Mark Kac: Bir davulun şeklini duymak mümkün mü?

1966 yılında, Polonya asıllı Amerikalı bir olasılık matematikçisi, bir çocuğun bile sorabileceği bir soru üzerine kurulu bir makale yayımladı: Bir davulun sesini duyarsanız, şeklinin ne olduğunu söyleyebilir misiniz? Cevabın hayır olduğu ortaya çıktı; farklı rezonatörler aynı özfrekansları paylaşabilir. Bu soru, yeni bir çalışma alanı doğurdu. Kac, bu makalesiyle iki yıl sonra ikinci kez Chauvenet Ödülü'nü kazandı ve insanların kimin söylediğini bilmeden sıkça kullandığı o ünlü matematiksel sorulardan birini geride bıraktı.

Kremenets ve değişen sınırlar

Kac, 3 Ağustos 1914'te o dönem Rus İmparatorluğu sınırları içinde yer alan Kremenets'te (Lehçe Krzemieniec) Polonya Yahudisi bir ailede dünyaya geldi. O çocukken şehir, Riga Barış Antlaşması ile Sovyet Ukraynası'ndan Polonya'ya geçerek el değiştirdi. O taşınmadı; sınır değişti. Bu, kariyerini ayaklarının altındaki sistemlerin davranışlarını incelemeye adamış bir matematikçi için oldukça uygun bir başlangıç noktasıydı.

Lviv, Steinhaus ve çıkış yolu

Doktorasını 1937'de Lviv Üniversitesi'nde (University of Lwów) Hugo Steinhaus danışmanlığında tamamladı ve savaşlar arası Polonya'nın en önemli matematiksel yetenek merkezi olan ve önümüzdeki on yıl içinde yok edilecek olan Lviv Matematik Okulu'nun (Lwów School of Mathematics) bir üyesiydi.

1938'de Parnas Vakfı'ndan (Parnas Foundation) aldığı burs sayesinde ABD'ye gitme imkânı buldu. Kasım 1938'de New York'a vardı. Bu zamanlama, kelimenin tam anlamıyla bir yaşam ile bir istatistik verisi olmak arasındaki farktı: Atlantik'i kapılar kapanmadan önceki son aralıkta geçmeyi başardı.

Cornell ve Savaş

1939'da Cornell Üniversitesi'ne katıldı, 1943'te eğitmenlikten yardımcı doçentliğe, 1947'de ise tam profesörlüğe yükseldi. 1943'te ABD vatandaşı oldu. 1943-1945 yılları arasında MIT Radyasyon Laboratuvarı'nda George Uhlenbeck ile birlikte radar çalışmaları üzerinde çalıştı. Bu, saf matematikçilerin soyutlamalarının anında fiziksel karşılıklar bulduğunu fark ettikleri savaş dönemi görevlerinden biriydi. Uhlenbeck ile iş birliği savaş sonrasında da devam etti; ikili daha sonra P. C. Hemmer ile birlikte van der Waals gazının matematiksel modelini geliştirdi.

Ağustos 1942

Anne babası ve kardeşi Kremenets'te kalmıştı. 1942 Ağustos'undaki toplu infazlarda Naziler tarafından öldürüldüler.

Bu gerçek, biyografisinde herhangi bir yorum olmaksızın yer alıyor; genellikle bu tür gerçeklerde olduğu gibi, bunun anlatıya uygun bir şekilde yumuşatılmaması gerekir. Kac, ailesi çocukken etrafında sınırların değiştiği o şehirde katledildiğinde, Amerika'da Cornell'de ders veriyor ve akademik kariyerinde yükseliyordu. İçsel sonuçları ne olursa olsun, dış kayıtlar onun sonraki kırk yıl boyunca üretken bir şekilde çalıştığını ve hayatının ilerleyen dönemlerinde, aralarında Vladimir Samuilovich Kislik ve Yosif Begun'un da bulunduğu zulüm gören bilim insanlarının vakalarını duyuran 'İlgili Bilim İnsanları Komitesi'nin (Committee of Concerned Scientists) eş başkanlığını yaptığını gösteriyor. Kimse sesini çıkarmadığında bunun bedelinin ne olduğunu erken öğrenmişti.

İstatistiksel Fizik: Halka ve Ising Modeli

1950'ler onun fizik yıllarıydı. 1952'de Theodore H. Berlin ile birlikte ferromıknatısların küresel modelini tanıttı; J. C. Ward ile birlikte Ising modelinin (Ising model) kesin çözümünü üretti. Bu, nadir ve değerli bir başarıydı çünkü tam olarak çözülebilir modeller, tüm alanın navigasyonunu sağlayan sabit noktalardır.

1956'da Kac halkası (Kac ring) ortaya çıktı ve bu onun belki de en zarif tekil çalışmasıdır. Çözmeye çalıştığı bulmaca eski ve oldukça rahatsız edicidir: Makroskobik geri dönülemezlik — yani işlerin bozulup kendiliğinden eski haline dönememesi — zaman içinde mükemmel şekilde simetrik olan mikroskobik yasalardan nasıl ortaya çıkabilir? Yani Loschmidt paradoksu (Loschmidt's paradox). Kac, tam analiz için yeterince basit ve olguyu göstermek için yeterince zengin bir oyuncak model inşa etti ve böylece bir tartışma yerine bir açıklama sundu. Bu, matematiksel fiziğin en üst düzey biçimidir: felsefi bir anlaşmazlığın hesaplanabilir bir örnekle değiştirilmesi.

Davul

1966 tarihli makalesi, bir davulun geometrik şeklinin sesiyle benzersiz bir şekilde belirlenip belirlenemeyeceğini sordu. Cevap genel anlamda olumsuz çıktı; farklı şekiller aynı spektrumu üretebilirdi. Ancak dairesel davullar gibi belirli şekiller için geometri, Laplacian operatörünün spektrumundan gerçekten de çıkarılabiliyordu. Buradan, bir operatörün spektrumunun içinde yaşadığı uzay hakkında size ne söylediğini inceleyen sistematik bir çalışma olan spektral geometri (spectral geometry) doğdu.

Sorunun gücü biçiminde yatar. Günlük dille ifade edilmiş, matematikçi olmayanlar tarafından bile anında anlaşılabilir ve cevabı ciddi bir matematiksel donanım gerektirir. Çok az araştırmacı bu üç özelliğe de sahip bir problem oluşturabilir.

Mark neden dahi olarak anılıyor?

Ayırt edici yeteneği, problem seçimidir. Kac'ın teknik çalışmaları — Ising çözümü, küresel model, van der Waals matematiği — birinci sınıftır, ancak birinci sınıf teknik çalışmaların çoğu literatürde kaybolur gider. Onu ayıran şey, karmaşık bir alanı aniden işlenebilir kılan formülasyonları defalarca bulmasıdır. Kac halkası bunu Loschmidt paradoksu için yaptı: kemiklerine kadar soyulmuş ama herkesin tartıştığı şeyi gösteren bir model. Davul sorusu bunu spektral geometri için yaptı: bir matematik disiplinini açan bir İngilizce cümle. Bu spesifik ve nadir bir yetenektir; zor problemleri çözmek değil, çözülmeye değer zor problemi bulmak ve bunu başkalarının çalışmaya başlayabileceği kadar temiz bir şekilde ifade etmektir.

Onun açıklayıcı yeteneği de aynı içgüdünün dışa vurumuydu ve bu kabul gördü: 1950'de bir makale ve 1968'de davul makalesi için iki Chauvenet Ödülü, artı 1967'de Lester R. Ford Ödülü. Bunu kurumsal destekler takip etti: 1959'da Amerikan Sanat ve Bilim Akademisi, 1965'te Ulusal Bilimler Akademisi, 1969'da Amerikan Felsefe Topluluğu üyeliği, 1971'de Brüksel'de Solvay Konferansı konuşmacısı, 1980'de Pisa'daki Scuola Normale'de Fermi Konferansı konuşmacısı.

Karşı argüman: Kayıtlarda hiç kimse ona gerçekten bu kelimeyi doğrudan uygulamıyor; ödülleri keşiften ziyade açıklama üzerine ve davul sorusu kısmen büyüleyici olduğu için ünlü; cevabı başkaları tarafından verildi. Düşmanca bir okuma ona büyük bir matematikçiden ziyade harika bir iletişimci ve çok iyi bir matematikçi derdi. Adil bir okuma ise çerçevelemenin kendisinin bir keşif biçimi olduğunu ve Kac'ın bunu birden fazla kez yaptığını kabul etmektir.

Miras

Kac, 1961'de Cornell'den ayrılarak Rockefeller Üniversitesi'ne (The Rockefeller University) geçti ve 1981'e kadar yaklaşık yirmi yılını orada geçirdi, kariyerini Güney Kaliforniya Üniversitesi'nde noktaladı. 26 Ekim 1984'te öldü. Kitapları — Olasılık, Analiz ve Sayılar Teorisinde İstatistiksel Bağımsızlık (1959), Fizik Bilimlerinde Olasılık ve İlgili Konular (1959), Stanislaw Ulam ile birlikte Matematik ve Mantık (1968) — bir nesle ders verdi ve otobiyografisi Enigmas of Chance (Şansın Bilmeceleri) 1985'te ölümünden sonra yayımlandı. Kitap başlığı, bir sınırın kaza sonucu ailesini kaybettiği ve bir bursun kazasıyla hayatta kaldığı bir adam tarafından oldukça yerinde seçilmişti.