Марстон Кондер: человек, который считал симметрии

Любому математику в мире, которому нужно знать все трехвалентные симметричные графы с количеством вершин до десяти тысяч, не нужно выводить их самостоятельно. Они скачивают список Марстона Кондера (Marston Conder). То же самое справедливо для регулярных и хиральных карт на поверхностях широкого спектра рода, для групп автоморфизмов компактных римановых поверхностей, а также для регулярных и хиральных многогранников. За четыре десятилетия работы в Окленде Кондер превратил абстрактный вопрос «какие объекты такого типа являются наиболее симметричными?» в справочный материал — и тем самым незаметно стал одним из самых часто цитируемых математиков своего поколения.

От Матаматы до Оксфорда

Он родился в сентябре 1955 года в Гамильтоне, Новая Зеландия, и учился в колледже Матамата (Matamata College) — это был старт в маленьком городке, максимально удаленном от центров чистой математики. Его первая ученая степень была вовсе не по математике: в 1977 году он получил степень магистра социальных наук в Университете Вайкато (Waikato University). Три года спустя он получил докторскую степень в Оксфорде.

Его научным руководителем в Оксфорде был Грэм Хигман (Graham Higman), одна из колоссальных фигур теории групп XX века и основатель современного комбинаторного подхода к этому предмету. Диссертация Кондера 1980 года «Минимальные порождающие пары для групп перестановок» (Minimal generating pairs for permutation groups) уже в названии раскрывала тему, которой он посвятил всю жизнь. Вопрос обманчиво прост: можно ли породить всю группу всего двумя элементами, и если да, то какими именно, чтобы это было максимально экономично? Двухэлементное порождение — это ось, вокруг которой вращается огромное количество теории симметрии, потому что самые симметричные объекты в геометрии и комбинаторике — это именно те, чьи группы симметрии порождаются очень малым числом очень простых движений.

Объекты максимальной симметрии

Программу Кондера, которую он поддерживал сорок лет, можно сформулировать одной строкой: изучать дискретные структуры, обладающие максимально возможной симметрией при заданных ограничениях. Зафиксируйте ограничение — граф должен быть трехвалентным, карта должна лежать на поверхности рода пять, многогранник должен иметь определенный ранг — и спросите, какие удовлетворяющие этому объекты являются максимально симметричными. Ответы редко бывают очевидными и почти никогда не бывают многочисленными, что и делает их достойными каталогизации.

Инструменты были взяты из комбинаторной и вычислительной теории групп, включая методы работы с конечно определенными группами и их образами. Это та область алгебры, где группа задается не перечислением элементов, а горсткой образующих и соотношений, и главная трудность здесь в том, что такое представление может скрывать почти что угодно — включая бесконечную или тривиальную группу, и отличить их непросто. Специализацией Кондера было извлечение строгих, исчерпывающих и доказуемо полных ответов из таких представлений, причем в масштабах, которые стали возможны только тогда, когда вычисления были должным образом соединены с теорией.

Карты, хиральность и многогранники

Наиболее богатой жилой оказались карты: вложения графов в поверхности, где интерес представляют регулярные карты, группа симметрии которых действует настолько транзитивно, насколько позволяет структура. Рядом с ними стоят хиральные объекты, которые допускают любую вращательную симметрию, но не отражение — математический аналог левой руки, не совмещаемой со своим зеркальным отражением. Премия Джонса (Jones Medal) Королевского общества Новой Зеландии в 2018 году была присуждена именно за это: его работу по «симметрии и хиральности в дискретных структурах».

Он расширил этот подход. Институт комбинаторики и его приложений (Institute of Combinatorics and its Applications), присуждая ему медаль Эйлера (Euler Medal), перечислил симметрии и вложения графов, регулярные и хиральные карты, регулярные и хиральные многогранники, разбиения ребер графов, многомерные экспандерные графы и двоичные коды Грея — диапазон, который простирается от классической топологии поверхностей до объектов с прямым применением в теории кодирования и сетей. Из этого вышло более 170 статей и пятнадцать докторов наук.

Переписчик

Что отличает Кондера от других сильных алгебраистов, так это то, что он делал с результатами. Вместо того чтобы публиковать теорему и идти дальше, он создавал и публиковал репозитории — полные переписи классов объектов, вычисленные один раз, правильно и предоставленные всем желающим. Каталог трехвалентных симметричных графов доходит до 10 000 вершин. Переписи карт и многогранников охватывают диапазоны, которых раньше никто не достигал. К ним обращаются во всем мире, включая исследователей, не интересующихся теорией групп, которым просто нужно знать, существует ли объект с определенными свойствами, или проверить гипотезу на всех известных случаях, прежде чем тратить на это год.

Эта привычка — относиться к знаниям как к инфраструктуре, а не как к личной собственности — прямо зафиксирована в его послужном списке; ICA особо отметила его репутацию человека, свободно делящегося знаниями, и наличие исследовательских репозиториев, которыми может пользоваться любой желающий.

Публичный математик

Кондер стал полным профессором в Окленде в 1993 году и заслуженным профессором в 2012 году. Он был президентом Новозеландского математического общества с 1993 по 1995 год, содиректором Новозеландского института математики и ее приложений, а также президентом Академии Королевского общества Новой Зеландии с 2006 по 2008 год — высшая научная должность в стране, которую занимал математик-теоретик, что не является обычной практикой где-либо еще.

За работой последовали награды: стипендия Джеймса Кука (James Cook Research Fellowship) в 2011 году, звание члена Американского математического общества в 2012 году, медаль Гектора (Hector Medal) в 2014 году, медаль Джонса в 2018 году, а в 2020 году — медаль Эйлера от Института комбинаторики и его приложений (за выдающийся жизненный вклад в комбинаторные исследования) и назначение офицером Ордена Заслуг Новой Зеландии (New Zealand Order of Merit).

Почему Марстона называют гением

Его специфическое качество — редкий гибрид: алгебраическая глубина в сочетании с вычислительной дисциплиной. Многие математики могут доказать теорему о симметричных структурах; многие другие могут написать код, который перечисляет примеры. Характерное достижение Кондера — исчерпывающая классификация: доказательство того, что вычисленный список не просто длинный, а полный, что ничего не пропущено. Это требует теории для ограничения пространства поиска, вычислений для его прочесывания и терпимости к проверке ошибок, которую большинство теоретиков считают ниже своего достоинства, а большинство программистов — выше своих сил. Его переписи выдержали проверку временем; это и есть главный критерий.

В формулировке к медали Эйлера упоминаются сорок лет выдающегося вклада в симметрии графов, хиральные карты и многогранники, экспандеры и коды Грея, а в медали Джонса особо отмечаются симметрия и хиральность. Это профессиональные организации, использующие свои самые престижные инструменты, что максимально близко к тому, как комбинаторика использует слово «гений».

Стоит прямо сказать и о противоположной стороне. Кондер не решил ни одной знаменитой открытой проблемы и не ввел теорию, которая носила бы его имя. Нет никакой «гипотезы Кондера», никакого «инварианта Кондера». Его гений — картографического рода: исчерпывающее, надежное картирование территории, границы которой наметили другие, — а не тот, что открывает новые земли. Строгий оценщик сказал бы, что он — лучший «переписчик» из всех, что дала математика в этой области, и что быть незаменимым — не то же самое, что быть революционером. Ответ на это заключается в том, что в дисциплине, утопающей в непроверенных утверждениях, полные и правильные ответы реже, чем умные, и живут дольше.

Наследие

Самое долговечное наследие Кондера необычно для математика-теоретика: это набор таблиц. К его репозиториям будут обращаться люди, которые никогда не читали его доказательств и, возможно, не знают его имени, точно так же, как инженеры сверяются с таблицами физических констант. За этим стоит более весомое наследие — демонстрация того, что маленькая страна, почти не имеющая критической массы в его области, может проводить исследования мирового уровня, и что математик может руководить национальной академией, не переставая быть работающим исследователем. Пятнадцать докторов наук и 170 статей спустя комбинаторика в Новой Зеландии стала признанным международным узлом, а не захолустьем, и многое из этого восходит к одному человеку в Окленде, который не прекращал считать.