Eğer her iki tarafta da aynı terimi ancak farklı katsayılarla içeren bir denklemle karşılaşırsak, bir terim diğer terime eşit olana kadar eşitlerden eşitler çıkarmalıyız. Ancak, bir ya da her iki tarafta da negatif terimler varsa, eksikliklerin her iki tarafta da toplanması gerekir; böylece her iki tarafın tüm terimleri pozitif olur. Daha sonra, her bir tarafta sadece bir terim kalana kadar eşitlerden eşitler çıkarmalıyız.
İskenderiye'li Diophantus, Arithmetica adlı bir kitap serisinin yazarı olan bir İskenderiye matematikçisiydi ve bu kitaplardan pek çoğu günümüzde kayıptır. Metinleri cebirsel denklemlerin çözülmesiyle ilgilidir. Claude Gaspard Bachet de Méziriac'ın Diophantus'un Arithmetica edisyonunu okurken, Pierre de Fermat, Diophantus tarafından ele alınan belirli bir denklemin çözümleri olmadığı sonucuna vardı ve şimdiye kadar Fermat'ın Son Teoremi olarak anılan "bu önermenin gerçekten harika bir ispatını" bulduğunu, detay vermeksizin sayfanın kenarına not etmiştir. Bu durum sayı teorisinde muazzam ilerlemelere yol açmış, Diophantus denklemleri "Diophantus geometrisi" çalışması ve Diophantus yaklaşımları matematiksel araştırmanın önemli alanları olmaya devam etmektedir. Diophantus, yaklaşık eşitliği ifade etmek için παρισότης parisotes terimini türetmiştir. Bu terim Latincede adaequalitas olarak çevrilen ve Pierre de Fermat tarafından fonksiyonlar için maksimumları ve eğrilere teğet doğruları bulmak için geliştirilen adequality tekniği haline gelmiştir. Diophantus, kesirleri sayı olarak tanıyan ilk Yunan matematikçisidir; bu nedenle katsayılar ve çözümler için pozitif rasyonel sayılara izin vermiştir. Modern kullanımda, Diophantus denklemleri genellikle tamsayı katsayılı cebirsel denklemlerdir ve bunlar için tam sayı çözümleri aranır.
Biyografi
Diophantus'un hayatı hakkında çok az şey bilinmektedir. İskenderiye, Mısır'da, Roma döneminde, muhtemelen MS 200 ile 214 arasından 284 ya da 298'e kadar yaşamıştır. Diophantus, tarihçiler tarafından çeşitli şekilde Yunan, ya da muhtemelen Helenleştirilmiş Mısırlı, ya da Helenleştirilmiş Babil'li olarak tanımlanmıştır. Bu kimliklendirilmelerin çoğu, 4. yüzyılın sofisti Diophantus the Arab ile karıştırılmadan kaynaklanabilir. Diophantus'un hayatı hakkındaki bilgilerimizin çoğu, Metrodorus tarafından oluşturulan 5. yüzyıl Yunan sayı oyunları ve bulmacaları antolojisinden türetilmiştir. Bazen onun epitafı olarak adlandırılan sorunlardan biri şu şekildedir:
'İşte Diophantus yatıyor,' harikayı görmek için.
Cebirsel sanat sayesinde, taş onun yaşını söyler:
'Tanrı ona hayatının altıda birini çocukluk olarak verdi,
Gençlik olarak bundan on iki de bir daha; sakal çıktığında;
Ardından evlilik başlamadan yedide bir daha;
Beş yılda sıçrayan yeni bir oğlu oldu.
Yazık, usta ve bilge adamın sevgili çocuğu
Babasının hayatının ölçüsünün yarısına ulaştığında zalim kader onu aldı. Sayılar bilimi ile kaderi avutarak dört yıl yaşadıktan sonra, hayatını sonlandırdı.'
Bu bulmaca, Diophantus'un yaşı x'in şu şekilde ifade edilebileceğini ima eder:
x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4
bu da x'e 84 yıl değeri verir. Ancak, bilginin doğruluğu bağımsız olarak doğrulanamaz.
Popüler kültürde, bu bulmaca Professor Layton and Pandora's Box'ta 142. Bulmaca olarak oyundaki en zor çözülen bulmacalarından biri olmuş ve önce diğer bulmacaları çözerek kilidi açılması gerekmiştir.
Arithmetica
Arithmetica, Diophantus'un ana eseri ve Yunan matematiklerinde cebir üzerine en ünlü eserdir. Hem belirli hem de belirsiz denklemlerin sayısal çözümlerini veren sorunların bir koleksiyonudur. Arithmetica'nın oluştuğu orijinal on üç kitaptan sadece altısı hayatta kalmıştır, ancak 1968'de keşfedilen dört Arapça kitabın da Diophantus'a ait olduğuna inananlar vardır. Arithmetica'dan bazı Diophantus sorunları Arap kaynaklarında bulunmuştur.
Burada Diophantus'un çözümlerinde asla genel yöntemler kullanmadığı belirtilmelidir. Ünlü Alman matematikçi Hermann Hankel, Diophantus hakkında aşağıdaki açıklamayı yaptı.
"Yazarımız Diophantos'un çalışmalarında genel, kapsamlı bir yöntemin emaresi görülmez; her sorun, en yakından ilişkili sorunlar için bile çalışmayan özel bir yöntem gerektirir. Bu nedenle, 100 Diophantos'un çözümünü inceledikten sonra bile modern bilim insanı için 101. sorunu çözmek zordur".
Tarih
Diğer pek çok Yunan matematiksel incelemesi gibi, Diophantus da, eski Yunanca çalışması büyük ölçüde azalmış olduğu için, sözde Karanlık Çağlar olarak adlandırılan dönemde Batı Avrupa'da unutulmuştur ve genel olarak okur-yazarlık da bu dönemde düşüş göstermiştir. Hayatta kalan Yunanca Arithmetica'nın bir kısmı, ancak, tüm eski Yunan metinleri gibi erken modern dünyaya iletilmiş, Bizans Ortaçağ bilginleri tarafından kopyalanmıştır ve bu nedenle onlar tarafından bilinmiştir. Bizans Yunan bilgini John Chortasmenos 1370–1437 tarafından yapılan Diophantus'a ilişkin scholialar, daha önceki Yunan bilgini Maximos Planudes 1260 – 1305 tarafından yazılan kapsamlı bir yorum ile birlikte korunmuştur; Planudes, Bizans İstanbul'daki Chora Manastırı kütüphanesinde Diophantus'un bir edisyonunu üretmiştir. Ek olarak, Arithmetica'nın bir kısmı muhtemelen Arap geleneğinde hayatta kalmıştır, yukarıya bakınız. 1463'te Alman matematikçi Regiomontanus şu şekilde yazmıştır:
Henüz hiç kimse Diophantus'un Yunancadan Latinceye on üç kitabını çevirmemiştir; bunlarda aritmetiğin en güzel kısmı gizlidir. . . .
Arithmetica ilk olarak Bombelli tarafından 1570'de Yunancadan Latinceye çevirmiştir, ancak çeviri hiçbir zaman yayınlanmamıştır. Ancak, Bombelli kendi kitabı Algebra için birçok sorunu ödünç almıştır. Arithmetica'nın editio princepsi 1575'te Xylander tarafından yayınlanmıştır. Arithmetica'nın en bilinen Latince çevirisi 1621'de Bachet tarafından yapılmış ve yaygın olarak kullanılabilir hale gelen ilk Latince edisyon olmuştur. Pierre de Fermat bir kopya sahibi olmuş, üzerinde çalışmış ve kenarlarına notlar almıştır.
Fermat ve Chortasmenos tarafından kenar yazıları
Bachet'in Arithmetica'nın 1621 edisyonu, Pierre de Fermat ünlü "Son Teoremi"ni kopyasının kenarına yazması sonrasında ün kazanmıştır:
Eğer bir tamsayı n 2'den büyükse, an + bn = cn sıfır olmayan tamsayılar a, b ve c içinde çözümlere sahip değildir. Bu önermenin gerçekten harika bir ispatı vardır ancak bu kenar bunun için çok dar.
Fermat'ın ispatı asla bulunmamıştır ve teorem için bir ispat bulma sorunu yüzyıllarca çözülmemiş kalmıştır. İspat sonunda 1994'te Andrew Wiles tarafından yedi yıl üzerinde çalıştıktan sonra bulunmuştur. Fermat'ın iddia ettiği ispatı aslında sahip olmadığına inanılmaktadır. Fermat'ın bunu yazdığı orijinal kopya günümüzde kaybı olsa da, Fermat'ın oğlu 1670'te yayınlanan Diophantus'un sonraki edisyonunu düzenlenmiştir. Metin başka türlü 1621 edisyonundan düşük kalitede olsa da, Fermat'ın ek notları —"Son Teoremi" dahil olmak üzere— bu versiyonda basılmıştır.
Fermat, Diophantus'a kendi kenar notları yazmaya teşvik edilen ilk matematikçi değildi; Bizans bilgini John Chortasmenos 1370–1437 aynı sorunun yanına "Senin ruhun, Diophantus, senin diğer teoremlerinin ve özellikle bu teoremin zorluğundan dolayı Şeytan'ın yanında olsun" yazıp konmuştur.
Diğer eserler
Diophantus, Arithmetica dışında birkaç başka kitap yazmış, ancak çok azı hayatta kalmıştır.
Porisms
Diophantus kendisi, The Porisms veya Porismata adlı bir lemma koleksiyonundan oluşan bir esere atıfta bulunmuş, ancak bu kitap tamamen kayıptır.
The Porisms kayıp olmasına rağmen, Diophantus bunları Arithmetica'da kullandığı için orada bulunan üç lemmadan bilmekteyiz. Bir lemma, iki rasyonel sayının küplerinin farkının iki başka rasyonel sayının küplerinin toplamına eşit olduğunu belirtir; yani herhangi bir a ve b için, a > b ile, c ve d var olduğu, tümü pozitif ve rasyoneldir;
a3 − b3 = c3 + d3.
Çokgen sayılar ve geometrik elemanlar
Diophantus'un ayrıca Pisagoras ve Pisagorcuların büyük ilgisini çeken bir konu olan çokgen sayılar üzerine yazmış olduğu bilinmektedir. Çokgen sayılarla ilgili bir kitabın parçaları günümüze ulaşmıştır.
Ön koşullar Geometrik Elemanlar olarak adlandırılan bir kitap geleneksel olarak İskender Kahramanı'na atfedilmiştir. Bunu yakın zamanda Wilbur Knorr çalışmış, İskender Kahramanı'na atfedilmesinin yanlış olduğunu ve gerçek yazarın Diophantus olduğunu öne sürmüştür.
Etki
Diophantus'un çalışması tarihte büyük bir etkiye sahip olmuştur. Arithmetica edisyonları, on altıncı yüzyılın sonu ve 17. ve 18. yüzyıllarda Avrupa'da cebirin gelişimine derin bir etki yaptıştır. Diophantus ve eserleri Arap matematiğini de etkilemiş ve Arap matematikçileri arasında büyük ün kazanmıştır. Diophantus'un çalışmasının Hindistan'ı ne kadar etkilediği tartışmalı bir konudur.
Diophantus sıklıkla "cebirin babası" olarak anılmaktadır çünkü sayı teorisine, matematiksel gösterime büyük ölçüde katkı sağladığı ve Arithmetica senkop gösteriminin bilinen ilk kullanımını içerdiği için.
Diophantus analizi
Günümüzde, Diophantus analizi, denklemler için tamsayı tam sayı çözümleri aranan çalışma alanıdır ve Diophantus denklemleri, yalnızca tamsayı çözümleri aranan tamsayı katsayılı polinom denklemleridir. Belirli bir Diophantus denkleminin çözülebilir olup olmadığını belirtmek genellikle zordur. Arithmetica'daki sorunların çoğu ikinci dereceden denklemlere yol açmaktadır. Diophantus üç farklı ikinci dereceden denklem türüne baktı: ax2 + bx = c, ax2 = bx + c ve ax2 + c = bx. Diophantus'un üç durumu varken, bugün sadece bir durumun olmasının sebebi, sıfır için herhangi bir kavramı olmaması ve her üç durumda da verilen a, b, c sayılarının tamamının pozitif olması nedeniyle negatif katsayıları ortadan kaldırmasıdır. Diophantus her zaman rasyonel çözümle tatmin olmuş ve tamsayı gerektirmemiş; bu da sorunlarına çözüm olarak kesirleri kabul ettiği anlamına gelir. Diophantus negatif veya irrasyonel kare kök çözümlerini "faydasız", "anlamsız" ve hatta "saçma" olarak değerlendirmiştir. Belirli bir örnek vermek gerekirse, 4 = 4x + 20 denklemini "saçma" olarak adlandırır çünkü bu, x için negatif bir değere yol açacaktır. İkinci dereceden denklemde aradığı tek bir çözümü vardır. Diophantus'un ikinci dereceden denklemin iki çözümü olabileceğini farkında olduğu yönünde hiç kanıt yoktur. Ayrıca eşzamanlı ikinci dereceden denklemleri de inceledi.
Matematiksel gösterim
Diophantus matematiksel gösterimde önemli ilerlemeler yaptı ve cebirsel gösterim ve sembolizm kullanarak ilk bilinen kişi oldu. Kendisinden önceki herkes denklemleri tamamen yazıyordu. Diophantus, sık sık karşılaşılan işlemler için kısaltılmış gösterim kullanılan ve bilinmeyen ve bilinmeyenin kuvvetleri için kısaltma kullanan bir cebirsel sembolizm tanıttı. Matematikçi tarihçi Kurt Vogel şu şekilde belirtmektedir:
Diophantus tarafından ilk kez tanıtılan ve kuşkusuz kendisinin tasarladığı sembolizm, bir denklemi ifade etmek için kısa ve kolayca anlaşılabilir bir yol sağladı... 'Eşit' sözcüğü için de bir kısaltma kullanıldığından, Diophantus sözel cebirden sembolik cebire doğru temel bir adım attı.
Diophantus sembolizmde önemli ilerlemeler yapmasına rağmen, daha genel yöntemleri ifade etmek için gerekli gösterimi hala eksik kalmıştır. Bu, çalışmasının genel durumlardan ziyade belirli sorunlarla daha çok ilgilenmesine neden olmuştur. Diophantus'un gösteriminin bazı sınırlamaları, sadece bir bilinmeyenin gösterimi olması ve sorunlar birden fazla bilinmeyeni içerdiğinde, Diophantus "ilk bilinmeyen", "ikinci bilinmeyen" vb. kelimelerle ifade etmeye indirgenmesidir. Ayrıca genel bir sayı n için bir sembol eksik kalmıştır. Biz 12 + 6n/n2 − 3 yazacakken, Diophantus şöyle yapıları kullanmak zorundadır: "... sayının on iki artırılmış altı katı, bu da sayının karesinin üçü aşan fark tarafından bölünen".
Cebir, çok genel sorunları kısa ve öz bir şekilde yazıp çözmeden önce uzun bir yoldan geçmesi gerekiyordu.
