利奥波德·克罗内克：上帝创造了整数
“上帝创造了整数，其余都是人类的工作。” (Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk) 亨利·韦伯 (Heinrich Weber) 记录了这句话，它比作者所说的几乎任何其他话都更长久，因为它不是一句虔诚的题外话，而是一份宣战书。说出这句话的人在他生命的最后几十年里，试图从现代数学中剔除他同事们忙于发明的无穷对象，他在此过程中树敌众多，以至于欧洲最伟大的分析学家之一差点为了避开他而离开柏林。
利格尼茨与老师库默尔
利奥波德·克罗内克 (Leopold Kronecker) 于1823年12月7日出生在普鲁士利格尼茨 (Liegnitz)——即现今波兰的莱格尼察 (Legnica)——的一个富裕犹太家庭。他的父母伊西多尔 (Isidor) 和约翰娜 (Johanna，闺姓普劳斯尼策尔 (Prausnitzer)) 在送他去利格尼茨文理中学 (Gymnasium) 之前聘请了家庭教师，他在那里广泛涉猎科学、历史和哲学，并以同样的热情参与游泳和体操。他的弟弟雨果 (Hugo) 成了一位杰出的生理学家。在文理中学，他的数学老师是恩斯特·库默尔 (Ernst Kummer)，他发现了克罗内克的才华并加以推崇——这段关系将影响克罗内克余生，因为这两人的职业生涯不断交汇。
他于1841年进入柏林大学，在天文学、哲学和数学之间徘徊，1843年夏天在波恩 (Bonn) 学习天文学，随后于1843-1844年跟随库默尔前往布雷斯劳 (Breslau)，之后回到柏林，于1845年在彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷 (Peter Gustav Lejeune Dirichlet) 指导下完成了代数数论方向的博士论文。
从事数学的商人
他接下来做的事情对于拥有他这种天赋的人来说是不寻常的：他根本没有从事任何学术工作。他回到家乡管理一个大型农场，并打理家族生意。他于1848年与堂妹范妮·普劳斯尼策尔 (Fanny Prausnitzer) 结婚，育有六个孩子。大约十年间，他是一位富有的地方商人，偶尔发表原创数学论文，包括1853年关于方程代数可解性的回忆录（扩展了伽罗瓦 (Galois) 的工作），以及1850年使用群论处理五次方程的方法（并非通过根式，阿贝尔 (Abel) 和鲁菲尼 (Ruffini) 早已证明那是不可能的）。
他的生意非常成功，以至于在1855年他可以回到柏林，作为一名不需要职位也不需要薪水的私人学者生活。1861年当选为柏林科学院院士后，他获得了在大学讲课的权利，并于1862年开始授课；他在没有教授职位的情况下教学了二十年。1866年，他拒绝了哥廷根 (Göttingen) 的数学教席——高斯 (Gauss) 和狄利克雷曾坐过的位置，这可以说是欧洲数学界最负盛名的职位——而偏好柏林。直到1883年库默尔退休，他才接替了那位发现他的老师，担任正式教授。
数论最亲爱的梦想
克罗内克的数学属于那种播种学科而非封闭学科的类型。他在1853年提出了后来成为克罗内克-韦伯定理 (Kronecker-Weber theorem) 的内容，其完整证明由大卫·希尔伯特 (David Hilbert) 后来提供。他引入了有限生成阿贝尔群 (finitely generated abelian groups) 的结构定理，这是现代代数的基础结果之一。他致力于椭圆函数研究，并推测了他所谓的“最亲爱的青春梦想” (liebster Jugendtraum)——一个关于显式类域论的构想，希尔伯特后来将其纳入自己的第十二个问题中，至今仍是一个活跃的研究课题。
在代数数论中，他建立了一种除子 (divisors) 理论作为戴德金 (Dedekind) 理想 (ideals) 理论的替代方案，他这样做是基于哲学而非技术原因：除子可以通过显式构造来处理，而理想需要无穷集。戴德金的方法赢得了那个世纪，而克罗内克的理论被广泛视为一种好奇心——直到二十世纪又使它重焕生机。他的名字现在与大量的数学术语联系在一起：克罗内克δ、克罗内克积、克罗内克符号、克罗内克极限公式、克罗内克定理、克罗内克引理、克罗内克-卡佩利定理、克罗内克代换。
对无穷的战争
产生除子理论的哲学立场也产生了其他所有东西，包括敌意。克罗内克认为数学应该由整数通过有限的、显式的构造来建立——这是一种现在被称为有限主义 (finitism) 的学说，这使他成为了直觉主义 (intuitionism) 的先驱。他为连续性概念和实分析中无理数的重建做出了贡献，但他基于哲学立场拒绝了魏尔斯特拉斯 (Weierstrass) 的连续不可微函数，并攻击了格奥尔格·康托尔 (Georg Cantor) 的集合论，称其包含的实无穷层级是不合法的。
他没有把这些观点局限于研讨会。他的运动使他与卡尔·魏尔斯特拉斯 (Karl Weierstrass) 的关系非常紧张，以至于在1888年魏尔斯特拉斯差点离开大学。在他生命的最后一年，克罗内克皈依了基督教。他于1891年12月29日在柏林去世，被安葬在舍内贝格 (Schöneberg) 的圣马太旧教堂墓地 (Alter St Matthäus Kirchhof)。
为什么利奥波德被称为天才
这个结论基于一种特殊且罕见的组合：代数家对结构的直觉与对构造性内容的近乎强迫性的要求。克罗内克似乎无法接受他原则上无法构造的数学对象——而这种看似局限性的约束，实际上起到了生成器的作用。它产生了除子理论、有限生成阿贝尔群结构定理、克罗内克-韦伯定理和“青春梦想”，其中几个重新组织了各自的领域。他的推测也异常准确：希尔伯特花费了大量精力证明其中一个，并将其中的另一个确立为以他命名的数学问题，这说明了什么。
诚实的反对意见是，他对整个数学的判断很差，而且代价高昂。他在魏尔斯特拉斯的病态函数上是错误的，而这现在是本科生的标准材料。他在康托尔的问题上是错误的，后者的超限算术成为了基础。他所偏爱的除子理论在近一个世纪的时间里被戴德金的理想理论所掩盖，这表明他构造性的谨慎在当时确实牺牲了表达能力。他以一种个人的激烈态度坚持这些信念，几乎将魏尔斯特拉斯这样地位的同事赶出了柏林——这种行为历史学家无法仅以严谨为由予以开脱。公平的总结是，克罗内克是一位一流的数学家，二流的先知：他的定理比他的观点更能经受时间的考验，他的哲学反对意见最终被证明作为数学内部的一个永久的少数派立场，比作为他原本意图的纲领更有价值。
遗产
他于1861年当选为普鲁士科学院院士，1868年当选为法国科学院院士，1884年当选为皇家学会会员，小行星25624号以克罗内克命名。他指导过库尔特·亨塞尔 (Kurt Hensel)、阿道夫·克内泽尔 (Adolf Kneser)、马蒂亚斯·勒赫 (Mathias Lerch) 和弗朗茨·默滕斯 (Franz Mertens)——亨塞尔的p-adic数是这种构造性冲动的直接后裔。二十世纪对其除子理论的复兴，以及直觉主义作为一种严肃的基础替代方案的生存，意味着那个在生前输掉争论的人，并没有完全失败。