Короткий ответ: Задачи тысячелетия — это семь открытых вопросов, выбранных Математическим институтом Клэя и объявленных в Париже 24 мая 2000 года, с наградой в 1 миллион долларов за каждый. Была решена только одна: гипотеза Пуанкаре, доказанная Григорием Перельманом в работах, опубликованных в 2002 и 2003 годах. Институт Клэя присудил ему премию 18 марта 2010 года. Он отказался от нее, как и от медали Филдса в 2006 году.
Краткий обзор
| Спонсор | Математический институт Клэя |
|---|---|
| Объявлено | 24 мая 2000 г., Коллеж де Франс, Париж |
| Премия | 1 миллион долларов за задачу |
| Задачи | 7 |
| Решена | 1: гипотеза Пуанкаре (Григорий Перельман) |
| Премия присуждена | 18 марта 2010 г.; отказ 1 июля 2010 г. |
| Остаются открытыми | Гипотеза Римана, P против NP, уравнения Навье-Стокса, теория Янга-Миллса, гипотеза Ходжа, гипотеза Бёрча и Свиннертон-Дайера |
Что такое задачи тысячелетия
24 мая 2000 года в Коллеж де Франс в Париже Математический институт Клэя представил семь задач и пообещал 1 миллион долларов за первое принятое решение по каждой из них. Джон Тейт и Майкл Атья представили их в своих лекциях в тот вечер.
Этот шаг был сделан намеренно. Сто лет назад, 8 августа 1900 года, David Hilbert Давид Гильберт представил список открытых проблем на Международном конгрессе математиков в Париже, и этот список во многом определил математику XX века. Институт Клэя хотел составить новый список для нового столетия и приложить денежное вознаграждение, чтобы привлечь внимание общественности к исследованиям, которые редко его получают.
Институт поручил ведущему специалисту составить официальную формулировку для каждой задачи. Эндрю Уайлс написал формулировку гипотезы Бёрча и Свиннертон-Дайера, Стивен Кук — задачи P против NP, Пьер Делинь — гипотезы Ходжа, Чарльз Фефферман — уравнений Навье-Стокса, Энрико Бомбьери — гипотезы Римана, а Артур Джаффе и Эдвард Виттен — задачи Янга-Миллса.
Семь задач вкратце
| Задача | Область | Вопрос простыми словами | Статус |
|---|---|---|---|
| Гипотеза Римана | Теория чисел | Имеют ли все нетривиальные нули дзета-функции Римана вещественную часть 1/2? Ответ определяет распределение простых чисел. | Открыта |
| P против NP | Компьютерные науки | Если предложенное решение можно быстро проверить, можно ли его всегда быстро найти? | Открыта |
| Существование и гладкость решений уравнений Навье-Стокса | Гидродинамика | Имеют ли уравнения движения жидкости в трехмерном пространстве всегда гладкие решения, или они могут разрушаться? | Открыта |
| Существование и дефект массы теории Янга-Миллса | Математическая физика | Можно ли строго построить квантовую теорию Янга-Миллса и предсказывает ли она минимальную положительную энергию? | Открыта |
| Гипотеза Ходжа | Алгебраическая геометрия | Всегда ли некоторые топологические особенности алгебраических фигур строятся из более простых алгебраических элементов? | Открыта |
| Гипотеза Бёрча и Свиннертон-Дайера | Теория чисел | Предсказывает ли единственная функция количество рациональных точек на эллиптической кривой? | Открыта |
| Гипотеза Пуанкаре | Топология | Является ли любая замкнутая трехмерная фигура, на которой любой цикл можно стянуть в точку, трехмерной сферой? | Решена Перельманом; премия присуждена в 2010 г. |
Шесть задач, которые остаются открытыми
Гипотеза Римана
Самая старая задача в списке. Bernhard Riemann Бернхард Риман сформулировал ее в 1859 году, а Гильберт поставил ее восьмой в своем списке 1900 года. Компьютерные поиски не нашли ни одного нуля вне критической прямой, но поиск не является доказательством. Наше руководство по гипотезе Римана разъясняет формулировку.
P против NP
Единственная проблема из области информатики. Большинство экспертов считают, что P не равно NP, что означает, что некоторые задачи легко проверить, но трудно решить. Значительная часть современной криптографии молчаливо исходит из того, что это ожидание верно.
Навье-Стокса
Инженеры используют эти уравнения каждый день для моделирования потока воздуха над крыльями и воды в трубах. Однако никто не доказал, что гладкие решения всегда существуют в трех измерениях, или не нашел случая, когда они «взрываются».
Янга-Миллса и проблема массового зазора
Теория восходит к статье 1954 года Chen Ning Yang и Роберта Миллса, и она лежит в основе Стандартной модели физики элементарных частиц. Физики используют ее с большим успехом. Математики еще не доказали, что она существует на строгом фундаменте.
Гипотеза Ходжа
Самая абстрактная из семи, и ее сложнее всего сформулировать без технической лексики. Она спрашивает, можно ли класс объектов, определенных топологией, всегда составить из объектов, определенных полиномиальными уравнениями.
Бёрча и Суиннертон-Дайера
Брайан Бёрч и Питер Суиннертон-Дайер пришли к этой гипотезе в начале 1960-х годов на основе вычислений на одном из ранних компьютеров EDSAC в Кембридже. Andrew Wiles, который доказал Великую теорему Ферма в 1990-х годах, написал описание Клэя для нее.
Пуанкаре и Перельман: единственная решенная
Henri Poincaré сформулировал свою гипотезу в 1904 году. Грубо говоря, она спрашивает, должна ли трехмерная фигура, проходящая простой тест (в которой любая петля может быть сжата в точку, не покидая фигуру), быть трехмерной сферой. Вопрос оставался недоказанным большую часть столетия.
Grigori Perelman, математик из Санкт-Петербурга, решил ее в трех статьях, опубликованных на arXiv 11 ноября 2002 года, 10 марта 2003 года и 17 июля 2003 года. Он опирался на поток Риччи, метод, который Ричард Гамильтон ввел в статье 1982 года, и нашел пути преодоления препятствий, которые тормозили процесс. Перельман не представлял статьи в журнал. Группы специалистов потратили несколько лет на их проверку.
18 марта 2010 года институт Клэя объявил о присуждении премии. «Это крупный прогресс в истории математики, который надолго запомнится», — сказал Джеймс Карлсон, тогдашний президент института Клэя. 1 июля 2010 года Перельман отказался от нее. Он сообщил российскому информационному агентству «Интерфакс», что «главная причина — мое несогласие с организованным математическим сообществом», добавив: «Мне не нравятся их решения, я считаю их несправедливыми». Он считал вклад Гамильтона не меньшим, чем свой собственный.
Это был его второй отказ. В августе 2006 года на Международном конгрессе математиков в Мадриде он отказался от Филдсовской премии, высшей награды для математиков моложе 40 лет. В широко приписываемом ему замечании он сказал: «Меня не интересуют деньги или слава, я не хочу быть выставленным напоказ, как животное в зоопарке». Тем не менее, институт Клэя и Институт Анри Пуанкаре провели конференцию в Париже в июне 2010 года, чтобы отметить решение.
Как решение выигрывает деньги
Никто не выигрывает, отправляя доказательство в институт Клэя по почте. Институт не принимает прямые заявки. Согласно правилам, последний раз пересмотренным 26 сентября 2018 года, решение признается квалифицированным только при соблюдении трех условий:
- Оно было опубликовано в соответствующем издании, как определено правилами.
- Прошло не менее двух лет с момента публикации.
- Оно получило всеобщее признание в мировом математическом сообществе.
Эти условия объясняют, почему заявления о доказательствах, которые регулярно появляются в интернете и прессе, не меняют статистику. Случай Перельмана демонстрирует некоторую гибкость: он никогда не публиковался в журнале, но институт Клэя принял статьи с arXiv после того, как эксперты их подтвердили.
Нужен ли гениальный IQ, чтобы решить одну из них?
Никакой тест на интеллект не может этого сказать. Перельман никогда не публиковал свой результат IQ, и не существует подтвержденных данных ни для него, ни для любого живущего математика, работающего над этими проблемами. Документированным доказательством его способностей является его работа: золотая медаль с максимальным баллом на Международной математической олимпиаде 1982 года, а затем само доказательство.
Тесты также имеют свои ограничения. WAIS-IV сообщает о шкальных оценках до 160, уровня, которого достигает примерно 1 из 31 600 человек, и количество людей выше этой планки намного больше, чем количество тех, кто продвинулся в решении «проблемы тысячелетия». Что отличает эти две группы, так это годы специальных знаний, постоянная концентрация на одном вопросе и, зачастую, новый метод. Поток Риччи Гамильтона существовал два десятилетия, прежде чем Перельман закончил работу.
Записи об исторических математиках см. в рейтинге IQ математиков. О том, что предсказывают, а что не предсказывают высокие баллы, см. что считается высоким IQ и признаки высокого интеллекта. Наш бесплатный тест IQ является тренировочным инструментом, а руководства по IQ объясняют, как работает профессиональное тестирование.
Часто задаваемые вопросы
Сколько проблем премии тысячелетия было решено?
Одна. Гипотеза Пуанкаре была доказана Григорием Перельманом в статьях, опубликованных в 2002 и 2003 годах, и Математический институт Клэя присудил ему премию 18 марта 2010 года. Остальные шесть, включая гипотезу Римана и равенство классов P и NP, остаются открытыми.
Почему Григорий Перельман отказался от премии в 1 миллион долларов?
В 2010 году он заявил агентству «Интерфакс», что основной причиной был его несогласие с организованным математическим сообществом, чьи решения он назвал несправедливыми. Он также считал, что вклад Ричарда Гамильтона — метод потока Риччи, на котором он основывался, — не меньше его собственного. Ранее, в 2006 году, он уже отказался от Филдсовской медали.
Кто выплачивает Премию тысячелетия?
Математический институт Клэя, частный фонд в США. Он объявил об этих задачах 24 мая 2000 года в Париже и пообещал 1 миллион долларов за первое принятое решение каждой из них. Решение должно быть опубликовано, пройти проверку в течение как минимум двух лет и получить всеобщее признание среди математиков.
Какая задача Премии тысячелетия самая простая?
Легких задач нет, и специалисты расходятся во мнениях, какая из них ближе всего к решению. Задачу равенства классов P и NP проще всего сформулировать обычным языком, а задача Навье-Стокса выглядит наиболее конкретной, поскольку инженеры используют эти уравнения ежедневно. Простота формулировки ничего не говорит о простоте доказательства.
Могу ли я отправить доказательство в Математический институт Клэя?
Нет. Клэй не принимает прямые заявки. Предложенное решение должно сначала появиться в квалифицированной публикации, должно пройти не менее двух лет, и оно должно получить всеобщее признание в математическом сообществе, прежде чем институт рассмотрит его.
Источники
- Задачи Премии тысячелетия (Википедия) — Дата объявления и докладчики, список задач, авторы официального заявления, статус на 2026 год
- Математический институт Клэя: Премия за решение гипотезы Пуанкаре присуждена (пресс-релиз, 18 марта 2010 г.) — Дата награждения, три даты публикации Перельмана на arXiv, поток Риччи Гамильтона, цитата Карлсона, конференция в Париже в июне 2010 г.
- Правила для задач Премии тысячелетия (Математический институт Клэя) — Прямая подача заявок не допускается; квалифицированный источник, двухлетний срок ожидания, всеобщее признание; правила приняты 26 сентября 2018 г.
- Задачи Премии тысячелетия (Математический институт Клэя и Американское математическое общество, книга) — Встреча в Коллеж де Франс, лекции Тейта и Атьи, лекция Гильберта от 8 августа 1900 г., происхождение гипотезы Бёрча — Свиннертон-Дайера в ЭВМ EDSAC
- Российский математик отклонил премию в 1 миллион долларов (Associated Press через NBC News, 2010 г.) — Цитаты Перельмана для «Интерфакса» и его взгляд на вклад Гамильтона
- Григорий Перельман (Википедия) — Отказ от Филдсовской медали 22 августа 2006 г. в Мадриде, цитата о деньгах и славе, отказ от премии 1 июля 2010 г., золотая медаль олимпиады 1982 г.
Редакционный стандарт: показатели IQ для исторических личностей являются ретроспективными оценками и отмечены как таковые; баллы для живущих людей появляются только в том случае, если человек сам их раскрыл или авторитетный источник сообщил о них. Исправления: связаться с редакторами.