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Omar Khayyam foi um matemático, astrônomo, filósofo e poeta persa. Nasceu em Nishabur, no nordeste do Irã, e passou a maior parte de sua vida perto da corte dos governantes Karakhanida e Seljúcida no período que testemunhou a Primeira Cruzada.
Como matemático, é mais notável por seu trabalho na classificação e solução de equações cúbicas, onde forneceu soluções geométricas pela interseção de cônicas. Khayyam também contribuiu para a compreensão do axioma das paralelas. Como astrônomo, desenhou o calendário Jalali, um calendário solar com um ciclo de intercalação de 33 anos muito preciso.
Há uma tradição de atribuir poesia a Omar Khayyam, escrita na forma de quartetas. Esta poesia tornou-se amplamente conhecida no mundo de língua inglesa em uma tradução de Edward FitzGerald (Rubaiyat of Omar Khayyam, 1859), que gozou de grande sucesso no Orientalismo do fin de siècle.
Vida
Omar Khayyam nasceu em 1048 em Nishapur, uma metrópole líder em Khorasan durante a época medieval que atingiu seu auge de prosperidade no século XI sob a dinastia Seljúcida. Nishapur também era um grande centro da religião zoroastriana, e é provável que o pai de Khayyam fosse um zoroastriano que se converteu ao Islã. Seu nome completo, como aparece nas fontes árabes, era Abu'l Fath Omar ibn Ibrahim al-Khayyam. Nos textos persas medievais, ele é geralmente chamado simplesmente de Omar Khayyam. Embora sujeito a dúvidas, frequentemente se assumiu que seus ancestrais seguiam o ofício de fabricação de tendas, já que Khayyam significa fabricante de tendas em árabe. O historiador Bayhaqi, que era pessoalmente conhecido por Omar, fornece os detalhes completos de seu horóscopo: "era Gêmeos, com o sol e Mercúrio em ascendência. Isso foi usado por estudiosos modernos para estabelecer sua data de nascimento como 18 de maio de 1048.
Sua infância foi passada em Nishapur. Seus talentos foram reconhecidos por seus primeiros tutores que o enviaram para estudar sob o Imam Muwaffaq Nishaburi, o maior professor da região de Khorasan que instruía os filhos da mais alta nobreza. Khayyam também foi ensinado pelo matemático convertido zoroastriano, Abu Hassan Bahmanyar bin Marzban. Depois de estudar ciência, filosofia, matemática e astronomia em Nishapur, por volta do ano 1068 viajou para a província de Bukhara, onde frequentava a renomada biblioteca da Arca. Por volta de 1070 mudou-se para Samarkanda, onde começou a compor seu famoso tratado sobre álgebra sob o patrocínio de Abu Tahir Abd al-Rahman ibn ʿAlaq, o governador e juiz-chefe da cidade. Omar Khayyam foi gentilmente recebido pelo governante Karakhanida Shams al-Mulk Nasr, que segundo Bayhaqi, "o honrava muito, a ponto de o sentar [Omar] ao seu lado em seu trono".
Em 1073-4 a paz foi concluída com o Sultão Malik-Shah I que havia feito incursões nos domínios Karakhanida. Khayyam entrou a serviço de Malik-Shah em 1074-5 quando foi convidado pelo Grande Vizir Nizam al-Mulk para encontrar Malik-Shah na cidade de Marv. Khayyam foi posteriormente comissionado a estabelecer um observatório em Isfahan e liderar um grupo de cientistas na realização de observações astronômicas precisas visando a revisão do calendário persa. O empreendimento começou provavelmente em 1076 e terminou em 1079 quando Omar Khayyam e seus colegas concluíram suas medições do comprimento do ano, relatando-o com 14 algarismos significativos com precisão impressionante.
Após a morte de Malik-Shah e seu vizir (assassinado, pensa-se, pela ordem Ismailita dos Assassinos), Omar caiu em desgraça na corte, e como resultado, logo iniciou sua peregrinação a Meca. Um possível motivo ulterior para sua peregrinação relatado por Al-Qifti era uma demonstração pública de sua fé com o objetivo de aliviar suspeitas de ceticismo e refutar as alegações de falta de ortodoxia (incluindo possível simpatia pelo Zoroastrismo) dirigidas contra ele pelo clero hostil. Ele foi então convidado pelo novo Sultão Sanjar para Marv, possivelmente para trabalhar como astrólogo da corte. Mais tarde, foi autorizado a retornar a Nishapur devido ao seu declínio de saúde. Ao retornar, parece ter vivido a vida de um recluso.
Omar Khayyam morreu aos 83 anos em sua cidade natal de Nishapur em 4 de dezembro de 1131, e está enterrado no que é agora o Mausoléu de Omar Khayyam. Um de seus discípulos Nizami Aruzi relata a história de que em algum momento durante 1112-3 Khayyam estava em Balkh na companhia de Al-Isfizari (um dos cientistas que havia colaborado com ele no calendário Jalali) quando fez uma profecia de que "meu túmulo estará em um local onde o vento do norte pode espalhar rosas sobre ele". Quatro anos após sua morte, Aruzi localizou seu túmulo em um cemitério em um bairro então grande e bem conhecido de Nishapur na estrada para Marv. Como havia sido previsto por Khayyam, Aruzi encontrou o túmulo situado ao pé de um muro de jardim sobre o qual pereira e pessegueiros haviam estendido suas cabeças e deixado cair suas flores de modo que sua lápide ficava escondida embaixo delas.
Matemática
Khayyam era famoso durante sua vida como matemático. Seus trabalhos matemáticos sobreviventes incluem: Um comentário sobre as dificuldades relativas aos postulados dos Elementos de Euclides (Risāla fī šarḥ mā aškala min muṣādarāt kitāb Uqlīdis, completado em dezembro de 1077), Sobre a divisão de um quadrante de um círculo (Risālah fī qismah rub' al-dā'irah, sem data, mas completado antes do tratado sobre álgebra), e Sobre provas para problemas de Álgebra (Maqāla fi l-jabr wa l-muqābala, muito provavelmente completado em 1079. Ele ainda escreveu um tratado sobre a extração do teorema binomial e da enésima raiz de números naturais, que foi perdido.
Teoria das paralelas
Parte do comentário de Khayyam sobre os Elementos de Euclides trata do axioma das paralelas. O tratado de Khayyam pode ser considerado o primeiro tratamento do axioma não baseado em petitio principii, mas em um postulado mais intuitivo. Khayyam refuta as tentativas anteriores de outros matemáticos de provar a proposição, principalmente porque cada uma delas havia postulado algo que não era de modo algum mais fácil de admitir do que o Quinto Postulado em si. Baseando-se nas opiniões de Aristóteles, ele rejeita o uso do movimento em geometria e, portanto, descarta a tentativa diferente de Al-Haytham. Insatisfeito com a falha dos matemáticos em provar o enunciado de Euclides a partir de seus outros postulados, Omar tentou conectar o axioma com o Quarto Postulado, que afirma que todos os ângulos retos são iguais entre si.
Khayyam foi o primeiro a considerar os três casos de ângulo agudo, obtuso e reto para os ângulos de vértice de um quadrilátero de Khayyam-Saccheri, três casos que são exaustivos e mutuamente excludentes aos pares. Depois de provar vários teoremas sobre eles, ele provou que o Postulado V é uma consequência da hipótese de ângulo reto, e refutou os casos obtuso e agudo como autocontraditórios. A tentativa elaborada de Khayyam de provar o postulado das paralelas foi significativa para o desenvolvimento posterior da geometria, pois mostra claramente a possibilidade de geometrias não-euclidianas. As hipóteses do ângulo agudo, obtuso e reto são agora conhecidas por levarem respectivamente à geometria hiperbólica não-euclidiana de Gauss-Bolyai-Lobachevsky, à de Riemannian, e à geometria euclidiana.
Os comentários de Tusi sobre o tratamento das paralelas de Khayyam chegaram à Europa. John Wallis, professor de geometria em Oxford, traduziu o comentário de Tusi para o latim. O geômetra jesuíta Girolamo Saccheri, cujo trabalho (euclides ab omni naevo vindicatus, 1733) é geralmente considerado como o primeiro passo no desenvolvimento eventual da geometria não-euclidiana, estava familiarizado com o trabalho de Wallis. O historiador americano de matemática, David Eugene Smith, menciona que Saccheri "usou o mesmo lema do de Tusi, até mesmo letreando a figura de forma absolutamente igual e usando o lema para o mesmo propósito". Ele ainda diz que "Tusi explicitamente afirma que é devido a Omar Khayyam, e pelo texto, parece claro que o último foi sua inspiração."
O conceito do número real
Este tratado sobre Euclides contém outra contribuição relacionada à teoria das proporções e à composição de razões. Khayyam discute a relação entre o conceito de razão e o conceito de número e levanta explicitamente várias dificuldades teóricas. Em particular, ele contribui para o estudo teórico do conceito de número irracional. Desagradado com a definição de razões iguais de Euclides, ele redefiniu o conceito de número pelo uso de uma fração contínua como meio de expressar uma razão. Rosenfeld e Youschkevitch (1973) argumentam que "ao colocar quantidades irracionais e números na mesma escala operacional, [Khayyam] começou uma verdadeira revolução na doutrina do número." Da mesma forma, foi observado por D. J. Struik que Omar estava "no caminho dessa extensão do conceito de número que leva à noção do número real."
Álgebra geométrica
Rashed e Vahabzadeh (2000) argumentaram que devido a sua abordagem geometricamente completa de equações algébricas, Khayyam pode ser considerado o precursor de Descartes na invenção da geometria analítica. Em O Tratado sobre a Divisão de um Quadrante de um Círculo, Khayyam aplicou álgebra à geometria. Neste trabalho, ele dedicou-se principalmente a investigar se é possível dividir um quadrante circular em duas partes de modo que os segmentos de linha projetados do ponto divisor para os diâmetros perpendiculares do círculo formem uma razão específica. Sua solução, por sua vez, usou várias construções de curva que levaram a equações contendo termos cúbicos e quadráticos.
A solução de equações cúbicas
Khayyam parece ter sido o primeiro a conceber uma teoria geral de equações cúbicas e o primeiro a resolvê-las geometricamente de cada tipo, na medida em que concernem raízes positivas. O tratado sobre álgebra contém seu trabalho sobre equações cúbicas. Ele é dividido em três partes: (i) equações que podem ser resolvidas com compasso e régua, (ii) equações que podem ser resolvidas por meio de seções cônicas, e (iii) equações que envolvem o inverso do desconhecido.
Khayyam produziu uma lista exaustiva de todas as possíveis equações envolvendo linhas, quadrados e cubos. Ele considerou três equações binomiais, nove equações trinomiais e sete equações tetranomiais. Para polinômios de primeiro e segundo graus, forneceu soluções numéricas por construção geométrica. Ele concluiu que há quatorze tipos diferentes de cúbicas que não podem ser reduzidas a uma equação de menor grau. Para estas, não conseguiu realizar a construção de seu segmento desconhecido com compasso e régua. Ele procedeu a apresentar soluções geométricas para todos os tipos de equações cúbicas usando as propriedades das seções cônicas. Os lemas pré-requisitos para a prova geométrica de Khayyam incluem Euclides VI, Proposição 13, e Apolônio II, Proposição. A raiz positiva de uma equação cúbica foi determinada como a abscissa de um ponto de interseção de duas cônicas, por exemplo, a interseção de duas parábolas, ou a interseção de uma parábola e um círculo, etc. No entanto, ele reconheceu que o problema aritmético dessas cúbicas ainda não estava resolvido, acrescentando que "possivelmente alguém mais virá a conhecê-lo após nós". Esta tarefa permaneceu em aberto até o século XVI, quando a solução algébrica da equação cúbica foi encontrada em sua generalidade por Cardano, Del Ferro e Tartaglia na Itália renascentista.
Na verdade, o trabalho de Khayyam é um esforço para unificar álgebra e geometria. Esta solução geométrica particular de equações cúbicas foi investigada posteriormente por M. Hachtroudi e estendida para resolver equações de quarto grau. Embora métodos semelhantes tivessem aparecido esporadicamente desde Menaechmus, e desenvolvidos posteriormente pelo matemático do século X Abu al-Jud, o trabalho de Khayyam pode ser considerado o primeiro estudo sistemático e o primeiro método exato de resolver equações cúbicas. O matemático Woepcke (1851) que ofereceu traduções da álgebra de Khayyam para o francês o elogiou por seu "poder de generalização e seu procedimento rigorosamente sistemático."
Teorema binomial e extração de raízes
Em seu tratado algébrico, Khayyam alude a um livro que havia escrito sobre a extração da enésima, onde n é um inteiro positivo. O caso de potência 2 é explicitamente declarado nos Elementos de Euclides e o caso de no máximo potência 3 havia sido estabelecido por matemáticos indianos. Khayyam foi o matemático que notou a importância de um teorema binomial geral. O argumento apoiando a afirmação de que Khayyam tinha um teorema binomial geral é baseado em sua capacidade de extrair raízes. Um dos predecessores de Khayyam, Al-Karaji, já havia descoberto o arranjo triangular dos coeficientes de expansões binomiais que os europeus vieram a conhecer como triângulo de Pascal; Khayyam popularizou este arranjo triangular no Irã, de modo que agora é conhecido como triângulo de Omar Khayyam.
Astronomia
Em 1074-5, Omar Khayyam foi comissionado pelo Sultão Malik-Shah a construir um observatório em Isfahan e reformar o calendário persa. Havia um painel de oito estudiosos trabalhando sob a direção de Khayyam para fazer observações astronômicas em larga escala e revisar o astro
