Maryna Viazovska: Sekiz Boyutu Paketleyen Sihirli Fonksiyon

Maryna Viazovska'nın Mart 2016'da kısa bir makalesini çevrimiçi yayınlamasından birkaç saat sonra, matematikçi Akshay Venkatesh bir meslektaşına tek kelimelik bir konu satırı içeren bir e-posta gönderdi: "Vay canına!" Makale, birkaç sayfadan oluşan bir kanıtla, onlarca yıldır bu alana direnen sekiz boyutlu uzayda küre istifleme problemini çözmüştü. Princeton'dan Peter Sarnak'a göre bu kanıt o kadar zarifti ki, makalesi "eline aldığında okumayı bitirmeden bırakamayacağın o makalelerden biriydi." Altı yıl sonra Viazovska, tarihte Fields Madalyası kazanan ikinci kadın oldu.

Sovyet Sonrası Kiev'de Bir Kimyagerin Kızı

Maryna Sergiivna Viazovska, 2 Aralık 1984'te Kiev'de, Antonov uçak fabrikasında kimyager olarak çalışan bir baba ve mühendis bir annenin üç kızından en büyüğü olarak doğdu. Sovyet sonrası Ukrayna'nın ekonomik çalkantıları arasında büyüdü ve bilimsel olarak yetenekli öğrenciler için özel bir okul olan Kiev Doğa Bilimleri Lisesi No. 145'e gitti. Orada, araştırmacı matematikçilikten öğretmenliğe geçen Andrii Knyazyuk, onun ilk matematiksel gelişimini şekillendirdi. Olimpiyatlarda ciddi şekilde yarıştı - Uluslararası Matematik Olimpiyatı eğitimi için on iki öğrencinin seçildiği ulusal bir yarışmada 13. olarak barajı kıl payı kaçırdı - ve Kiev'deki Taras Shevchenko Ulusal Üniversitesi'nde lisans öğrencisiyken, 2002 ve 2005 yıllarında Üniversite Öğrencileri için Uluslararası Matematik Yarışması'nı kazandı ve aynı yıl ilk araştırma makalesini ortak yazar olarak yayınladı.

Kiev'den Bonn'a

Resmi eğitimi birkaç ülkeyi kapsadı: Almanya'daki Kaiserslautern Üniversitesi'nden yüksek lisans derecesi (2007), Ukrayna Ulusal Bilimler Akademisi Matematik Enstitüsü'nden doktora (2010) ve 2013 yılında Bonn Üniversitesi'nden doktora (Dr. rer. nat.). Orada Don Zagier ve Werner Müller'in gözetiminde analitik sayılar teorisindeki modüler formlar ve özel döngüler üzerine çalıştı. İmzası niteliğindeki buluşundan önce, zaten bir araştırma itibarı oluşturmuştu: Andriy Bondarenko ve Danylo Radchenko ile birlikte 2011 yılında yayınladığı ve keyfi boyutlardaki küçük küresel tasarımlarla ilgili Korevaar-Meyers tahminini kanıtlayan bir makale, sayılar teorisi çevreleri dışında geniş çapta tanınmadan yıllar önce, alanın en seçici dergilerinden biri olan Annals of Mathematics'te yayınlanmıştı.

Küre Paketleme Problemi

Viazovska'nın cevaplamaya çalıştığı sorunun eski ve ünlü bir geçmişi vardır: Özdeş küreler, hacmin mümkün olan en büyük kısmını dolduracak şekilde uzaya nasıl paketlenebilir? Üç boyutta bu, ancak 1990'ların sonunda ve 2000'lerde bilgisayar destekli kapsamlı bir argümanla kanıtlanabilen Kepler sanısıdır. Bazı yüksek boyutlarda problem, özel ve yüksek derecede simetrik kafesler nedeniyle beklenmedik bir yapı kazanır; özellikle sekiz boyuttaki E₈ kafesi ve yirmi dört boyuttaki Leech kafesi (Leech lattice). Matematikçiler uzun süredir bu kafeslerin kendi boyutlarında mümkün olan en yoğun küre paketlemelerini sağladığından şüpheleniyorlardı, ancak kimse bunu kanıtlayamıyordu.

"Sihirli Fonksiyon"

2016 yılında, Berlin Matematik Okulu ve Humboldt Üniversitesi'ndeki doktora sonrası pozisyonlarından ve Princeton'daki Minerva bursundan sonra büyük ölçüde yalnız çalışan Viazovska, 8. boyut için "sihirli fonksiyon" olarak bilinen yapıyı kurdu. Bu, çoğu sayı teorisyeninin böyle bir kanıt için gerekeceğini düşündüğü modüler formlardan değil, kasıtlı olarak kusurlu simetrilere sahip bir kuazimodüler formdan (quasimodular form) inşa edilmişti. Fonksiyon, alanın standartlarına göre oldukça kısa ve net bir argümanla, E₈ kafesinin gerçekten de sekiz boyutta mümkün olan en yoğun küre paketlemesini sağladığını kanıtlamasını sağladı. Bir hafta içinde Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller ve Danylo Radchenko ile birlikte çalışarak aynı tekniği Leech kafesini kullanarak 24 boyutlu durumu çözmek için genişletti; Radchenko'nun daha sonra "hayatımın muhtemelen en çılgın haftası" olarak adlandırdığı yoğun bir işbirliği dönemiydi. Birbirinden birkaç gün arayla yayınlanan iki sonuç, üç boyut dışında kesin cevabın o zamanlar bilindiği tek iki boyuttaki küre paketleme problemini çözdü.

Paketlemenin Ötesi: Evrensel Optimizasyon

Viazovska ve işbirlikçileri sonraki yıllarda daha ileri giderek, 2019'da E₈ ve Leech kafeslerinin "evrensel olarak optimal" olduğunu kanıtladılar; bu, sadece tek bir fiziksel model için değil, tüm geniş enerji fonksiyonları sınıfı boyunca potansiyel enerjiyi minimize ettikleri ve elektron itmesinden polimer konfigürasyonlarına kadar uzanan sonuçları olduğu anlamına geliyordu. Matematikçi Sylvia Serfaty sonucu "19. yüzyılın büyük buluşlarına" benzetti ve "bilim için büyük bir ilerleme" olarak nitelendirdi. Çalışma aynı zamanda, Viazovska'nın kısmi spektral bilgilerden fonksiyonları yeniden yapılandırma yaklaşımıyla Fourier analizini de daha geniş bir şekilde ilerletti; bu teknik, kendisine ilham veren paketleme probleminin çok ötesinde uygulamalara sahipti.

Fields Madalyası ve Tanınırlık

Temmuz 2022'de Viazovska, Maryam Mirzakhani'den sonra Fields Madalyası kazanan ikinci kadın, Vladimir Drinfeld'den sonra Ukrayna SSC'de doğan ikinci matematikçi ve bir Ukrayna üniversitesinden diploması olan ilk Fields madalyası sahibi oldu. Onur, bir dizi büyük ödülü takip etti: Salem Ödülü (2016), Clay Araştırma Ödülü (2017), SASTRA Ramanujan Ödülü (2017), Kombinatorik alanında Avrupa Ödülü (2017), New Horizons Ödülü (2018), Ruth Lyttle Satter Ödülü (2019), Fermat Ödülü (2019), EMS Ödülü (2020) ve Ulusal Latsis Ödülü (2020). 2022'nin sonlarında BBC'nin 100 Kadın listesine seçildi. Ocak 2018'den beri, bir ergenken okul sonrası fizik grubunda tanıştığı fizikçi eşi Daniil Evtushinsky ve iki çocuklarıyla yaşadığı İsviçre'nin Lozan kentindeki EPFL'de Sayılar Teorisi Kürsüsü'ne başkanlık etmektedir.

Neden Maryna Viazovska Bir Dahi Olarak Adlandırılıyor

"Dahi" etiketinin arkasındaki spesifik matematiksel kalite, Viazovska'nın alanın yüzlerce sayfalık yorucu bir bilgisayar destekli argüman beklediği -ve üç boyutlu Kepler vakasında daha önce ihtiyaç duyduğu- yerde tam ve kapalı formda bir kanıt inşa etmesidir. Sekiz boyutlu kanıtı işe yarar kılan kesin kuazimodüler formu bulmak, modüler formlar üzerinde derin bir teknik hakimiyet ile hangi fonksiyonun gerekli interpolasyon koşullarını karşılayacağına dair neredeyse estetik bir içgüdünün sıra dışı ve öğretilmesi zor bir kombinasyonunu gerektiriyordu; o içgüdü, Sarnak'tan Venkatesh'e kadar makaleyi inceleyen matematikçilerin rutin mesleki onay yerine açık bir şaşkınlıkla tepki verdikleri şeydir. Çerçevenin dürüst sınırlaması, sekiz ve yirmi dört boyuttaki küre paketleme probleminin tam olarak bu iki boyutun genel boyutlarda bulunmayan olağanüstü kafes yapılarına (E₈ ve Leech kafesi) sahip olması nedeniyle çözülebilir olmasıdır; bu başarı keyfi boyutlara genelleştirilemez ve alanın daha geniş küre paketleme problemi diğer her yerde büyük ölçüde açık kalmaya devam etmektedir. Ayrıca, 24 boyutlu genişleme, solo bir çalışmadan ziyade Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen D. Miller ve Danylo Radchenko ile hızlı bir grup işbirliğiydi ve ünlü 8 boyutlu kanıt bile, diğer araştırmacıların (Cohn dahil) Viazovska bunu tamamlamak için gereken spesifik fonksiyonu bulmadan önce geliştirdikleri küre paketleme sınırlarına yönelik mevcut bir doğrusal programlama yaklaşımından yararlandı.

Miras

Viazovska'nın yöntemleri halihazırda paketleme, enerji minimizasyonu ve Fourier interpolasyon problemleri çalışmalarında standart bir referans noktası haline geldi ve Fields Madalyası -Rusya'nın Ukrayna'yı tam ölçekli işgalinin ilk aylarında verildi- o zamandan beri kamuoyu önünde desteklemeye devam ettiği bir ülke olan Ukrayna bilimi için özel bir sembolik ağırlık taşıyordu. EPFL'de, kariyerinin tanımlanmasına yardımcı olduğu kafes geometrisi ve analitik sayılar teorisinin sınırında çalışan bir sonraki nesil sayı teorisyenlerini eğitmeye devam ediyor.