Raghavan Narasimhan: O homem que resolveu o problema de Levi

Em 1962, o Congresso Internacional de Matemáticos convidou um jovem analista indiano a proferir uma das suas palestras. Ele tinha vinte e cinco anos e só viria a receber o seu doutoramento um ano mais tarde. O convite não foi uma cortesia: dois anos antes, Raghavan Narasimhan tinha resolvido o problema de Levi para espaços complexos, uma questão que estivera em aberto durante meio século e que derrotara uma geração dos melhores analistas da Europa. Passou as cinco décadas seguintes em Chicago, escrevendo os manuais escolares a partir dos quais toda a gente aprendeu a matéria.

Madras e o Padre Racine

Nasceu a 31 de agosto de 1937 em Madras. A sua formação matemática começou no Loyola College, ali situado, onde obteve a sua licenciatura em 1957 e estudou sob a tutela do Padre Racine, o jesuíta francês que levou a análise continental para um país que tinha produzido Ramanujan, mas pouca infraestrutura institucional. Narasimhan seguiu para Bombaim, entrando na órbita do Instituto Tata, e obteve o seu doutoramento pela Universidade de Bombaim em 1963 sob a orientação do teórico dos números K. Chandrasekharan.

Vale a pena deter-se na cronologia. O doutoramento veio em 1963. Os teoremas vieram em 1960 e 1961.

O problema de Levi

A análise complexa numa variável é uma disciplina de uma rigidez bela: uma função holomórfica num disco é determinada por dados extraordinariamente escassos. Em várias variáveis, a rigidez torna-se estranha. Algumas regiões do espaço complexo têm a propriedade de que qualquer função holomórfica nelas se estende automaticamente a uma região maior — a região não é, por assim dizer, a casa natural das suas próprias funções. As regiões que são as suas próprias casas naturais chamam-se domínios de holomorfia, e em 1910 E. E. Levi perguntou quais eram, conjecturando que uma condição geométrica na fronteira chamada pseudoconvexidade era a resposta.

A questão revelou-se brutalmente difícil. Kiyoshi Oka acabou por resolvê-la para domínios no espaço euclidiano complexo nas décadas de 1940 e 1950. Hans Grauert tratou depois das variedades complexas. O que restava era o caso geral e mais delicado: os espaços complexos, aos quais é permitido ter singularidades — pontos onde o espaço não é localmente um bom fragmento de C^n, mas algo apertado ou cruzado. As singularidades destroem as ferramentas. Os artigos de Narasimhan, «The Levi problem for complex spaces» na Mathematische Annalen em 1961 e a sua continuação, fecharam esse caso. O resultado continua a ser citado como Grauert-Narasimhan, que é a forma que a disciplina tem de registar que o último e mais difícil passo foi dele.

Mergulho

O seu outro teorema com nome próprio chegou primeiro, em 1960, num artigo no American Journal of Mathematics intitulado «Imbedding of Holomorphically Complete Complex Spaces». As variedades de Stein são os objetos analítico-complexos que contêm funções holomórficas suficientes para separar os seus próprios pontos — a contrapartida analítica das variedades algébricas afins e o cenário natural para todo o tema. Definidas de forma abstrata, são difíceis de visualizar. Narasimhan provou que toda a variedade de Stein de dimensão complexa n admite uma imersão holomórfica própria e injetiva em C^{2n+1}.

Essa frase realiza um trabalho imenso. Diz que uma variedade de Stein abstrata nunca é exótica: pode sempre ser realizada concretamente como um subconjunto fechado de um espaço euclidiano complexo ordinário de dimensão limitada, dependendo o limite apenas de n. É o análogo analítico-complexo do teorema de imersão de Whitney em topologia diferencial, e converteu uma classe de objetos definidos abstratamente em coisas que se podem segurar. O resultado ostenta o seu nome.

Chicago

Foi investigador visitante no Instituto de Estudos Avançados de Princeton em 1966 e integrou o corpo docente de matemática da Universidade de Chicago em 1969, onde permaneceu durante mais de quatro décadas e terminou como professor emérito. Os seus interesses alargaram-se em vez de se estreitarem: a par de várias variáveis complexas, trabalhou em teoria analítica dos números e, na década de 1990, colaborou com Charles Fefferman, de Princeton, um Medalhista Fields, em artigos na junção da análise e da geometria algébrica real — um emparelhamento de dois dos analistas mais tecnicamente formidáveis vivos. A Universidade de Geneva atribuiu-lhe um doutoramento honoris causa em 1986.

Os livros

Narasimhan escreveu seis livros, e a sua influência pode, no fim, exceder a dos teoremas. Analysis on Real and Complex Manifolds (1968), o volume das Conferências de Chicago Several Complex Variables (1971) e Complex Analysis in One Variable (2001) são condensados, precisos e notoriamente implacáveis — livros que assumem que o leitor quer a rota correta mais curta em vez de reconforto. Gerações de estudantes de pós-graduação aprenderam várias variáveis complexas a partir deles. Os colegas recordavam um homem que levava a sério, em igual medida, a música clássica e o vinho, e que, segundo recordou um deles, «possuía uma perspicácia verdadeiramente espantosa na análise».

Faleceu a 3 de outubro de 2015, com setenta e oito anos de idade, após uma breve doença.

Porque é que Raghavan é chamado de génio

Sejamos concretos, porque é aí que reside o caso. Dois resultados, ambos obtidos antes de completar vinte e cinco anos e antes de ter um doutoramento, cada um dos quais fechou um problema em vez de o fazer avançar.

O teorema de imersão é o mais limpo. Responde a uma pergunta da forma «quão selvagens podem ser estes objetos?» com «nada selvagens» — toda a variedade de Stein de dimensão n encaixa-se adequadamente dentro de C^{2n+1}. Resultados dessa forma são raros e desproporcionadamente úteis, porque permitem que todos os outros deixem de se preocupar com toda uma categoria de patologia possível.

O problema de Levi é mais difícil, e mais difícil de explicar. Oka e Grauert tinham tratado os casos suaves; o resíduo eram os espaços complexos com singularidades, exatamente onde a maquinaria padrão se torna traiçoeira. Terminar um problema com cinquenta anos no seu caso mais degenerado, enquanto estudante de pós-graduação, contra os melhores analistas da Europa, é aquilo para que a palavra «génio» foi cunhada para descrever. O convite do ICM a um jovem de vinte e cinco anos sem doutoramento é o veredicto da própria profissão, emitido na altura.

O contraexemplo é de escala e não de qualidade. Narasimhan não fundou um campo nem reorientou uma disciplina; resolveu dois problemas difíceis dentro de um campo que outros tinham definido, tendo depois passado cinquenta anos produtivos, mas menos espetaculares, a trabalhar nele. Não ganhou nenhuma Medalha Fields, nenhum Wolf, nenhum Abel; a sua maior distinção foi um grau honorário de Genebra. Posto ao lado dos matemáticos que mudaram o tema de que a disciplina trata, o seu registo é o de um analista excecionalmente poderoso com dois resultados magníficos no início e um longo e distinto patamar a seguir — um génio no sentido estrito e local, que viu aos vinte e três anos o que mais ninguém conseguia ver, em vez de uma mente que redesenhou o mapa.

Legado

O teorema de imersão de Narasimhan e a solução de Grauert-Narasimhan para o problema de Levi são elementos permanentes de várias variáveis complexas, ensinados onde quer que a matéria seja lecionada. Os seus manuais escolares são o segundo legado, e aquele que tocou mais pessoas: gerações de matemáticos encontraram pela primeira vez a análise complexa na sua prosa exigente. O terceiro é institucional e fácil de ignorar — ele fez parte da coorte que o Padre Racine e K. Chandrasekharan produziram nas décadas de 1950 e 1960, a geração que fez da matemática indiana uma presença permanente na literatura internacional em vez de um prodígio ocasional.