Toshikazu Sunada: O matemático que respondeu a uma pergunta sobre tambores

Em 1966, o matemático Mark Kac colocou uma questão que se tornou uma das mais famosas da matemática do século XX: "Pode-se ouvir a forma de um tambor?" — isto é, o espectro de frequências que um tambor produz determina unicamente a sua forma? Durante quase duas décadas, a pergunta resistiu a uma resposta clara. Então, em 1985, Toshikazu Sunada, trabalhando a partir de uma direção inesperada enraizada na teoria dos números em vez da acústica, produziu um método de construção geral que gerou pares de tambores com formas diferentes — matematicamente, variedades isoespectrais — que soam de forma idêntica. A resposta acabou por ser não, e Sunada foi quem o provou de uma forma sobre a qual outros matemáticos puderam construir.

Do Instituto de Tecnologia de Tóquio a uma carreira nacional

Sunada nasceu a 7 de setembro de 1948, em Tóquio, e estudou no Instituto de Tecnologia de Tóquio, uma das principais universidades técnicas do Japão. A sua carreira académica passou posteriormente por uma sequência das universidades de investigação mais proeminentes do Japão: ocupou cargos de professor na Universidade de Nagoya de 1988 a 1991, na Universidade de Tóquio de 1991 a 1993 e na Universidade de Tohoku de 1993 a 2003, antes de se estabelecer na Universidade Meiji em 2003, onde permanece uma figura central. Em Meiji, tornou-se o reitor fundador da Escola de Ciências Matemáticas Interdisciplinares, servindo de 2013 a 2017 e moldando uma nova estrutura institucional destinada explicitamente a ligar a matemática pura a outras disciplinas. Atualmente, detém o estatuto de professor emérito tanto na Meiji como na Tohoku e, desde 2019, tem servido como presidente da Sociedade de Educação Matemática do Japão, estendendo a sua influência da investigação matemática para a forma como a disciplina é ensinada a nível nacional.

Resolvendo o problema do tambor de Kac

A conquista individual mais célebre de Sunada é a sua técnica de construção de 1985 para produzir variedades isoespectrais mas não isométricas — objetos que são geometricamente distintos mas partilham exatamente o mesmo espectro de frequências vibratórias, os tambores matemáticos que "soam" de forma idêntica apesar de terem formas diferentes. O que tornou a sua abordagem distintiva foi a sua base: em vez de atacar a geometria diretamente, Sunada construiu a sua construção sobre um modelo geométrico extraído da teoria dos números, traduzindo um problema analítico e geométrico para um quadro onde as técnicas da teoria dos números podiam fazer o trabalho real. Esta manobra interdisciplinar é o que os matemáticos apontam como o avanço — não apenas que existia um contraexemplo à esperança implícita de Kac, mas que Sunada forneceu um método sistemático para gerar famílias inteiras deles, um método que outros investigadores puderam depois adaptar e estender. Em 1988, trabalhando com Atsushi Katsuda, Sunada levou as ideias subjacentes mais longe, estabelecendo um paralelo geométrico ao teorema clássico de Dirichlet sobre números primos em progressões aritméticas, reformulado dentro do cenário dos sistemas dinâmicos — uma demonstração adicional do mesmo instinto para encontrar estruturas da teoria dos números escondidas dentro de problemas geométricos e dinâmicos.

Análise geométrica discreta e o cristal K4

Para além do problema do tambor, Sunada construiu um corpo substancial de trabalho no que ele e outros denominam análise geométrica discreta: estudar a geometria de grafos e redes utilizando ferramentas originalmente desenvolvidas para espaços contínuos. Desenvolveu interpretações da teoria dos grafos das funções zeta de Ihara, analisou passeios aleatórios em redes cristalinas e investigou análogos discretos de operadores periódicos magnéticos de Schrödinger — trazendo a matemática da mecânica quântica e da teoria dos números para a estrutura combinatória de grafos periódicos infinitos. Esta linha de investigação culminou num dos seus resultados publicamente mais marcantes: em 2005, Sunada identificou uma estrutura de rede cristalina matematicamente distinta agora conhecida como cristal K4. O que distingue o cristal K4 é uma propriedade chamada isotropia forte, o que significa que a estrutura parece idêntica em todas as direções a partir de qualquer um dos seus vértices — uma simetria tão rara entre as possíveis redes cristalinas que, de acordo com a própria análise de Sunada, apenas a estrutura cristalina do diamante a partilha. O diamante e o K4 mantêm-se, neste sentido, como uma espécie de par de "gémeos matemáticos" entre todas as estruturas de rede periódicas concebíveis, uma descoberta que liga a teoria dos grafos pura diretamente a questões reais na cristalografia e na ciência dos materiais, uma vez que a rede K4 tem desde então atraído interesse como modelo para novos materiais hipotéticos à base de carbono ou nanoestruturados.

Reconhecimento dentro da matemática japonesa

As contribuições de Sunada têm sido reconhecidas repetidamente pelo estabelecimento matemático do Japão: recebeu o Prémio Iyanaga da Sociedade Matemática do Japão em 1987, o seu Prémio de Publicação em 2013, o Prémio Hiroshi Fujiwara para as Ciências Matemáticas em 2017, um Prémio nacional de Ciência e Tecnologia em 2018 e o Prémio inaugural Kodaira Kunihiko em 2019 — um prémio com o nome de um dos matemáticos mais célebres do século XX do Japão, ele próprio um marcador da estima em que os seus pares têm Sunada. Os seus campos de investigação, abrangendo a geometria espectral, a geometria analítica complexa, os sistemas dinâmicos, a teoria da probabilidade, a teoria dos grafos e a cristalografia matemática, refletem uma carreira construída menos em torno de uma única especialidade estreita do que em torno de um método recorrente: encontrar o esqueleto algébrico ou da teoria dos números escondido dentro de problemas geométricos e físicos.

Por que Toshikazu é chamado de génio

A alegação mais forte de Sunada para a palavra é um ato específico e bem documentado de criatividade matemática: resolver, para uma ampla classe de casos, uma questão — "pode-se ouvir a forma de um tambor?" — que tinha deixado o campo perplexo durante quase duas décadas, e fazê-lo não por força analítica bruta, mas por uma tradução inesperada para a teoria dos números, um movimento que os matemáticos descrevem consistentemente como um verdadeiro avanço conceptual em vez de um avanço incremental. Esse mesmo instinto para a tradução entre domínios produziu mais tarde o cristal K4, um objeto que liga a teoria dos grafos abstrata à cristalografia física de uma forma que poucos matemáticos puros conseguem. O contra-argumento honesto é que a fama de Sunada, mesmo dentro da matemática, está largamente confinada a especialistas em geometria espectral e análise geométrica discreta; o seu trabalho não remodelou a matemática à escala de um resultado ao nível da Medalha Fields, e os seus prémios, embora genuinamente prestigiosos, são principalmente honras domésticas japonesas em vez dos principais prémios internacionais. O seu génio é real mas específico: um dom para encontrar a arquitetura da teoria dos números escondida sob puzzles geométricos, implantado com uma precisão invulgar ao longo de uma carreira longa e ainda ativa.

Legado

A construção de variedades isoespectrais de Sunada permanece um ponto de referência padrão na geometria espectral, citado sempre que os matemáticos discutem os limites do que um espectro pode revelar sobre uma forma. O cristal K4 que identificou em 2005 continua a atrair o interesse de cristalógrafos e cientistas de materiais que exploram novas estruturas de rede, dando a uma peça de teoria dos grafos pura uma vida após a morte invulgarmente direta na ciência aplicada — um legado apropriado para um matemático cujo movimento de assinatura foi sempre encontrar a ponte surpreendente entre dois campos que pareciam, à primeira vista, não ter nada a ver um com o outro.