Leopold Kronecker: Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht

"Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk." Heinrich Weber berichtete diesen Satz, und er hat fast alles andere überlebt, was sein Autor gesagt hat, denn es ist keine fromme Randbemerkung, sondern eine Kriegserklärung. Der Mann, der ihn aussprach, verbrachte seine letzten Jahrzehnte damit, die moderne Mathematik von den unendlichen Objekten zu befreien, die seine Kollegen gerade zu erfinden begannen, und er machte sich dabei so viele Feinde, dass einer der größten Analysten Europas fast Berlin verlassen hätte, um ihm zu entkommen.

Liegnitz und ein Lehrer namens Kummer

Leopold Kronecker wurde am 7. Dezember 1823 in Liegnitz, Preußen – heute Legnica, Polen – in eine wohlhabende jüdische Familie geboren. Seine Eltern, Isidor und Johanna geborene Prausnitzer, engagierten Privatlehrer, bevor sie ihn auf das Liegnitzer Gymnasium schickten, wo er sich mit gleicher Begeisterung Naturwissenschaften, Geschichte und Philosophie widmete sowie schwamm und turnte. Sein jüngerer Bruder Hugo wurde ein bedeutender Physiologe. Am Gymnasium war sein Mathematiklehrer Ernst Kummer, der das Talent erkannte und förderte – eine Beziehung, die den Rest von Kroneckers Leben prägen sollte, da die Karrieren der beiden Männer immer wieder zusammenfielen.

Er immatrikulierte sich 1841 an der Berliner Universität, schwankte zwischen Astronomie, Philosophie und Mathematik, verbrachte den Sommer 1843 mit astronomischen Studien in Bonn und folgte dann Kummer für 1843-44 nach Breslau, bevor er nach Berlin zurückkehrte, wo er 1845 eine Dissertation in algebraischer Zahlentheorie bei Peter Gustav Lejeune Dirichlet verteidigte.

Der Geschäftsmann, der Mathematik betrieb

Was er als Nächstes tat, war für einen Mann seiner Begabung ungewöhnlich: gar nichts Akademisches. Er ging nach Hause, um ein großes landwirtschaftliches Gut zu verwalten und sich um Familiengeschäfte zu kümmern. Er heiratete 1848 seine Cousine Fanny Prausnitzer und hatte sechs Kinder. Er war etwa ein Jahrzehnt lang ein wohlhabender Provinzunternehmer, der nebenbei originelle Mathematik veröffentlichte – darunter eine Arbeit von 1853 über die algebraische Auflösbarkeit von Gleichungen, die die Arbeit von Galois erweiterte, und eine Behandlung der Gleichung fünften Grades von 1850 unter Verwendung der Gruppentheorie (nicht durch Radikale, was Abel und Ruffini bereits als unmöglich nachgewiesen hatten).

Das Geschäft war erfolgreich genug, dass er 1855 nach Berlin zurückkehren und dort einfach als Privatgelehrter ohne Stelle leben konnte, ohne eine solche zu benötigen. Die Wahl in die Berliner Akademie im Jahr 1861 gab ihm das Recht, an der Universität zu lehren, womit er 1862 begann; er unterrichtete zwei Jahrzehnte lang ohne Lehrstuhl. 1866 lehnte er den Mathematik-Lehrstuhl in Göttingen ab – den Sitz von Gauss und Dirichlet, wohl die prestigeträchtigste Position in der europäischen Mathematik – und zog Berlin vor. Erst 1883, als Kummer in den Ruhestand ging, übernahm er eine ordentliche Professur und trat die Nachfolge des Schulmeisters an, der ihn einst entdeckt hatte.

Der liebste Jugendtraum der Zahlentheorie

Kroneckers Mathematik ist von der Art, die ein Fachgebiet eher sät, als es zu schließen. 1853 formulierte er den Kronecker-Weber-Satz, dessen vollständigen Beweis David Hilbert später lieferte. Er führte den Struktursatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen ein, eines der tragenden Ergebnisse der modernen Algebra. Er arbeitete an elliptischen Funktionen und vermutete das, was er seinen „liebsten Jugendtraum“ nannte – eine Vision der expliziten Klassenkörpertheorie, die Hilbert später in sein zwölftes Problem einbaute, wo sie ein aktives Forschungsprogramm bleibt.

In der algebraischen Zahlentheorie baute er eine Divisorentheorie als Alternative zu Dedekinds Ideale-Theorie auf, und er tat dies aus philosophischen, nicht aus technischen Gründen: Divisoren konnten durch explizite Konstruktion gehandhabt werden, während Ideale unendliche Mengen erforderten. Dedekinds Ansatz beherrschte das Jahrhundert, und Kroneckers Ansatz wurde weithin als Kuriosität behandelt – bis das zwanzigste Jahrhundert ihn wiederbelebte. Sein Name ist heute mit einer unglaublichen Menge mathematischen Inventars verbunden: Kronecker-Delta, Kronecker-Produkt, Kronecker-Symbol, Kronecker-Limesformel, Kroneckersatz, Kronecker-Lemma, Satz von Kronecker-Capelli, Kronecker-Substitution.

Der Krieg gegen das Unendliche

Die philosophische Position, die die Divisorentheorie hervorbrachte, brachte alles andere hervor, einschließlich der Feindschaft. Kronecker vertrat die Ansicht, dass Mathematik aus den ganzen Zahlen durch endliche, explizite Konstruktion aufgebaut werden sollte – eine Lehre, die heute Finitismus genannt wird und ihn zu einem Vorläufer des Intuitionismus machte. Er trug zum Konzept der Stetigkeit und zur Rekonstruktion der irrationalen Zahlen in der Analysis bei, lehnte aber die stetige, nirgends differenzierbare Funktion von Weierstrass aus philosophischen Gründen ab und griff Georg Cantors Mengenlehre mit ihrer Hierarchie tatsächlicher Unendlichkeiten als unzulässig an.

Er beschränkte diese Ansichten nicht auf Seminare. Sein Feldzug belastete sein Verhältnis zu Karl Weierstrass so sehr, dass Weierstrass 1888 fast die Universität verlassen hätte. Im letzten Jahr seines Lebens konvertierte Kronecker zum Christentum. Er starb am 29. Dezember 1891 in Berlin und wurde auf dem Friedhof Alter St. Matthäus Kirchhof in Schöneberg beigesetzt.

Warum Leopold als Genie bezeichnet wird

Der Fall beruht auf einer spezifischen und seltenen Kombination: dem Instinkt eines Algebraikers für Struktur gepaart mit einer fast obsessiven Forderung nach konstruktivem Inhalt. Kronecker scheint unfähig gewesen zu sein, ein mathematisches Objekt zu akzeptieren, das er prinzipiell nicht konstruieren konnte – und diese Einschränkung, die wie eine Begrenzung aussieht, fungierte als Generator. Sie brachte die Divisorentheorie, den Struktursatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen, den Kronecker-Weber-Satz und den Jugendtraum hervor, von denen mehrere ihre Fachgebiete neu organisierten. Seine Vermutungen waren zudem ungewöhnlich gut gezielt: Es spricht für sich, dass Hilbert erhebliche Anstrengungen unternahm, eine davon zu beweisen und eine andere als benanntes Problem zu verankern.

Das ehrliche Gegenargument ist, dass sein Urteil über die Mathematik als Ganzes schlecht war – und zwar teuer erkauft. Er irrte sich bezüglich der pathologischen Funktion von Weierstrass, die heute Standardmaterial für Bachelorstudierende ist. Er irrte sich bezüglich Cantor, dessen transfinite Arithmetik grundlegend wurde. Seine bevorzugte Divisorentheorie wurde für den größten Teil eines Jahrhunderts von Dedekinds Idealen überschattet, was darauf hindeutet, dass seine konstruktiven Bedenken damals reale Ausdruckskraft kosteten. Und er vertrat diese Überzeugungen mit einer persönlichen Verbissenheit, die einen Kollegen von der Statur eines Weierstrass fast aus Berlin vertrieben hätte – ein Verhalten, das Historiker nicht als bloße Strenge entschuldigen konnten. Das faire Fazit lautet, dass Kronecker ein Mathematiker ersten Ranges und ein Prophet zweiten Ranges war: Seine Sätze sind weit besser gealtert als seine Meinungen, und seine philosophischen Einwände erwiesen sich als nützlicher als dauerhafte Minderheitenposition innerhalb der Mathematik denn als das Programm, das er beabsichtigt hatte.

Vermächtnis

Er wurde 1861 in die Preußische Akademie der Wissenschaften, 1868 in die Französische Akademie der Wissenschaften und 1884 in die Royal Society gewählt; der Asteroid 25624 Kronecker trägt seinen Namen. Er betreute Kurt Hensel, Adolf Kneser, Mathias Lerch und Franz Mertens – Hensels p-adische Zahlen sind ein direkter Nachkomme des konstruktiven Impulses. Das Wiederaufleben seiner Divisorentheorie im zwanzigsten Jahrhundert und das Überleben des Intuitionismus als ernsthafte grundlegende Alternative bedeuten, dass der Mann, der den Streit zu Lebzeiten verlor, ihn nie ganz verloren hat.