Marston Conder: Der Mann, der die Symmetrien zählte

Jeder praktizierende Mathematiker auf der Welt, der jeden trivalenten symmetrischen Graphen mit bis zu zehntausend Knoten kennen muss, leitet ihn nicht her. Er lädt die Liste von Marston Conder herunter. Dasselbe gilt für reguläre und chirale Landkarten auf Flächen über eine große Bandbreite von Geschlechtern hinweg, für Automorphismengruppen kompakter Riemannscher Flächen sowie für reguläre und chirale Polytope. Über vier Jahrzehnte hinweg in Auckland verwandelte Conder die abstrakte Frage „Was sind die symmetrischsten Objekte dieser Art?“ in etwas, das man nachschlagen kann – und wurde dabei stillschweigend zu einem der am häufigsten genutzten Mathematiker seiner Generation.

Von Matamata nach Oxford

Er wurde im September 1955 in Hamilton, Neuseeland, geboren und besuchte das Matamata College – ein Start in einer Kleinstadt, so weit von den Zentren der reinen Mathematik entfernt, wie es nur möglich ist. Sein erster höherer Abschluss war gar nicht in Mathematik: Er erwarb 1977 einen Master in Sozialwissenschaften an der Universität von Waikato. Drei Jahre später hatte er einen Doktortitel aus Oxford.

Sein Betreuer in Oxford war Graham Higman, eine der überragenden Figuren der Gruppentheorie des zwanzigsten Jahrhunderts und ein Begründer des modernen kombinatorischen Ansatzes für dieses Fachgebiet. Die Dissertation von Conder aus dem Jahr 1980, "Minimal generating pairs for permutation groups" (Minimale Erzeugerpaare für Permutationsgruppen), kündigte bereits im Titel seine lebenslange Beschäftigung an. Die Frage ist trügerisch einfach: Kann man, gegeben eine Gruppe, sie vollständig aus nur zwei Elementen erzeugen, und wenn ja, welche zwei sind das, gewählt so ökonomisch wie möglich? Die Erzeugung durch zwei Elemente ist das Scharnier, um das sich eine enorme Menge an Symmetrietheorie dreht, denn die symmetrischsten Objekte in der Geometrie und Kombinatorik sind genau diejenigen, deren Symmetriegruppen durch eine sehr kleine Anzahl sehr einfacher Bewegungen erzeugt werden.

Objekte maximaler Symmetrie

Conders Programm, das er vierzig Jahre lang verfolgte, lässt sich in einem Satz formulieren: Untersuche die diskreten Strukturen, die unter gegebenen Einschränkungen die maximal mögliche Symmetrie aufweisen. Lege eine Einschränkung fest – ein Graph muss trivalent sein, eine Landkarte muss auf einer Fläche vom Geschlecht fünf liegen, ein Polytop muss einen gegebenen Rang haben – und frage, welche Objekte, die dies erfüllen, so symmetrisch wie nur möglich sind. Die Antworten sind selten offensichtlich und fast nie zahlreich, was sie es wert macht, katalogisiert zu werden.

Die Werkzeuge stammten aus der kombinatorischen und computergestützten Gruppentheorie, einschließlich Techniken zum Umgang mit endlich präsentierten Gruppen und deren Abbildungen. Dies ist der Zweig der Algebra, in dem eine Gruppe nicht durch das Auflisten ihrer Elemente spezifiziert wird, sondern durch eine Handvoll Erzeuger und Relationen. Die zentrale Schwierigkeit dabei ist, dass eine solche Präsentation fast alles verbergen kann – einschließlich einer Gruppe, die unendlich oder trivial ist, ohne dass es eine einfache Möglichkeit gibt, dies zu erkennen. Conders Spezialität war es, harte, erschöpfende und beweisbar vollständige Antworten aus derartigen Präsentationen zu gewinnen, und zwar in einem Maßstab, der erst möglich wurde, als die Computertechnologie richtig mit der Theorie verheiratet wurde.

Landkarten, Chiralität und Polytope

Das ergiebigste Feld waren Landkarten: Einbettungen von Graphen in Flächen, wobei die interessanten Fälle die regulären sind, deren Symmetriegruppe so transitiv agiert, wie die Struktur es zulässt. Neben ihnen stehen die chiralen Objekte, die jede Rotationssymmetrie, aber keine Spiegelung zulassen – das mathematische Analogon einer linken Hand, die auf kein Spiegelbild von sich selbst deckungsgleich abgebildet werden kann. Die Jones-Medaille 2018 der Royal Society of New Zealand zitierte genau dies: seine Arbeit über „Symmetrie und Chiralität in diskreten Strukturen“.

Er weitete denselben Ansatz aus. Das Institute of Combinatorics and its Applications, das ihm die Euler-Medaille verlieh, listete Graph-Symmetrien und -Einbettungen, reguläre und chirale Landkarten, reguläre und chirale Polytope, Kantenpartitionen von Graphen, höherdimensionale Expander-Graphen und binäre Gray-Codes auf – ein Spektrum, das von klassischer Flächentopologie bis hin zu Objekten mit direkter Anwendung in der Kodierungs- und Netzwerktheorie reicht. Mehr als 170 Arbeiten gingen daraus hervor sowie fünfzehn Doktoranden.

Der Bestandsaufnehmer

Was Conder von anderen starken Algebraikern unterscheidet, ist das, was er mit den Ergebnissen tat. Anstatt einen Satz zu veröffentlichen und weiterzuziehen, erstellte und veröffentlichte er Repositorien – vollständige Bestandsaufnahmen von Objektklassen, einmal korrekt berechnet und zur freien Verfügung gestellt. Der Katalog trivalenter symmetrischer Graphen umfasst bis zu 10.000 Knoten. Die Landkarten- und Polytop-Zählungen decken Bereiche ab, die zuvor niemand erreicht hatte. Diese werden international konsultiert, auch von Forschern ohne Interesse an Gruppentheorie, die einfach nur wissen müssen, ob ein Objekt mit bestimmten Eigenschaften existiert, oder eine Vermutung an jedem bekannten Fall testen müssen, bevor sie ein Jahr damit verschwenden.

Diese Angewohnheit – Wissen als Infrastruktur und nicht als persönliches Eigentum zu behandeln – ist explizit Teil seiner Zitationsbilanz; das ICA hob seinen Ruf hervor, Wissen frei zu teilen, sowie seine Forschungs-Repositorien, die jeder nutzen kann.

Der öffentliche Mathematiker

Conder wurde 1993 ordentlicher Professor in Auckland und 2012 Distinguished Professor. Er war von 1993 bis 1995 Präsident der New Zealand Mathematical Society, Ko-Direktor des New Zealand Institute of Mathematics and its Applications und von 2006 bis 2008 Präsident der Academy of the Royal Society of New Zealand – das höchste wissenschaftliche Amt des Landes, bekleidet von einem reinen Mathematiker, was nirgendwo sonst üblich ist.

Die Ehrungen folgten auf die Arbeit: die James Cook Research Fellowship im Jahr 2011, die Mitgliedschaft in der American Mathematical Society im Jahr 2012, die Hector-Medaille 2014, die Jones-Medaille 2018 und im Jahr 2020 sowohl die Euler-Medaille des Institute of Combinatorics and its Applications – für herausragende Lebensleistungen in der kombinatorischen Forschung – als auch die Ernennung zum Officer des New Zealand Order of Merit.

Warum Marston als Genie bezeichnet wird

Die spezifische Qualität ist ein seltener Hybrid: algebraische Tiefe gepaart mit computergestützter Disziplin. Viele Mathematiker können einen Satz über symmetrische Strukturen beweisen; viele andere können Code schreiben, der Beispiele auflistet. Conders charakteristische Leistung ist die erschöpfende Klassifizierung – ein Beweis dafür, dass eine berechnete Liste nicht nur lang, sondern vollständig ist, dass nichts übersehen wurde. Das erfordert Theorie, um den Suchraum einzugrenzen, Berechnung, um ihn zu durchsuchen, und eine Toleranz für Fehlerprüfung, die die meisten Theoretiker unter ihrem Niveau und die meisten Programmierer außerhalb ihrer Fähigkeiten finden. Seine Bestandsaufnahmen haben Bestand; das ist der ultimative Test.

Die Laudatio zur Euler-Medaille nennt vierzig Jahre herausragender Beiträge zu Graph-Symmetrien, chiralen Landkarten und Polytopen, Expandern und Gray-Codes, und die Jones-Medaille nennt spezifisch Symmetrie und Chiralität. Dies sind professionelle Gremien, die ihre ranghöchsten Instrumente einsetzen, was in der Kombinatorik dem Wort „Genie“ am nächsten kommt.

Das Gegenargument sollte man offen aussprechen. Conder hat kein berühmtes offenes Problem gelöst und keine Theorie eingeführt, die seinen Namen trägt. Es gibt keine Conder-Vermutung, keine Conder-Invariante. Sein Genie ist eher kartographischer Art – die erschöpfende, zuverlässige Kartierung eines Gebiets, dessen Grenzen andere gezogen hatten – als die Art, die neues Land erschließt. Ein hartnäckiger Bewerter würde sagen, er sei der beste Zähler, den die Mathematik in seinem Bereich hervorgebracht hat, und dass Unverzichtbarkeit nicht dasselbe ist wie revolutionär. Die Antwort darauf lautet, dass in einer Disziplin, die in unbestätigten Behauptungen ertrinkt, vollständige und korrekte Antworten seltener sind als kluge und länger überdauern.

Vermächtnis

Conders nachhaltigstes Vermächtnis ist für einen reinen Mathematiker eigentümlich: Es ist eine Reihe von Tabellen. Seine Repositorien werden von Menschen konsultiert, die seine Beweise nie lesen und vielleicht seinen Namen nicht kennen, so wie Ingenieure Tabellen physikalischer Konstanten konsultieren. Dahinter steht das schwierigere Vermächtnis – der Beweis, dass ein kleines Land mit fast keiner kritischen Masse in seinem Fachgebiet weltweit führende Arbeit leisten kann und dass ein Mathematiker eine nationale Akademie leiten kann, ohne aufzuhören, ein aktiver Forscher zu sein. Fünfzehn Doktoranden und 170 Arbeiten später ist die neuseeländische Kombinatorik ein anerkannter internationaler Knotenpunkt und kein Außenposten mehr, und vieles davon geht auf einen Mann in Auckland zurück, der einfach weiterzählte.