazovskas Methoden sind bereits zu einem Standardreferenzpunkt im Studium von Packungs-, Energieminimierungs- und Fourier-Interpolationsproblemen geworden, und ihre Fields-Medaille — verliehen inmitten der ersten Monate der großangelegten russischen Invasion der Ukraine — hatte ein besonderes symbolisches Gewicht für die ukrainische Wissenschaft, ein Land, dessen mathematische Institutionen sie seitdem öffentlich weiterhin unterstützt. An der EPFL bildet sie weiterhin die nächste Generation von Zahlentheoretikern aus, die an der Grenze der Gittergeometrie und analytischen Zahlentheorie arbeiten, die ihre eigene Karriere mitbestimmt hat.