Ефим Зельманов: Человек, укротивший бесконечные группы

На протяжении большей части двадцатого века ограниченная проблема Бернсайда оставалась в списке великих нерешенных вопросов теории групп, сопротивляясь лучшим умам этой области почти сто лет. В 1991 году советский математик, работавший в Новосибирске и обученный в области малоизвестной алгебры йордановых структур, наконец решил ее — не прямым штурмом, а привлекая математические инструменты из, казалось бы, не связанного с этим раздела дисциплины. Три года спустя он получил Филдсовскую премию, высшую награду в математике, за это достижение.

От Хабаровска до математического центра Новосибирска

Ефим Исаакович Зельманов родился 7 сентября 1955 года в Хабаровске, на советском Дальнем Востоке. Он учился в Новосибирском государственном университете, который тогда был одним из сильнейших центров алгебры в Советском Союзе, получил степень магистра в 1977 году и остался работать на кафедре. В 1980 году он защитил там кандидатскую диссертацию под руководством А.И. Ширшова и Л.А. Бокута, работая над неассоциативной алгеброй — технической специальностью, сфокусированной на алгебраических системах, таких как йордановы алгебры, которые не подчиняются обычному правилу, согласно которому порядок умножения можно свободно переставлять. Позже, в 1985 году, он получил степень доктора физико-математических наук в Ленинградском государственном университете, что было продвинутой советской квалификацией выше кандидатской. Его ранняя карьера полностью разворачивалась в рамках советской академической системы: младший научный сотрудник Института математики СО АН СССР в Новосибирске с 1980 года, повышен до старшего научного сотрудника в 1985 году и ведущего научного сотрудника в 1986 году, прежде чем покинуть институт в 1987 году.

Расширение йордановой алгебры в бесконечные измерения

Репутация Зельманова была построена прежде всего на йордановых алгебрах, алгебраической структуре, первоначально введенной для формализации аспектов квантовой механики. Классические результаты в этой области были доказаны только для конечномерных случаев; Зельманов расширил основные структурные теоремы на бесконечные измерения, что стало технически грозным обобщением, утвердившим его как ведущего авторитета в этой теме. В 1987 году он применил связанные методы к отдельной открытой проблеме в теории алгебр Ли, доказав, что так называемое тождество Энгеля влечет нильпотентность даже в бесконечномерных алгебрах — еще один результат, который ускользал от прямого доказательства с использованием стандартных методов этой области.

Решение ограниченной проблемы Бернсайда

Достижение, которое определило его карьеру, пришло в 1991 году. Ограниченная проблема Бернсайда спрашивала, существует ли для групп, порожденных фиксированным числом элементов, в которых каждый элемент имеет порядок, делящий некоторое фиксированное число, фиксированный максимальный размер конечной группы — то есть, могут ли такие группы расти только до определенного предела, прежде чем вступит в силу другое ограничение, независимо от того, как они построены. Этот вопрос занимал теоретиков групп практически весь двадцатый век. Зельманов решил его не с помощью инструментов, присущих теории групп, а импортировав теорию структур, которую он построил для йордановых алгебр, в сочетании с новыми методами, включающими то, что математики называют «сэндвич-алгебрами» и разделенными степенями — аппарат, который позволил ему перевести упрямый теоретико-групповой вопрос в форму, на которую могла ответить его собственная специализированная алгебра. Междисциплинарный путь к решению был столь же примечателен для его коллег, как и само решение: он фактически построил инструменты, необходимые для решения проблемы, годами ранее, работая над тем, что выглядело как не связанный с этим вопрос в другой ветви алгебры.

Филдсовская премия и карьера эмигранта

Зельманов покинул Советский Союз во время его распада и восстановил свою карьеру в ряде американских университетов: Висконсинский университет в Мэдисоне в 1990 году, Чикагский университет в 1994 году, Йельский университет с 1995 по 2002 год и Калифорнийский университет в Сан-Диего с 2002 года, где он занимал именную кафедру Риты Л. Аткинсон. В 1994 году на Международном конгрессе математиков в Цюрихе он получил Филдсовскую премию за работу по теории групп и теории йордановых алгебр и алгебр Ли. Он уже получил медаль Коллеж де Франс в 1992 году, а позже получил премию Андре Айзенштадта в 1996 году. В 2001 году он был избран в Национальную академию наук США как самый молодой член ее математического отделения на тот момент. Он входил в редакционные советы ведущих журналов, включая Annals of Mathematics и Journal of Algebra.

Почему Ефима называют гением

Случай гениальности Зельманова основан на специфическом и необычном паттерне: он решил одну из старейших проблем теории групп, используя интеллектуальный аппарат, который он построил для совершенно другой области, за годы до того, как применил его к проблеме Бернсайда. Это не гениальность грубого вычисления или более быстрого прохождения известного метода, чем кто-либо другой; это более редкая способность распознать, что структурное озарение, разработанное для бесконечномерных йордановых алгебр — области, к которой большинство теоретиков групп никогда бы не обратились — содержало именно тот инструмент, который был нужен, чтобы взломать столетний вопрос в поверхностно не связанной дисциплине. Формулировка комитета Филдсовской премии за работу, охватывающую теорию групп, йордановы алгебры и алгебры Ли, отражает именно это перекрестное опыление, а не глубину в одной узкой специальности. Честная сложность заключается в том, что ограниченная проблема Бернсайда была столетними коллективными усилиями, а не головоломкой, к которой Зельманов подошел без предварительных наработок: он работал в рамках проблемы, чьи термины, частичные результаты и известные трудности уже были подробно описаны поколениями предыдущих теоретиков групп, и его собственное решение напрямую опиралось на структурную работу, которую он и другие проделали над йордановыми алгебрами и алгебрами Ли в 1980-х годах. Его гениальность, в этой интерпретации, была меньше вспышкой озарения, чем необычайной широтой взгляда, позволившей увидеть, что аппарат из его собственных предыдущих, отдельных исследований применим к проблеме, которую остальная часть области все еще атаковала «в лоб».

Наследие

Решение Зельманова закрыло вопрос, который формировал исследования в теории групп на протяжении века, и алгебраические методы, которые он разработал для этого, остаются активными инструментами в этой области. Сейчас, будучи профессором в Калифорнийском университете в Сан-Диего, он продолжает работать на границе теории групп и неассоциативной алгебры, и его карьера — от советской математической школы в Новосибирске до высшей награды в мировой математике — является одной из примечательных историй успеха эмигрантов поздней советской науки.