Mark Kac: Kann man die Form einer Trommel hören?

Im Jahr 1966 veröffentlichte ein polnisch-amerikanischer Wahrscheinlichkeitstheoretiker einen Artikel, der auf einer Frage basierte, die ein Kind stellen könnte: Wenn man eine Trommel hört, kann man dann sagen, welche Form sie hat? Die Antwort lautete nein – verschiedene Resonatoren können identische Eigenfrequenzen teilen. Diese Frage begründete ein Fachgebiet. Kac gewann zwei Jahre später für den Artikel einen Chauvenet-Preis, seinen zweiten, und hinterließ eine der wenigen mathematischen Fragen, die zu einem Satz wurden, den Menschen zitieren, ohne zu wissen, von wem er stammte.

Kremenez, und eine Grenze, die sich verschob

Kac wurde am 3. August 1914 in Kremenez – auf Polnisch Krzemieniec – im damaligen Russischen Kaiserreich in eine polnisch-jüdische Familie hineingeboren. Die Stadt wechselte während seiner Kindheit den Besitzer und ging im Frieden von Riga vom nun sowjetischen Teil der Ukraine an Polen über. Er zog nicht um; die Grenze tat es. Es ist ein passender Ursprung für einen Mathematiker, der seine Karriere damit verbrachte, das Verhalten von Systemen zu untersuchen, die sich unter einem verschieben.

Lemberg, Steinhaus und der Ausweg

Er promovierte 1937 an der Universität Lemberg (Lwów) bei Hugo Steinhaus und gehörte zur Lemberger Mathematischen Schule – der bedeutendsten Konzentration mathematischer Begabung im Polen der Zwischenkriegszeit, die im folgenden Jahrzehnt vernichtet werden sollte.

1938 ermöglichte ihm ein Stipendium der Parnas-Stiftung die Ausreise in die Vereinigten Staaten. Er kam im November 1938 in New York an. Der Zeitpunkt war buchstäblich der Unterschied zwischen einem Leben und einer Statistik: Er überquerte den Atlantik im letzten Zeitfenster, bevor es sich schloss.

Cornell, und der Krieg

Er kam 1939 an die Cornell University und stieg 1943 vom Instruktor zum Assistant Professor und 1947 zum ordentlichen Professor auf. 1943 wurde er als US-Bürger naturalisiert. Von 1943 bis 1945 arbeitete er mit George Uhlenbeck am MIT Radiation Laboratory im Rahmen der Radarentwicklung – einer jener Kriegsstellen, an denen reine Mathematiker entdeckten, dass ihre Abstraktionen unmittelbare physische Bedeutung hatten. Die Zusammenarbeit mit Uhlenbeck überdauerte den Krieg; beide arbeiteten später gemeinsam mit P. C. Hemmer an der Mathematik des van-der-Waals-Gases.

August 1942

Seine Eltern und sein Bruder blieben in Kremenez. Sie wurden von den Nazis bei den Massenhinrichtungen im August 1942 ermordet.

Diese Tatsache steht unkommentiert in seiner Biografie, wie solche Fakten es meistens tun, und sie sollte nicht zu einer Erzählung geglättet werden. Kac war in Amerika, unterrichtete in Cornell und befand sich mitten in einer aufstrebenden akademischen Karriere, als seine Familie in der Stadt getötet wurde, in der sich als Kind die Grenze um ihn herum verschoben hatte. Was auch immer die inneren Folgen waren, der äußere Lebenslauf zeigt einen Mann, der vierzig weitere Jahre arbeitete, und das produktiv, und der später den Committee of Concerned Scientists mitvorsitzte und die Fälle verfolgter Wissenschaftler, darunter Wladimir Samuilowitsch Kislik und Josif Begun, öffentlich machte. Er hatte früh gelernt, was es kostet, wenn niemand Lärm macht.

Statistische Physik: Der Ring und das Ising-Modell

Die 1950er Jahre waren sein Jahrzehnt der Physik. 1952 führte er mit Theodore H. Berlin das Kugelmodell eines Ferromagneten ein; mit J. C. Ward lieferte er eine exakte Lösung des Ising-Modells – selten und kostbar, da exakt lösbare Modelle die Fixpunkte sind, von denen aus sich ein ganzes Fachgebiet orientiert.

1956 folgte der Kac-Ring, und er ist vielleicht seine eleganteste Einzelkonstruktion. Das Rätsel, das er adressiert, ist alt und wahrhaft beunruhigend: Wie kann makroskopische Irreversibilität – die Tatsache, dass Dinge ablaufen und nie spontan wieder in den Ausgangszustand zurückkehren – aus mikroskopischen Gesetzen entstehen, die zeitlich perfekt symmetrisch sind? Loschmidts Paradoxon. Kac baute ein Spielzeugmodell, das einfach genug war, um es vollständig zu analysieren, und reichhaltig genug, um das Phänomen zu zeigen, und lieferte damit eine Erklärung statt eines Arguments. Das ist die höchste Form einer bestimmten Art mathematischer Physik: einen philosophischen Streit durch ein berechenbares Beispiel zu ersetzen.

Die Trommel

Sein Artikel von 1966 fragte, ob die geometrische Form einer Trommel durch ihren Klang eindeutig bestimmt ist. Die Antwort erwies sich im Allgemeinen als negativ – unterschiedliche Formen können dasselbe Spektrum erzeugen –, obwohl für bestimmte Formen, darunter kreisförmige Trommeln, die Geometrie tatsächlich aus dem Spektrum des Laplace-Operators abgeleitet werden kann. Daraus entstand die Spektralgeometrie, die systematische Untersuchung dessen, was das Spektrum eines Operators über den Raum aussagt, in dem er lebt.

Die Kraft der Frage liegt in ihrer Form. Sie ist in Alltagssprache formuliert, für einen Nicht-Mathematiker sofort verständlich und erfordert doch ernsthafte Apparaturen, um sie zu beantworten. Nur sehr wenige Forscher formulieren jemals ein Problem mit all diesen drei Eigenschaften.

Warum Mark als Genie bezeichnet wird

Die herausragende Fähigkeit ist die Auswahl der Fragen. Kacs technische Arbeit – die Ising-Lösung, das Kugelmodell, die van-der-Waals-Mathematik – ist erstklassig, aber viel erstklassige technische Arbeit verschwindet in der Literatur. Was ihn auszeichnet, ist, dass er wiederholt die Formulierung fand, die ein trübes Gebiet plötzlich bearbeitbar machte. Der Kac-Ring tat dies für Loschmidts Paradoxon: ein bis auf den Kern reduziertes Modell, das dennoch das zeigt, worüber alle stritten. Die Trommelfrage tat dies für die Spektralgeometrie: ein englischer Satz, der eine mathematische Disziplin eröffnete. Dies ist eine spezifische und seltene Begabung – nicht das Lösen schwieriger Probleme, sondern das Auffinden des schwierigen Problems, das es wert ist, gelöst zu werden, und es so klar zu formulieren, dass andere mit der Arbeit beginnen können.

Sein darstellerisches Talent ist derselbe Instinkt, der nach außen gerichtet ist, und er wurde anerkannt: zwei Chauvenet-Preise, 1950 für einen Artikel von 1947 und 1968 für das Trommel-Papier, plus der Lester R. Ford Award 1967. Die institutionellen Anerkennungen folgten – American Academy of Arts and Sciences 1959, National Academy of Sciences 1965, American Philosophical Society 1969, Solvay-Dozent in Brüssel 1971, Fermi-Dozent an der Scuola Normale in Pisa 1980.

Der Gegenbeweis: Niemand in den Unterlagen wendet das Wort tatsächlich auf ihn an, seine Preise sind für Darstellung eher als für Entdeckung, und die Trommelfrage ist teilweise deshalb berühmt, weil sie charmant ist – die Antwort wurde von anderen geliefert. Eine feindselige Lesart würde ihn eher als hervorragenden Kommunikator und sehr guten Mathematiker bezeichnen, nicht als einen großen. Die faire Lesart ist, dass Rahmung selbst eine Form der Entdeckung ist, und Kac tat dies mehr als einmal.

Vermächtnis

Kac verließ Cornell 1961 in Richtung der Rockefeller University, wo er etwa zwei Jahrzehnte bis 1981 verbrachte, und schloss an der University of Southern California ab. Er starb am 26. Oktober 1984. Seine Bücher – Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory (1959), Probability and Related Topics in the Physical Sciences (1959), Mathematics and Logic mit Stanislaw Ulam (1968) – lehrten eine Generation, und seine Autobiografie Enigmas of Chance erschien postum 1985. Der Titel wurde von einem Mann wohl gewählt, dessen Familie durch den Zufall einer Grenze starb und der durch den Zufall eines Stipendiums überlebte.