Srinivasa Ramanujan

Bir denklem benim için Tanrı'nın bir düşüncesini ifade etmediği sürece hiçbir anlamı yoktur.

Srinivasa Ramanujan (doğum adı Srinivasa Ramanujan Aiyangar), Hindistan'daki İngiliz Yönetimi döneminde yaşayan bir Hintli matematikçiydi. Saf matematikte neredeyse hiçbir resmi eğitim almamış olsa da, matematiksel analiz, sayı teorisi, sonsuz seriler ve devam eden kesirler alanlarında önemli katkılar yaptı ve o zamanlar çözülemez olarak kabul edilen matematiksel problemlerin çözümlerini buldu. 

Ramanujan başlangıçta matematiksel araştırmalarını izolasyon içinde geliştirdi: Hans Eysenck'e göre: "Lider profesyonel matematikçileri çalışmasıyla ilgilendirmeye çalıştı, ama çoğunlukla başarısız oldu. Onlara gösterecek şeyler çok yeni, çok tanıdık değildi ve ayrıca olağandışı şekillerde sunuluyordu; onlar kendilerini rahatsız etmek istemedi". Çalışmasını daha iyi anlayabilecek matematikçiler arayan Ramanujan, 1913'te İngiltere'deki Cambridge Üniversitesi'nde İngiliz matematikçi G. H. Hardy ile posta yoluyla işbirliğine başladı. Ramanujan'ın çalışmasını olağanüstü olarak tanıyan Hardy, ona Cambridge'e seyahat etmesi için düzenleme yaptı. Notlarında Hardy, Ramanujan'ın çığır açan yeni teoremler ürettiğini, bunlardan bazılarının "beni tamamen yendi; daha önce hiç buna benzer bir şey görmemiştim" dediği ve bazılarının da yakın zamanda kanıtlanan ancak yüksek derecede ileri sonuçlar olduğunu yazdı.

Kısa yaşamı boyunca Ramanujan bağımsız olarak yaklaşık 3.900 sonuç derledi, çoğunlukla özdeşlikler ve denklemler. Birçoğu tamamen yeni ve orijinaliydi; Ramanujan asalı, Ramanujan theta fonksiyonu, bölüm formülleri ve sahte theta fonksiyonları gibi orijinal ve oldukça alışılmamış sonuçları, matematiğin tamamen yeni alanlarını açmış ve çok sayıda başka araştırmayla sonuçlanmıştır. Hemen hemen tüm iddialarının doğru olduğu kanıtlanmıştır. Ramanujan Journal adlı bir bilimsel dergi, Ramanujan'dan etkilenen matematik alanlarında çalışmaları yayınlamak için kurulmuş olup, notdefterlerinde yayınlanan ve yayınlanmamış sonuçlarının özeti yer almakta ve ölümünden bu yana onlarca yıldır matematiksel fikirler kaynağı olarak analiz edilip incelenmiştir. 2011 ve 2012'de bile araştırmacılar, yazılarındaki "basit özellikler" ve belirli bulgular için "benzer çıktılar" hakkındaki basit yorumların, ölümünden yaklaşık bir asır sonrasına kadar şüphelenilmeyen derin ve ince sayı teorisi sonuçları olduğunu keşfetmeye devam ettiler. Kraliyet Cemiyeti'nin en genç Üyelerinden biri ve sadece ikinci Hintli üye olmakla kalmadı, aynı zamanda Cambridge'in Trinity College'ına seçilen ilk Hindiydi. Hardy, orijinal mektuplarından birine tek bir bakışın, yalnızca en yüksek kalibredeki bir matematikçi tarafından yazılmış olabileceklerini gösterir olduğunu söyledi ve Ramanujan'ı Euler ve Jacobi gibi matematiksel dahi bireylerle kıyasladı.

1919'da sağlık sorunları—şu anda yıllar önceki dizanteri bölümünün bir komplikasyonu olan hepatik amoebiasis olduğu düşünülmektedir—Ramanujan'ın Hindistan'a dönüşünü zorunlu kıldı ve orada 32 yaşında 1920'de öldü. Hardy'ye yazdığı son mektuplar, Ocak 1920'de yazılmış olup, hala yeni matematiksel fikirler ve teoremler üretmeye devam ettiğini göstermektedir. Yaşamının son yılından yapılan keşifler içeren "kayıp not defteri", 1976'da yeniden keşfedildiğinde matematikçiler arasında büyük heyecan uyandırmıştır.

Çok dindar bir Hindu olan Ramanujan, kayda değer matematiksel yeteneklerini ilahiyata kredi verdi ve gösterdiği matematiksel bilginin aile tanrıçası Namagiri Thayar tarafından ona açıklandığını söyledi. Bir kez şöyle dedi: "Benim için bir denklemin anlamı yoktur, eğer Tanrı'nın bir düşüncesini ifade etmiyorsa."

Erken Yaşam

Ramanujan kelimenin tam anlamıyla "Rama'nın küçük kardeşi" olan Hindu tanrısından 22 Aralık 1887'de Madras Başkanlığı'ndaki (şimdi Tamil Nadu) Erode'de bir Tamil Brahmin Iyengar ailesine doğdu. Baba tarafı ailesinin evinde doğdu. Babası Kuppuswamy Srinivasa Iyengar, orjinali Thanjavur bölgesinden olup, bir kumaş dükkanında tercüman olarak çalışıyordu. Annesi Komalatammal ev hanımı olup yerel bir tapınakta söylerdi. Kumbakonam kasabasında Sarangapani Sannidhi Caddesi'nde küçük geleneksel bir evde yaşıyorlardı. Aile evi şimdi bir müzedir. Ramanujan bir buçuk yaşındayken, annesi daha sonra üç aydan kısa bir süre sonra ölecek olan Sadagopan adında bir oğlan doğurdu. Aralık 1889'da Ramanujan çiçek hastalığına yakalandı, ama Thanjavur bölgesinde bu kötü yılda ölenlerin 4.000 kişiden farklı olarak iyileşti. Annesiyle birlikte Madras'ın (şimdi Chennai) yakınında Kanchipuram'da olan büyükannesinin evine taşındı. Annesi 1891 ve 1894'te iki çocuk daha doğurdu, her ikisi de birinci doğum günlerinden önce öldüler.

1 Ekim 1892'de Ramanujan yerel okula kayıtlı hale geldi. Babasının tarafı büyükbabası Kanchipuram'da mahkeme memuru olarak çalışmaktan ayrıldıktan sonra, Ramanujan ve annesi Kumbakonam'a geri döndüler ve Kangayan İlkokulu'na kaydedildi. Babasının tarafı büyükbabası öldüğünde, şu anda Madras'da yaşayan annesinin tarafı ebeveynlerine geri gönderildi. Madras'taki okulu sevmedi ve okula gitmekten kaçınmaya çalıştı. Ailesi okula gittiğinden emin olmak için yerel bir polis görevlisini görevlendirdi. Altı ay içinde, Ramanujan Kumbakonam'a geri döndü.

Ramanujan'ın babası günün çoğunu işte harcadığından, annesi çocuğa bakıyordu ve sıkı bir ilişkileri vardı. Ondan gelenek ve puranalar, dini şarkılar söyleme, tapınaktaki pujalara katılma ve belirli yeme alışkanlıklarını koruma hakkında öğrendi—hepsi Brahmin kültürünün bir parçası. Kangayan İlkokulu'nda Ramanujan iyi performans gösterdi. Ekim 1897'nin sadece öncesinde, 10 yaşına ulaşmadan hemen önce, İngilizce, Tamil, coğrafya ve aritmetikteki temel sınavlarından bölgede en yüksek puanlarla geçti. O yıl Ramanujan, resmi olarak ilk kez matematikle karşılaştığı Town Higher Secondary School'a girdi.

11 yaşında matematik prodigy olan çocuk, evinde kalan iki üniversite öğrencisinin matematiksel bilgisini tüketmiştir. Daha sonra S. L. Loney tarafından yazılan gelişmiş trigonometriye ilişkin bir kitap ödünç alındı. Bunu 13 yaşında öğrenirken kendi başına karmaşık teoremler keşfetti. 14 yaşında, okul kariyeri boyunca devam eden liyakat sertifikaları ve akademik ödüller aldı ve okula 1.200 öğrencisini, her birinin kendine ait ihtiyaçlarıyla yaklaşık 35 öğretmene atama konusunda lojistik olarak yardım etti. Matematiksel sınavları ayrılan sürenin yarısında tamamladı ve geometri ve sonsuz seri hakkında aşinalık gösterdi. Ramanujan'a 1902'de kübik denklemleri çözmeyi öğretildi; kuartik çözmek için kendi yöntemini geliştirdi. Ertesi yıl quintic çözmeyi denedi, bunun radikal tarafından çözülemeyeceğini bilmeden.

1903'te, 16 yaşındayken, Ramanujan bir arkadaşından G. S. Carr'ın 5.000 teorem koleksiyonu olan "Saf ve Uygulamalı Matematik İlköğretim Sonuçlarının Özeti"nin bir kütüphane kopyasını aldı. Ramanujan, kitabın içeriğini ayrıntılı olarak incelediği bildirilmiştir. Kitap genel olarak dehasını uyandırmada anahtar bir unsur olarak kabul edilir. Ertesi yıl Ramanujan Bernoulli sayılarını bağımsız olarak geliştirdi ve inceledi ve Euler–Mascheroni sabitini 15 ondalık basamağa kadar hesapladı. O zamanki akranları onun "onu nadiren anladıklarını" ve "saygılı hayranlıkla" durduklarını söylediler.

Town Higher Secondary School'dan 1904'te mezun olduğunda, Ramanujan, okulun müdürü Krishnaswami Iyer tarafından matematik için K. Ranganatha Rao ödülüyle ödüllendirildi. Iyer, Ramanujan'ı harika bir öğrenci olarak tanıttı ve maksimumdan daha yüksek puanları hak ettiğini söyledi. Kumbakonam Government Arts College'da okumak için burs aldı, ancak matematiğe o kadar odaklanmıştı ki başka hiçbir konuya odaklanamadı ve çoğunda başarısız oldu, bu sürece bursunu kaybetti. Ağustos 1905'te Ramanujan evden kaçtı, Visakhapatnam'a doğru gitti ve Rajahmundry'de yaklaşık bir ay kaldı. Daha sonra Madras'taki Pachaiyappa's College'a kayıtlı hale geldi. Orada matematikte başarılı oldu, sadece ona çekici gelen soruları çözmek seçti ve geri kalanları cevapsız bıraktı, ancak İngilizce, fizyoloji ve Sanskritçe gibi diğer konularda kötü performans gösterdi. Ramanujan Aralık 1906'da ve bir yıl sonra yeniden Sanat Bilirleri sınavında başarısız oldu. Bir FA derecesi olmadan üniversiteyi terk etti ve matematikte bağımsız araştırma yapmaya devam etti, aşırı yoksulluk içinde yaşadı ve çoğu zaman açlıktan ölmek üzere oldu.

1910'da, 23 yaşındaki Ramanujan ve Hintli Matematiksel Derneği'nin kurucusu V. Ramaswamy Aiyer arasında bir toplantıdan sonra, Ramanujan Madras'ın matematiksel çevrelerinde tanınmaya başladı ve bu da onu Madras Üniversitesi'nde araştırmacı olarak dahil edilmesine yol açtı.

Hindistan'da Yetişkinlik

14 Temmuz 1909'da Ramanujan, Janaki Janakiammal (21 Mart 1899 – 13 Nisan 1994) ile evlendi; annesi bir yıl önce seçtiği ve evlendikleri zaman on yaşında olan bir kız. O zamanlar, kızlarla evlilik düzenlemesinin erken yaşta yapılması olağan değildi. Janaki, Marudur Karur bölgesi Tren İstasyonu'na yakın Rajendram köyünden geliyordu. Ramanujan'ın babası nikah törenine katılmadı. O zamanlar olağan olduğu gibi, Janaki evlilikten üç yıl sonra, ergenliğe ulaşana kadar kendi annesi evinde kalmaya devam etti. 1912'de, o ve Ramanujan'ın annesi Ramanujan'a Madras'ta katıldılar.

Evlilikten sonra Ramanujan bir hidrosele testis geliştirdi. Bu durum, keseli kesede tıkanmış sıvıyı giderilebilecek rutin bir cerrahi işlemle tedavi edilebilirdi, ancak ailesi ameliyatı karşılayamazdı. Ocak 1910'da bir doktor cerrahiyayı ücretsiz olarak yapma konusunda gönüllü oldu.

Başarılı ameliyatından sonra, Ramanujan iş aradı. Madras çevresinde kapıdan kapıya dolaşıp memur pozisyonu arayan arkadaşının evinde kaldı. Para kazanmak için Presidency College'daki öğrencilere F.A. sınavına hazırlanmakta olan öğrencileri özel olarak ders verdi.

1910'un sonlarında, Ramanujan yeniden hastalandı. Sağlığı için endişeliydi ve arkadaşı R. Radakrishna Iyer'e "Madras Christian College'nın İngiliz profesörü Edward B. Ross'a teslim edin veya teslim edin" dedi. Ramanujan iyileştikten ve Iyer'den not defterlerini aldıktan sonra, Kumbakonam'dan Fransa kontrolünde olan bir şehir olan Villupuram'a tren aldı. 1912'de Ramanujan, eşi ve annesiyle George Town, Madras'ta Saiva Muthaiah Mudali caddesi üzerindeki bir eve taşındılar ve burada birkaç ay yaşadılar. Mayıs 1913'te, Madras Üniversitesi'nde bir araştırma pozisyonunu güvenlikçi hale getirdikten sonra, Ramanujan ailesiyle Triplicane'ye taşındı.

Matematikteki Kariyer Peşinde

1910'da Ramanujan, Hintli Matematiksel Derneği'ni kuran yardımcı collector V. Ramaswamy Aiyer'le tanıştı. Aiyer'in çalıştığı gelir departmanında bir iş isteyerek, Ramanujan ona matematiksel notlarını gösterdi. Aiyer daha sonra hatırladığı gibi:

[Notlarda] yer alan olağanüstü matematiksel sonuçlar tarafından etkilendim. Onun dehasını gelir departmanının en alt basamaklarında bir görevle boğmak için bir fikrim yoktu.

Aiyer, Ramanujan'ı tanıtım mektuplarıyla Madras'taki matematikçi arkadaşlarına gönderdi. Bazıları çalışmasına baktılar ve ona Nellore için bölge toplayıcısı ve Hintli Matematiksel Derneği sekreteri olan R. Ramachandra Rao'ya tanıtım mektupları verdiler. Rao, Ramanujan'ın araştırmasından etkilendi, ancak bunun kendi çalışması olduğundan şüphelendi. Ramanujan, ünlü Bombay matematikçisi Profesör Saldhana ile bir yazışmadan söz etti, bu yazışmada Saldhana çalışmasını anlamadığını ifade etti ancak onun bir dolandırıcı olmadığı sonucuna vardı. Ramanujan'ın arkadaşı C. V. Rajagopalachari, Rao'nun Ramanujan'ın akademik bütünlüğü hakkındaki şüphelerini gidermeye çalıştı. Rao ona yeniden bir şans vermeyi kabul etti ve Ramanujan'ı dinledi, eliptik integraller, hipergeometrik seriler ve farklı serilerin teorisi hakkında tartışırken, Rao sonunda onu Ramanujan'ın parlak olduğundan ikna ettiğini söyledi. Rao ona ne istediğini sorduğunda, Ramanujan çalışma ve finansal desteğe ihtiyacı olduğunu yanıtladı. Rao kabul etti ve onu Madras'a gönderdi. Rao'nun finansal desteğiyle araştırmasını sürdürdü. Aiyer'in yardımıyla, Ramanujan çalışmasını Hintli Matematiksel Derneği Dergisi'nde yayınladı.

Dergide ortaya koyduğu ilk sorunlardan biri, şunun değerini bulmaktı:

Altı ay boyunca üç sayıda bir çözüm sunulmasını bekledi, ancak hiçbirini almadı. Sonunda Ramanujan çözümü kendisi soruna sağladı. İlk not defterinin 105. sayfasında, sonsuz yuvalanmış radikal problemini çözmek için kullanılabilecek bir denklem formüle etti.

Bu denklemi kullanarak, Journal'da ortaya konan sorunun cevabı, x = 2, n = 1 ve a = 0 ayarlanarak elde edilen basitçe 3 idi. Ramanujan, Bernoulli sayılarının özellikleri hakkında Journal için ilk resmi makalesini yazdı. Keşfettiği bir özellik, Bernoulli sayılarının kesirlerinin paydalarının OEIS'teki sıra A027642 her zaman altıya bölünebilir olmasıydı. Ayrıca önceki Bernoulli sayılarına dayalı Bn hesaplanmasının bir yöntemini de tasarladı. Bu yöntemlerden biri aşağıdaki gibidir:

n çift ama sıfıra eşit değilse, gözlemlenecektir,

1. Bn bir kesirdir ve en düşük terimlerinde Bn/n'nin payı bir asal sayıdır,