Марина Вязовская: магическая функция, которая упаковала восемь измерений

Через несколько часов после того, как в марте 2016 года Марина Вязовская (Maryna Viazovska) опубликовала онлайн короткую статью, математик Акшай Венкатеш (Akshay Venkatesh) отправил коллеге электронное письмо с темой из одного слова: «Вау!». Статья всего на нескольких страницах решила задачу об упаковке шаров в восьмимерном пространстве, которая десятилетиями не поддавалась математикам. По словам Питера Сарнака (Peter Sarnak) из Принстона, решение было настолько элегантным, что «эту статью невозможно отложить, не дочитав до конца». Шесть лет спустя Вязовская стала лишь второй женщиной в истории, получившей Филдсовскую премию.

Дочь химика в постсоветском Киеве

Марина Сергеевна Вязовская родилась 2 декабря 1984 года в Киеве. Она была старшей из трех сестер в семье химика, работавшего на авиационном заводе «Антонов», и матери-инженера. Марина росла в условиях экономической нестабильности постсоветской Украины и училась в Киевском естественно-научном лицее № 145 — специализированной школе для одаренных детей. Там ее математические способности развивал Андрей Князюк (Andrii Knyazyuk), математик-исследователь, ставший учителем. Она активно участвовала в олимпиадах: заняла 13-е место на национальном отборе для подготовки к Международной математической олимпиаде, лишь немного не дотянув до проходного балла. Во время учебы на бакалавриате Киевского национального университета имени Тараса Шевченко она дважды, в 2002 и 2005 годах, побеждала на Международной математической студенческой олимпиаде, а в 2005 году стала соавтором своей первой научной работы.

Из Киева в Бонн

Ее профессиональное становление проходило в разных странах: степень магистра в Университете Кайзерслаутерна в Германии (2007), кандидатская диссертация в Институте математики НАН Украины (2010) и докторская степень (Dr. rer. nat.) в Боннском университете (2013), где она изучала модулярные функции и специальные циклы в аналитической теории чисел под руководством Дона Загира (Don Zagier) и Вернера Мюллера (Werner Müller). Еще до своего главного открытия она завоевала авторитет в научном сообществе: ее работа 2011 года с Андреем Бондаренко (Andriy Bondarenko) и Данилом Радченко (Danylo Radchenko), в которой была доказана гипотеза Кореваара-Мейерса о малых сферических дизайнах в произвольных размерностях, была опубликована в журнале «Анналы математики» (Annals of Mathematics) — одном из самых престижных изданий в этой области — задолго до того, как о ней узнали за пределами узкого круга специалистов.

Задача об упаковке шаров

Вопрос, который поставила перед собой Вязовская, имеет долгую и знаменитую историю: как упаковать одинаковые шары в пространстве, чтобы заполнить как можно больший объем? В трехмерном пространстве это известно как гипотеза Кеплера, доказанная лишь в конце 1990-х — начале 2000-х годов с помощью крайне сложных компьютерных вычислений. В некоторых высших размерностях задача приобретает неожиданные структуры благодаря особым высокосимметричным решеткам, в первую очередь решетке E₈ в восьмимерном пространстве и решетке Лича (Leech lattice) в двадцатичетырехмерном. Математики давно подозревали, что эти решетки обеспечивают максимально плотную упаковку шаров, но никто не мог этого доказать.

«Магическая функция»

В 2016 году, после завершения постдокторантуры в Берлинской математической школе, Гумбольдтовском университете и стипендии Минервы в Принстоне, Вязовская, работая преимущественно в одиночку, построила то, что стали называть «магической функцией» для 8-мерного пространства. Она была создана не с помощью классических модулярных форм, как того ожидали эксперты, а с помощью квазимодулярной формы с намеренно неидеальной симметрией. Эта функция позволила ей с поразительной краткостью доказать, что решетка E₈ действительно дает самую плотную упаковку шаров в восьми измерениях. В течение недели, работая вместе с Генри Коном (Henry Cohn), Абхинавом Кумаром (Abhinav Kumar), Стивеном Д. Миллером (Stephen D. Miller) и Данилом Радченко, она применила тот же метод к 24-мерному случаю с решеткой Лича. Этот период Радченко позже назвал «вероятно, самой безумной неделей в моей жизни». Два результата, опубликованные с разницей в несколько дней, закрыли проблему упаковки шаров в двух единственных размерностях (помимо трех), для которых существовало точное решение.

За пределами упаковки: универсальная оптимальность

В последующие годы Вязовская и ее коллеги пошли дальше, доказав в 2019 году, что решетки E₈ и Лича являются «универсально оптимальными». Это означает, что они минимизируют потенциальную энергию не только в одной физической модели, но и в широком классе энергетических функций, что имеет значение для самых разных областей — от отталкивания электронов до конфигураций полимеров. Математик Сильвия Серфати (Sylvia Serfaty) сравнила этот результат с «великими прорывами XIX века», назвав его «огромным научным достижением». Работа также способствовала развитию фурье-анализа благодаря подходу Вязовской к восстановлению функций по частичным спектральным данным — технике, выходящей далеко за рамки задачи об упаковке шаров.

Филдсовская премия и признание

В июле 2022 года Вязовская получила Филдсовскую премию, став второй женщиной-лауреатом после Марьям Мирзахани (Maryam Mirzakhani), вторым математиком, родившимся в УССР после Владимира Дринфельда (Vladimir Drinfeld), и первой обладательницей премии с дипломом украинского университета. Этому предшествовал целый ряд наград: премия Салема (2016), премия Клэя (2017), премия SASTRA Рамануджана (2017), Европейская премия по комбинаторике (2017), премия New Horizons (2018), премия Рут Литтл Саттер (2019), премия Ферма (2019), премия EMS (2020) и Национальная премия Лациса (2020). Позже в 2022 году она вошла в список 100 женщин по версии BBC. С января 2018 года она возглавляет кафедру теории чисел в Федеральной политехнической школе Лозанны (EPFL). Там она живет с мужем, физиком Даниилом Евтушинским (с которым познакомилась в школьном физическом кружке) и двумя детьми.

Почему Марину Вязовскую называют гением

Конкретным математическим качеством, стоящим за ярлыком «гений», является построение Вязовской точного доказательства в замкнутом виде. Ранее в области ожидалось — и в случае с 3-мерным доказательством Кеплера потребовалось — изнурительное компьютерное обоснование на сотни страниц. Поиск нужной квазимодулярной формы для 8-мерного доказательства требовал редкого сочетания глубоких технических знаний модулярных форм и почти эстетического инстинкта, позволяющего предвидеть, какая функция удовлетворит необходимым условиям интерполяции. Именно на этот инстинкт коллеги, от Сарнака до Венкатеша, отреагировали не с обычным одобрением, а с открытым изумлением. При этом стоит отметить, что задача об упаковке шаров в 8 и 24 измерениях была решаема именно благодаря тому, что эти размерности обладают исключительными решетчатыми структурами (E₈ и решетка Лича), которых нет в других пространствах. Это достижение не обобщается на произвольные размерности, и общая проблема упаковки шаров остается открытой почти везде. Кроме того, расширение до 24 измерений было коллективной работой, а даже знаменитое 8-мерное доказательство опиралось на уже существовавшие методы линейного программирования, разработанные другими исследователями (включая Кона) до того, как Вязовская нашла нужную функцию.

Наследие

Методы Вязовской стали стандартом в изучении упаковки, минимизации энергии и интерполяции Фурье. Ее Филдсовская премия, присужденная в первые месяцы полномасштабного вторжения России в Украину, имела особый символический вес для украинской науки, институты которой она продолжает публично поддерживать. В EPFL она продолжает готовить новое поколение теоретиков чисел, работающих на стыке решетчатой геометрии и аналитической теории чисел — области, которую во многом определила ее собственная карьера.